2023届初三升高一数学衔接讲义 第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）

2023年初高中衔接素养提升专题讲义

第三讲   一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）

【知识点透析】

1、一元二次根的判别式

  一元二次方程，用配方法将其变形为：，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：

(1) 当Δ=时，方程有两个不相等的实数根：

(2) 当Δ=时，因此，方程有两个相等的实数根：

(3) 当Δ=时，因此，方程没有实数根．

【知识点精讲】

【例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：

 (1) 方程有两个不相等的实数根；   (2) 方程有两个相等的实数根

 (3)方程有实数根；      (4) 方程无实数根．

【解析】：

 (1) ；  (2) ；

 (3) ；  (4) ．

【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（    ）

A．35 B．30 C．26 D．21

【答案】B

【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．

【详解】解：整理不等式组得：

由①得：，

由②得：x<4

∵不等式组有且只有4个整数解，

∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，

∴，

解得：，

∵有实数根，

∴

解得：a≤9，

∵方程是一元二次方程，

∴a≠5

∴，且a≠5，

满足条件的整数有：6、7、8、9；

∴6+7+8+9=30，

故选：B．

【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0．

（1）求证：这个方程总有两个实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．

【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）

＝4k2﹣12k+9

＝（2k﹣3）2，

∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，

∴△≥0，

∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；

（2）解：∵x，

∴x1＝2k﹣1，x2＝2，

∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，

当a、b为腰，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，解得k，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；

当b、c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，故此种情况不存在．

综上所述，△ABC的周长为10．

【例2】已知实数、满足，试求、的值．

【解析】：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：

由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：

，

代入原方程得：．综上知：

【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知，，满足，，，则的值为（    ）

A． B．5 C．6 D．

【答案】B

【分析】首先把，，，两边相加整理成，分解因式，利用非负数的性质得出、、的数值，代入求得答案即可．

【详解】解：，，，

，

，

，，，

．

故选：B．

【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________．

【答案】

【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值．

【详解】∵与是“同类方程”，

∴，

∴，

∴，

解得：，

∴

∴当时，取得最大值为2023．

故答案为：．

2、一元二次方程的根与系数的关系

 一元二次方程的两个根为：

 所以：，

 韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：

【知识点精讲】

【例3】若是方程的两个根，试求下列各式的值：

 (1) ； (2) ； (3) ；  (4) ．

【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：

(1)

(2)

(3)

(4)

常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

，，，

，，

等等．韦达定理体现了整体思想．

【例4】．已知关于x的方程.

（1）若，方程两根分别为，，求和的值；

（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围.

【答案】．（1），  （2）  

【解析】（1）由，，借助韦达定

理求解.

（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.

【详解】

（1）当时，即：

因此：

（2）

【变式1】已知两不等实数a，b满足，，求的值.

【解析】：是一元二次方程的不等实根

则有

原式=

【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2．

(1)若，求m的值；

(2)令T＝＋，求T的取值范围．

【答案】(1)1   (2)0<T≤4且T≠2

【分析】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．

（1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；

（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．

(1)

∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，

∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，

∵m是不小于-1的实数，

∴-1≤m≤1，

∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，

∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1•x2=m2-3m+3．

∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，

∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，

整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），

∴m的值为1；

(2)

T＝＋，==

====2-2m．

∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，

解得m=1或m=0．

∴当m=1或m=0时，T没有意义．

∴且

∴0<2-2m≤4且．

即0<T≤4且T≠2．

【变式3】．已知是一元二次方程的两个实数根．

（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值．

【答案】（1）不存在k；理由见解析；（2）．

【详解】

（1）假设存在实数k，使成立．

∵一元二次方程的两个实数根

∴，

又，是一元二次方程的两个实数根

∴∴

，但 ．

∴不存在实数k，使成立．

（2）∵

∴要使其值是整数，只需能整除4，

∴，，，

注意到，要使的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5．

所以的值为

【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程的两根分别为a，b，根据一元二次方程根与系数的关系可知：，记，那么______．

【答案】100

【分析】根据得到，代入计算即可．

【详解】∵一元二次方程的两根分别为a，b，

∴，

∴，

∴，，

，

∴，

故答案为：100．