2021年上海市静安区高考数学二模试卷

这是一份2021年上海市静安区高考数学二模试卷，共17页。试卷主要包含了填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。

2021年上海市静安区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共8题，每题6分，共48分）
1．（6分）（x2+）8的展开式中x4项的系数是　 　．
2．（6分）设变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为　 　．
3．（6分）已知奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝log2x．则f（7.5）的值为 　 　
4．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为　 　．

5．（6分）投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为虚数的概率为　 　．
6．（6分）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为　 　米．
7．（6分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P为梯形的腰DC上的动点，则|+3|的最小值为　 　．

8．（6分）已知桶A0中盛有2升水，桶B0中盛有1升水．现将桶A0中的水的和桶B0中的水的倒入桶A1中，再将桶A0与桶B0中剩余的水倒入桶B1中；然后将桶A1中的水的和桶B1中的水的倒入桶A2中，再将桶A1与桶B1中剩余的水倒入桶B2中；若如此继续操作下去，则桶An（n∈N*）中的水比桶Bn（n∈N*）中的水多　 　升．
二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）
9．（6分）函数y＝x2（x≤0）的反函数为（　　）
A．y＝（x≥0） B．y＝﹣（x≥0） C．y＝（x≤0） D．y＝﹣（x≤0）
10．（6分）某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示．
年薪（万元）
135
95
80
70
60
52
40
31
人数
1
1
2
1
3
4
1
12
该公司雇员年薪的标准差约为（　　）
A．24.5（万元） B．25.5（万元） C．26.5（万元） D．27.5（万元）
11．（6分）在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（　　）
A．204 B．260 C．384 D．480
三、解答题（本大题共有5题，共84分)
12．（14分）已知正方形ABED的边长为，O为两条对角线的交点，如图所示，将Rt△BED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足AB＝AC．
（1）求四面体ABCD的体积V；
（2）请计算：
①直线BC与AD所成角的大小；
②直线BC与平面ACD所成的角的大小．

13．（14分）设f（x）＝（常数a∈R），且已知x＝3是方程f（x）﹣x+12＝0的根．
（1）求函数y＝f（x）的值域；
（2）设常数k∈R，解关于x的不等式：（2﹣x）f（x）＜（k+1）x﹣k．
14．（16分）已知椭圆+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．
（1）求过点F、O，并且与抛物线y2＝8x的准线相切的圆的方程；
（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．
15．（18分）将正奇数1，3，5，7，……按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍．设aij（i，j∈N*）是位于这个数阵中第i行（从上往下数）、第j列（从左往右数）的数．
（1）设bn＝an1（n∈N*），求数列{bn}的通项公式；
（2）若amn＝2021，求m、n的值；
（3）若记这个数阵中第n行各数的和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，求极限的值．

16．（22分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）绕坐标原点O旋转角θ至点P′（x′，y′）．
（1）试证明点的旋转坐标公式：．
（2）设θ∈（0，2π），点P（0，﹣1）绕坐标原点O旋转角θ至点P1，点P1再绕坐标原点O旋转角θ至点P2，且直线P1P2的斜率k＝﹣1，求角θ的值；
（3）试证明方程x2+xy＝6的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标．


2021年上海市静安区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共8题，每题6分，共48分）
1．（6分）（x2+）8的展开式中x4项的系数是　70　．
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数等于4求得r值，则答案可求．
【解答】解：由，
令16﹣3r＝0，得r＝4．
∴展开式中含x4项的系数为．
故答案为：70．
【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
2．（6分）设变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为　3　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，A（1，2），
由z＝x+y，得y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
3．（6分）已知奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝log2x．则f（7.5）的值为 　1　
【分析】运用函数的周期性和奇偶性把要求的值转化为区间（0，1）的函数值．
【解答】解：∵奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝log2x．
∴f（7.5）＝f（1.5）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5）＝﹣log2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数的周期性与奇偶性，考查了数学转化思想，解答此题的关键是如何把所求的值转化为求[0，1]内的函数值．
4．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为　（3+）π　．

【分析】首先把三视图和几何体的直观图之间进行转换，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由圆柱和圆锥组成的组合体；
如图所示：

故圆锥的母线长x＝，圆锥的底面周长为2π，
所以圆锥的侧面积S＝，
圆柱的表面积S＝2•π•1•1+π•12＝3π，
故几何体的表面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5．（6分）投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为虚数的概率为　　．
【分析】把复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，实部为0，求出m、n的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．
【解答】解：∵复数＝＝，
故复数为虚数需满足n2﹣m2≠0，
即m≠n，
故有6×6﹣6＝30种情况，
∴复数为虚数的概率为：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
6．（6分）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为　5　米．
【分析】设长方体蓄水池长为y，宽为x，高为h，蓄水池总造价为W（h），由题意可得W（h）＝40ah+2a，然后基本不等式求出W（h）的最小值即可．
【解答】解：设长方体蓄水池长为y，宽为x，高为h，
每平方米池侧壁造价为a，蓄水池总造价为W（h），
则由题意可得，
∴W（h）＝2a（xh+yh）+2axy＝2ah（x+y）+2axy＝40ah+2a，
∴W（h）≥＝400a，
∴当且仅当h＝5时，W（h）取最小值，
即h＝5时，W（h）取最小值，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了导数的应用，是中档题．
7．（6分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P为梯形的腰DC上的动点，则|+3|的最小值为　5　．

【分析】根据题意，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，写出点A、B、C和D的坐标，设出点P，根据向量模的计算公式，利用完全平方式非负，即可求得其最小值；
【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A（﹣2，0），B（﹣1，a），C（0，a），D（0，0），
设P（0，b）（0≤b≤a）
则＝（﹣2，﹣b），＝（﹣1，a﹣b），
∴+3＝（﹣5，3a﹣4b）
∴|+3|＝≥5，
∴|+3|的最小值为5．
故答案为：5．

【点评】本题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，属于中档题．
8．（6分）已知桶A0中盛有2升水，桶B0中盛有1升水．现将桶A0中的水的和桶B0中的水的倒入桶A1中，再将桶A0与桶B0中剩余的水倒入桶B1中；然后将桶A1中的水的和桶B1中的水的倒入桶A2中，再将桶A1与桶B1中剩余的水倒入桶B2中；若如此继续操作下去，则桶An（n∈N*）中的水比桶Bn（n∈N*）中的水多　　升．
【分析】根据题意，得到An，Bn之间的关系，然后用数列知识求解．
【解答】解：根据题意可得，，
∴，
∴，即数列{}是以为首项，为公比的等比数列，
∴⇒，
∴，
∴．
故答案为：
【点评】本题属于将应用题转化为数列问题进行求解的综合题，主要考查数列通项公式的推导，属于中档题．
二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）
9．（6分）函数y＝x2（x≤0）的反函数为（　　）
A．y＝（x≥0） B．y＝﹣（x≥0） C．y＝（x≤0） D．y＝﹣（x≤0）
【分析】利用反函数的求法即可得出．
【解答】解：由y＝x2（x≤0），解得（y≥0），将x与y互换可得：（x≥0）．
故选：B．
【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题．
10．（6分）某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示．
年薪（万元）
135
95
80
70
60
52
40
31
人数
1
1
2
1
3
4
1
12
该公司雇员年薪的标准差约为（　　）
A．24.5（万元） B．25.5（万元） C．26.5（万元） D．27.5（万元）
【分析】先求出年薪的平均数，然后由方差的计算公式求出年薪的方差，再求解标准差即可．
【解答】解：年薪的平均数为（135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+31×12）＝50.4万元，
所以该公司雇员年薪的方差约为[（135﹣50.4）2+（95﹣50.4）2+2×（80﹣50.4）2+（70﹣50.4）2+3×（60﹣50.4）2+4×（52﹣50.4）2+（40﹣50.4）2+12×（31﹣50.4）2]＝650.25，
所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）．
故选：B．
【点评】本题考查了特征数的求解，主要考查了平均数以及方差的求解，解题的关键是掌握它们的计算公式，考查了化简运算能力，属于基础题．
11．（6分）在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（　　）
A．204 B．260 C．384 D．480
【分析】两个数字之和等于5的情形只有两种：2+3＝1+4＝5．下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有••种方法，若2，3都选取，则有种方法．再利用乘法原理与加法原理即可得出．
【解答】解：两个数字之和等于5的情形只有两种：2+3＝1+4＝5．
下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有••种方法，若2，3都选取，则有种方法．
由乘法原理可得：（••+）方法．
同理可得：第二行选取2，3作为元素，也有（••+）方法．
利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为2×（••+）＝384种方法．
故选：C．
【点评】本题考查了排列组合数的计算公式及其应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5题，共84分)
12．（14分）已知正方形ABED的边长为，O为两条对角线的交点，如图所示，将Rt△BED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足AB＝AC．
（1）求四面体ABCD的体积V；
（2）请计算：
①直线BC与AD所成角的大小；
②直线BC与平面ACD所成的角的大小．

【分析】（1）利用勾股定理证明CO⊥AO，结合CO⊥BD，证明CO⊥平面ABD，从而CO是三棱锥C﹣ABD的高，由锥体的体积公式求解即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标．
①利用异面直线所成角的计算公式求解即可；
②利用待定系数法求出平面ACD的法向量，然后由线面角的计算公式求解即可．
【解答】解：（1）由已知可得，AO＝CO＝1，AB＝AC＝，
所以AO2+CO2＝AC2，故CO⊥AO，
又CO⊥BD，BD∩AO＝O，AB，AO⊂平面ABD，
所以CO⊥平面ABD，
故CO是三棱锥C﹣ABD的高，
所以三棱锥C﹣ABD的体积＝；
（2）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（0，﹣1，0），
故，
①，
所以线BC与AD所成角的大小为60°；
②设平面ACD的法向量为，
则有，即，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，故，
所以，
故直线BC与平面ACD所成的角的大小为．

【点评】本题考查了锥体体积的求解以及线线角与线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
13．（14分）设f（x）＝（常数a∈R），且已知x＝3是方程f（x）﹣x+12＝0的根．
（1）求函数y＝f（x）的值域；
（2）设常数k∈R，解关于x的不等式：（2﹣x）f（x）＜（k+1）x﹣k．
【分析】（1）由题意得f（3）﹣3+12＝0，代入可求a，然后结合基本不等式即可求解函数的值域；
（2）由已知整理得（x﹣1）（x﹣k）＜0，然后结合k与1的大小进行讨论可求．
【解答】解：（1）由题意得f（3）﹣3+12＝0，
故，
解得a＝2，f（x）＝，
令t＝2﹣x，
当t＞0时，t+﹣4≥0，
当t＜0时，t+﹣4＝﹣[（﹣t）+（﹣）]﹣4≤﹣8，
则＝t+﹣4∈（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞），
故函数的值域（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）；
（2）：因为（2﹣x）f（x）＜（k+1）x﹣k，
整理得x2﹣（k+1）x+k＜0，（x≠2），
即（x﹣1）（x﹣k）＜0，
当k＜1时，不等式的解集（k，1）；
当k＝1时，不等式的解集∅；
当1＜k≤2时，不等式的解集（1，k）；
当k＞2时，不等式的解集（1，2）∪（2，k）．
【点评】本题主要考查了函数值域的求解及含参数二次不等式的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
14．（16分）已知椭圆+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．
（1）求过点F、O，并且与抛物线y2＝8x的准线相切的圆的方程；
（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．
【分析】（1）易知圆心M在直线x＝﹣上，设M（﹣，t），由|OM|＝r＝，可解得t的值，从而得解；
（2）设直线AB的方程为y＝k（x+1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，写出线段AB的中点坐标，进而得其中垂线所在的直线方程，再令y＝0，可用含k的式子表示xG，进而得解．
【解答】解：（1）抛物线y2＝8x的准线为x＝﹣2，
∵圆过点F，O，∴圆心M在直线x＝﹣上，
设M（﹣，t），则圆的半径为r＝|（﹣）﹣（﹣2）|＝，
由|OM|＝r，得＝，解得t＝±，
∴所求圆的方程为．
（2）设直线AB的方程为y＝k（x+1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，
∴x1+x2＝﹣，
∴y1+y2＝k（x1+x2）+2k＝，
∴线段AB的中点坐标为（﹣，），
∴线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y＝﹣（x+）+，
令y＝0，则x＝•k﹣＝﹣＝﹣+，
∵k≠0，∴﹣＜x＜0，
故点G的横坐标的取值范围为（﹣，0）．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系中的取值范围问题，抛物线的几何性质，中垂线所在直线方程的求法，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15．（18分）将正奇数1，3，5，7，……按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍．设aij（i，j∈N*）是位于这个数阵中第i行（从上往下数）、第j列（从左往右数）的数．
（1）设bn＝an1（n∈N*），求数列{bn}的通项公式；
（2）若amn＝2021，求m、n的值；
（3）若记这个数阵中第n行各数的和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，求极限的值．

【分析】（1）由已知，这个数阵的第n行有2n﹣1个数，由等比数列的前n项和可得前n﹣1行中数的个数和，再由bn＝an1求数列{bn}的通项公式；
（2）令2m﹣1＜2021，满足不等式的最大整数为10，再由等差数列的通项公式求n；
（3）由题意求得Sn，再由等差数列的前n项和求Tn﹣1，代入即可得答案．
【解答】解：（1）由已知，这个数阵的第n行有2n﹣1个数，
∴前n﹣1行一共有个数，
∴；
（2）令2m﹣1＜2021，满足不等式的最大整数为10，即m＝10，
210﹣1+2（n﹣1）＝2021，解得n＝500，
∴m＝10，n＝500；
（3）第n行的第一个数为2n﹣1，共2n﹣1个数，
则＝3×4n﹣1﹣2n，

＝3×﹣（2n+1﹣2）＝4n﹣1﹣2n+1+2＝4n﹣2n+1+1，
，
∴＝＝．
【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的前n项和，训练了数列极限的求法，考查运算求解能力，是中档题．
16．（22分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）绕坐标原点O旋转角θ至点P′（x′，y′）．
（1）试证明点的旋转坐标公式：．
（2）设θ∈（0，2π），点P（0，﹣1）绕坐标原点O旋转角θ至点P1，点P1再绕坐标原点O旋转角θ至点P2，且直线P1P2的斜率k＝﹣1，求角θ的值；
（3）试证明方程x2+xy＝6的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标．

【分析】（1）由任意角的三角函数的定义，结合两角和的正弦公式、余弦公式，化简可得证明；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），运用点的旋转坐标公式和直线的斜率公式，两角差的正弦公式，解方程可得所求角；
（3）运用点的旋转坐标公式和两角和的正弦公式，令x'y'项的系数为0，求得旋转角，进而得到双曲线的标准方程，可得所求焦点的坐标．
【解答】解：（1）设将x轴正半轴绕坐标原点旋转角α至OP，OP＝r，
由任意角的三角函数的定义，可得和，
所以，
将代入，可得；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），由
点的旋转坐标公式，可得和，
由直线P1P2的斜率k＝﹣1，可得＝﹣1，
即有sin2θ﹣cos2θ＝sinθ﹣cosθ，
所以sin（2θ﹣）＝sin（θ﹣），
所以2θ﹣＝2kπ+θ﹣，或2θ﹣+θ﹣＝2kπ+π，k∈Z，
所以θ＝2kπ或kπ+，k∈Z，因为θ∈（0，2π），
所以θ＝、、．
（3）证明：设P（x，y）为方程x2+xy＝1的曲线上任意一点，
将点P绕坐标原点O旋转θ至点P'（x'，y'），
则，可得①，
将①代入方程，可得（x'cosθ+y'sinθ）2+（x'cosθ+y′sinθ）（﹣x'sinθ+y'cosθ）＝6，
整理可得（cos2θ﹣sinθcosθ）x'2+（sin2θ+sinθcosθ）y'2+（sin2θ+cos2θ）x'y'＝6，
令sin2θ+cos2θ＝0，可得sin（2θ+）＝0，θ＝﹣是该方程的解，
所以将方程x2+xy＝6的曲线按顺时针旋转，所得曲线C'的方程为﹣＝1，
可得曲线C'是以F1'（﹣4，0），F2'（4，0）为焦点的双曲线，
又因为曲线C'是由曲线C绕坐标原点O旋转而得到的，所以曲线也是双曲线．
将F1'（﹣4，0），F2'（4，0）按逆时针旋转，得到F1（﹣2，﹣2），F2（2，2），
所以，双曲线C'的焦点坐标为F1（﹣2，﹣2），F2（2，2）．
【点评】本题考查点的旋转坐标公式的证明和运用，以及双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
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