2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（上）期中数学试卷

一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.

1．（5分）命题“，”的否定是　 　．

2．（5分）过点且垂直于直线的直线方程为　　．

3．（5分）是直线和直线平行的　 　条件．

（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）

4．（5分）若圆的半径为1，点与点关于点对称，则圆的标准方程为　　．

5．（5分）已知正方体，，分别是正方形和的中心，则和所成的角的大小是　 　．

6．（5分）直线的倾斜角的取值范围是　　．

7．（5分）设棱长为的正方体的体积和表面积分别为，，底面半径高均为的圆锥的体积和侧面积分别为，，若，则的值为　　．

8．（5分）直线被圆截得的弦长为2，则实数的值是　 　．

9．（5分）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为，则椭圆的方程为　 　．

10．（5分）已知，是两个不同的平面，，是两条不同直线，，．给出下列命题：

①；②；③；  ④．

其中正确的命题是　 　． （填写所有正确命题的序号）．

11．（5分）已知实数，满足方程，则的取值范围是　 　．

12．（5分）已知圆与圆相外切，则的最大值为　 　．

13．（5分）若圆，关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值为　　．

14．（5分）在平面直角坐标系中，已知椭圆与不过坐标原点的直线相交与、两点，线段的中点为，若、的斜率之积为，则椭圆的离心率为　 　．

二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（14分）（1）求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程；

（2）求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍的直线方程．

16．（14分）如图，过底面是矩形的四棱锥的顶点作，使，且平面平面，若点在上且满足．求证：

（1）平面；

（2）平面平面．

17．（14分）在平面直角坐标系中，设命题：椭圆的焦点在轴上；命题：直线与圆有公共点．若命题为假命题，且命题为真命题，求实数的取值范围．

18．（16分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为点，棱上，且．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求证：平面；

（3）若为中点，在棱上，且，求证：平面．

19．（16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．

（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；

（2）设平行于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；

（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．

20．（16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；

（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．

2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.

1．（5分）命题“，”的否定是　，　．

【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．

【解答】解：全称命题的否定是特称命题，

命题“，”的否定是”的否定为：，；

故答案为：，

【点评】本题考查命题的否定，熟练掌握全称命题“，”的否定为特称命题“，”是解题的关键．

2．（5分）过点且垂直于直线的直线方程为　　．

【分析】设与直线垂直的直线的方程为，把点的坐标代入求出值，即得所求的直线的方程．

【解答】解：设所求的直线方程为，把点的坐标代入得，

，

故所求的直线的方程为，

故答案为．

【点评】本题考查利用待定系数法求直线的方程，与垂直的直线的方程为的形式．

3．（5分）是直线和直线平行的　充分不必要　条件．

（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）

【分析】由，解得．经过验证可得，进而判断出结论．

【解答】解：由，解得或．

经过验证都满足条件，因此或．

是直线和直线平行的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要．

【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．（5分）若圆的半径为1，点与点关于点对称，则圆的标准方程为　　．

【分析】利用中点坐标公式求出圆心坐标，根据圆的半径写出方程．

【解答】解：设点，由点与点关于点对称，

利用中点坐标公式得：，；

解得：，；

又半径为，

所以圆的标准方程为：．

故答案为：．

【点评】本题考查了圆的标准方程与中点坐标公式的应用问题，是基础题．

5．（5分）已知正方体，，分别是正方形和的中心，则和所成的角的大小是　　．

【分析】要求线线角，关键是作出线线角，利用平行关系可得线线角．故可求．

【解答】解：连接，

、分别是正方形和的中心，

为和所成的角，

中，，，

．

和所成的角的大小是．

故答案为：．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意异面直线所成角的合理运用．

6．（5分）直线的倾斜角的取值范围是　，，　．

【分析】根据题意，求出直线的斜率，分析可得，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，直线变形为，

其斜率，则有，

则其倾斜角的范围为：，，；

故答案为：，，

【点评】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系．

7．（5分）设棱长为的正方体的体积和表面积分别为，，底面半径高均为的圆锥的体积和侧面积分别为，，若，则的值为　　．

【分析】根据体积比得出和的关系，代入面积公式求出面积比即可．

【解答】解：圆锥的母线．

，，，．

，．

．

故答案为：．

【点评】本题考查了圆锥，正方体的体积和表面积计算，属于基础题．

8．（5分）直线被圆截得的弦长为2，则实数的值是　　．

【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．

【解答】解：圆可化为

圆心为：，半径为：

圆心到直线的距离为：．

直线被圆截得的弦长为2，

，

．

故答案为：．

【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，正确运用勾股定理是解题的关键．

9．（5分）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为，则椭圆的方程为　　．

【分析】根据题意，由椭圆的离心率公式可得，变形可得，又由椭圆经过点的坐标，可得，联立两式解可得、的值，将、的值代入椭圆的方程即可得答案．

【解答】解：根据题意，椭圆的焦点在轴上，

若其离心率，则有，

则，

又由椭圆过点，则有，

联立两式解可得，，

则椭圆的方程为：；

故答案为：．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意由椭圆的离心率分析、的关系．

10．（5分）已知，是两个不同的平面，，是两条不同直线，，．给出下列命题：

①；②；③；  ④．

其中正确的命题是　①④　． （填写所有正确命题的序号）．

【分析】在①中，由线面垂直的性质定理得；在②中，与相交、平行或异面；在③中，与相交或平行；在④中，由已知得，从而．

【解答】解：由，是两个不同的平面，，是两条不同直线，，，知：

在①中，，由线面垂直的性质定理得，故①正确；

在②中，与相交、平行或异面，故②错误；

在③中，与相交或平行，故③错误；

在④中，，故④正确．

故答案为：①④．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

11．（5分）已知实数，满足方程，则的取值范围是　　．

【分析】整理方程，可得方程表示以点为圆心，以为半径的圆，设，进而根据圆心到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，确定出的范围，即为所求式子的范围．

【解答】解：设，即，

整理方程，可得

方程表示圆心坐标为，半径的半圆的部分），

当直线与圆相切时，圆心到切线的距离，即，

解得：，

则的取值范围是，．

故答案为，

【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线与圆相切时满足的条件，利用了转化的思想，求出直线与圆相切时斜率的值是解本题的关键．

12．（5分）已知圆与圆相外切，则的最大值为　　．

【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得，要使取得最大值，则，同号，不妨取，，则，然后利用基本不等式求得的最大值．

【解答】解：圆的圆心坐标为，半径为2，

圆的圆心坐标为，半径为1，

由圆与圆相外切，

可得，即，

要使取得最大值，则，同号，不妨取，，则，

．

故答案为：．

【点评】本题考查圆与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

13．（5分）若圆，关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值为　4　．

【分析】圆的方程化为标准方程，圆心坐标代入直线，可得点在直线，过，作的垂线，垂足设为，则过作圆的切线，切点设为，则切线长最短，从而可得结论．

【解答】解：圆可化为，圆心坐标为，

代入直线得：，即点在直线，

过，作的垂线，垂足设为，则过作圆的切线，切点设为，则切线长最短，

于是有，，

由勾股定理得：．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线长的计算，确定切线长最短是关键．

14．（5分）在平面直角坐标系中，已知椭圆与不过坐标原点的直线相交与、两点，线段的中点为，若、的斜率之积为，则椭圆的离心率为　　．

【分析】设，，，．线段的中点，．可得，，相减可得：，利用中点坐标公式、斜率计算公式及其，即可得出，再利用离心率计算公式即可得出．

【解答】解：设，，，．线段的中点，．

，，

相减可得：，

把，，代入可得：，

又，，解得．

．

故答案为：．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（14分）（1）求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程；

（2）求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍的直线方程．

【分析】（1）斜率是直线的斜率的的直线斜率．利用点斜式可得．

（2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：．直线不经过原点时，设直线方程为：，把点代入解得即可得出．

【解答】解：（1）斜率是直线的斜率的的直线斜率．

利用点斜式可得：，化为：．

（2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：．

直线不经过原点时，设直线方程为：，把点代入可得：，解得．

化为：．

【点评】本题考查了直直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

16．（14分）如图，过底面是矩形的四棱锥的顶点作，使，且平面平面，若点在上且满足．求证：

（1）平面；

（2）平面平面．

【分析】（1）点是中点，易证四边形是平行四边形，从而，利用线面平行的判断定理即可得到面；

（2）依题意，可证平面，利用面面垂直的判断定理即可证得面面．

【解答】证明：（1），，，，．

四边形为平行四边形，．

又平面，平面，

平面．（7分）

（2）平面平面，平面平面，

，平面，平面，

又平面，平面平面（14分）

【点评】本题考查直线与平面平行的判断与平面与平面垂直的判定，掌握线面平行的判断定理与面面垂直的判定定理是基础，属于中档题．

17．（14分）在平面直角坐标系中，设命题：椭圆的焦点在轴上；命题：直线与圆有公共点．若命题为假命题，且命题为真命题，求实数的取值范围．

【分析】若命题为真：由题可知，，解得范围．若命题为真：与圆有公共点，则圆心到直线的距离：，解得范围．根据命题为假命题，且命题为真命题，可得与一真一假．

【解答】解：若命题为真：由题可知，，解得（3分）

若命题为真：与圆有公共点

则圆心到直线的距离：，解得（7分）

命题为假命题，且命题为真命题，

若真假，则，解得（10分）

若真假，则，解得（13分）

综上：实数的取值范围是（14分）

【点评】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（16分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为点，棱上，且．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求证：平面；

（3）若为中点，在棱上，且，求证：平面．

【分析】（1）直接利用体积公式，求三棱锥的体积；

（2）要证平面，先证，再证，即可．

（3）为的中点，连，设，连，只要即可．

【解答】（1）解：是正三角形，平面，，

三棱锥的体积．

（2）证明：取的中点，，．

，为的中点．

为的中点，．则．

是正三角形，．

平面，．

，平面．．

，平面．

（3）解：连，设，连．

由条件知，为的重心，．

当时，，．

平面，平面，

平面．

【点评】本题考查棱锥的结构特征，证明线面垂直，线面平行，考查体积的计算，考查逻辑思维能力，是中档题．

19．（16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．

（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；

（2）设平行于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；

（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．

【分析】（1）设，则圆为：，，从而得到，由此能求出圆的标准方程．

（2）由题意得，，设，则圆心到直线的距离：，由此能求出直线的方程．

（3）任意，，欲使，此时，，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数的取值范围．

【解答】解：（1）在直线上，设，

圆与轴相切，圆为：，，

又圆与圆外切，圆，即圆，

，解得，

圆的标准方程为．

（2）由题意得，，设，

则圆心到直线的距离：，

则，，即，

解得或，

直线的方程为：或．

（3），即，

又，即，解得，，

对于任意，，欲使，

此时，，

只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，

必然与圆交于、两点，此时，即，

因此实数的取值范围为，．

【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．

20．（16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；

（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．

【分析】（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出，，由此能求出椭圆的标准方程．

（2）直线的方程为，与椭圆联立，得，，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．

（3）的方程可设为，与椭圆联立得点的横坐标为，由，能求出结果．

【解答】解：（1）椭圆的离心率，左顶点为，

，又，．（2分）

又，

椭圆的标准方程为．（4分）

（2）直线的方程为，

由消元得，．

化简得，，

，．（6分）

当时，，

．

点为的中点，的坐标为，

则．（8分）

直线的方程为，令，得点坐标为，

假设存在定点，，使得，

则，即恒成立，

恒成立，，即，

定点的坐标为．（10分）

（3），的方程可设为，

由，得点的横坐标为，（12分）

由，得

（14分）

，

当且仅当即时取等号，

当时，的最小值为．（16分）

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用．

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日期：2021/2/23 14:36:03；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394