2024年新高考数学一轮复习 第九章 第五节 离散型随机变量及其分布列、数字特征

课时跟踪检测（七十） 离散型随机变量及其分布列、数字特征

一、全员必做题

1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　 )

A．至少取到1个白球　　　　　　 B．至多取到1个白球

C．取到白球的个数   D．取到的球的个数并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.

2．若离散型随机变量X的分布列为

则X的均值E(X)＝                                            (　 )

A．2        B．2或        C.  D．1

解析：选C　由题意知，＋＝1，a>0，所以a＝1，所以E(X)＝0×＋1×＝.故选C.

3．设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，则E(X)＝(　 )

A．0.3       B．0.4     C．0.6  D．0.7

解析：选D　由题意得P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，因为P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，所以解得P(X＝1)＝0.7，P(X＝0)＝0.3，所以E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.

4．(2023·徐州模拟)(多选)随机变量ξ的分布列是：

若E(ξ)＝，随机变量ξ的方差为D(ξ)，则下列结论正确的有(　 )

A．a＝，b＝  B．a＝，b＝

C．D(ξ)＝  D．D(ξ)＝

解析：选AC　由题意得

∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，故选A、C.

5．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为(　 )

A.       B.       C.  D.

解析：选B　由题意，比赛一局得分的数学期望为3×a＋1×b＋0×c＝1，故3a＋b＝1，又a，b，c∈[0,1)，故3a＋b≥2，解得ab≤，当且仅当3a＝b，即a＝，b＝时等号成立．故选B.

6．(多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是(　 )

A．P(0<ξ<3.5)＝  B．E(3ξ＋1)＝7

C．D(ξ)＝2  D．D(3ξ＋1)＝6

解析：选ABC　因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，由分布列的性质可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1，所以P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝，A选项正确；E(ξ)＝1×＋2×＋5×＝2，即有E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，B选项正确；D(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，C选项正确；D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，D选项不正确．故选A、B、C.

7．某射击选手射击环数的分布列为

若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________．

解析：由分布列的性质，得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.

答案：40%

8．设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝1)＝________.

解析：由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X＝1)＝3P(X＝0)，代入P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝1)＋P(X＝1)＝1，所以P(X＝1)＝.

答案：

9．随机变量X的分布列为

其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，则P(X＝2)＝________.

解析：由题意得解得

则P(X＝2)＝.

答案：

10．某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则E(X)＝________.

解析：由题意知X＝1,2,3，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝，∴X的分布列为

∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

答案：

11．一台机器设备由A和B两个要件组成，在设备运转过程中，A，B发生故障的概率分别记作P(A)，P(B)，假设A和B相互独立．设X表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若P(A)＝0.1，P(B)＝0.2.

(1)求出P(X＝0)，P(X＝1)，P(X＝2)；

(2)依据随机变量X的分布列，求E(X)和D(X)．

解：(1)因为P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，

所以P(X＝0)＝(1－0.1)×(1－0.2)＝0.72，

P(X＝1)＝(1－0.1)×0.2＋0.1×(1－0.2)＝0.26，

P(X＝2)＝0.1×0.2＝0.02.

(2)由(1)得X的分布列为

所以E(X)＝0×0.72＋1×0.26＋2×0.02＝0.3，

D(X)＝(0－0.3)2×0.72＋(1－0.3)2×0.26＋(2－0.3)2×0.02＝0.25.

12．(2023·全国高三专题练习)某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲、乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．

(1)求甲小组至少答对2个问题的概率；

(2)若从甲、乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？

解：(1)设甲小组抽取的3题中正确回答的题数为X，甲小组至少答对2道题目可分为答对2题或者答对3题，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，

所求概率P(X≥2)＝＋＝.

(2)设甲小组抽取的3题中正确回答的题数为X，则X的取值分别为1,2,3.

P(X＝1)＝＝，

结合(1)可知E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，

D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.

设乙小组抽取的三题中正确回答的题数为Y，则Y～B，

E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝，

由E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)可得，甲小组参加决赛更好．

二、重点选做题

1．(2023·全国高三专题练习)(多选)2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：

若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则(　 )

A．X的可能取值为0,1,2,3

B．P(X＝0)＝

C．E(X)＝

D．D(X)＝

解析：选BD　根据题意，X的可能取值为0,1,2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，

所以X的分布列为

所以E(X)＝＝＝，D(X)＝2×＋2×＋2×＝，

所以B、D选项正确，A、C选项错误．

2．(2023·江苏金陵中学模拟)袋中有4个红球、m个黄球、n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则E(ξ)＝________.

解析：由题得P(ξ＝2)＝＝＝，即C＝36，所以m＋n＋4＝9，P(一红一黄)＝＝＝＝， 得m＝3，所以n＝2, 由于P(ξ＝2)＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝0)＝＝＝，∴E(ξ)＝×2＋×1＋×0＝＋＝.

答案：

3．(2023·福建高三阶段练习)为了庆祝香港回归26周年，某校高三年级组织了相关知识竞赛．已知知识竞赛中有甲、乙、丙三个问题，规则如下：①学生可以自主选择这三个问题的答题顺序，三个问题是否答对相互独立；②每答对一个问题可以获取本题所对应的荣誉积分，答错或不答则不可获取本题所对应的荣誉积分，且只有答对当前问题才有资格回答下一个问题，否则停止答题．已知学生A答对甲、乙、丙三个问题的概率及答对时获得的相应荣誉积分如下表.

(1)若p＝0.8，求学生A按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分的概率；

(2)设学生A按“丙、乙、甲”的顺序答题最后所得的荣誉积分为X，按“乙、丙、甲”的顺序答题最后所得的荣誉积分为Y，证明：E(X)<E(Y)．

解：(1)学生A按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分，则学生A答对了甲、乙两个问题，答错或不答丙问题．

因为p＝0.8，所以学生A按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分的概率P＝0.8×0.5×(1－0.3)＝0.28.

(2)证明：由题可知，X的所有可能取值为0,300,500,600，

且P(X＝0)＝0.7，P(X＝300)＝0.3×(1－0.5)＝0.15，

P(X＝500)＝0.3×0.5×(1－p)＝0.15－0.15p，

P(X＝600)＝0.3×0.5×p＝0.15p，

所以E(X)＝0×0.7＋300×0.15＋500×(0.15－0.15p)＋600×0.15p＝120＋15p.

Y的所有可能取值为0,200,500,600，

且P(Y＝0)＝0.5，P(Y＝200)＝0.5×(1－0.3)＝0.35，

P(Y＝500)＝0.5×0.3×(1－p)＝0.15－0.15p，

P(Y＝600)＝0.5×0.3×p＝0.15p，

所以E(Y)＝0×0.5＋200×0.35＋500×(0.15－0.15p)＋600×0.15p＝145＋15p.

故E(X)<E(Y)．