2020-2021学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.
1．（5分）“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
2．（5分）不等式的解集为　　
A．，， B．，
C．， D．，
3．（5分）“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件
4．（5分）观察数列1，，，4，，，7，，，，则该数列的第23项等于　　
A． B． C． D．
5．（5分）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百一十六，借问大儿多少岁，各儿岁数要谁推．这位公公年龄最大的儿子年龄为　　

A．9岁 B．12岁 C．21岁 D．36岁
6．（5分）不等式的解集是空集，则实数的范围为　　
A． B．， C．， D．，
7．（5分）已知实数，满足，则的最大值为　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数，若，其中，则的最小值为　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）如果，那么下列不等式正确的是　　
A． B． C． D．
10．（5分）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是　　
A． B． C． D．0
11．（5分）已知数列为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的有　　
A． B．最小 C． D．
12．（5分）将个数排成行列的一个数阵，如图；该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中．已知，，记这个数的和为．下列结论正确的有　　

A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分.
13．（5分）已知不等式的解集为或，则　　．
14．（5分）已知数列为等差数列，为的前项和，若，，则的取值范围是　　．
15．（5分）已知，且，若恒成立，则非零整数的取值集合是　　．
16．（5分）对于数列，若任意，，都有为常数）成立，则称数列具有性质．
（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则的最大值为　　；
（2）若数列的通项公式为，且具有性质（9），则实数的取值范围是　　．
四、解答题：本大题共6小题共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合，其中；集合．
（1）若，求；
（2）若，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．（10分）已知等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，，____，，，是否存在正整数，使得数列的前项和，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
从①，②，③这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答．
19．（12分）已知函数，为常数）．
（1）若，解关于的不等式；
（2）若，当，时，恒成立，求的取值范围．
20．（12分）已知数列的前项和为，，，且，，29成等差数列．
（1）求的值；
（2）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（3）设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围．
21．（12分）党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展．新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
（1）请写出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
22．（14分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．
（1）求证：；
（2）设，其前项和为，求；
（3）在（2）的条件下，设，求使不等式对一切且均成立的最大整数．

2020-2021学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.
1．（5分）“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，“，”的否定是，，
故选：．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
2．（5分）不等式的解集为　　
A．，， B．，
C．， D．，
【分析】解不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：，
，
或，
解得：，
故不等式的解集是，，
故选：．
【点评】本题考查了解分式不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．
3．（5分）“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件
【分析】直接利用不等式的性质，充分条件和必要条件求出结果．
【解答】解：由，解得，所以当时，成立，但是当时，，不一定成立，故“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
4．（5分）观察数列1，，，4，，，7，，，，则该数列的第23项等于　　
A． B． C． D．
【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第23项是哪个数．
【解答】解：由数列得出规律，按照1，，，，
是按正整数的顺序排列，且以3为循环节；
由；
所以该数列的第23项为．
故选：．
【点评】本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题．
5．（5分）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百一十六，借问大儿多少岁，各儿岁数要谁推．这位公公年龄最大的儿子年龄为　　

A．9岁 B．12岁 C．21岁 D．36岁
【分析】设第个儿子的年龄为，则是公差的等差数列，利用等差数列前项和公式列出方程组，能求出结果．
【解答】解：设第个儿子的年龄为，则是公差的等差数列，
由题意得，
解得．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）不等式的解集是空集，则实数的范围为　　
A． B．， C．， D．，
【分析】根据二次项的系数含有参数分情况讨论，再由解集是空集和二次方程的解法列出不等式分别求解即可．
【解答】解：令，解得；
当时，不等式化为，解得，不合题意，舍去；
当时，不等式化为，无解，符合题意；
当，即时，
由的解集是空集，
所以，
解得，
综上得，实数的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查了二次不等式的解法，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想．
7．（5分）已知实数，满足，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【分析】通分后整理，分子分母同时除以，再由基本不等式求最值．
【解答】解：，

当且仅当时取等号，此时取得最大值为．
故选：．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，主要考查了利用基本不等式求解最值，是中档题．
8．（5分）已知函数，若，其中，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【分析】先推得，再利用倒序相加法求得，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值，则答案可求．
【解答】解：，

．
令，
则，

，
即，
，得，其中，则．
当时，
，
当且仅当，即，时等号成立；
当时，

，
当且仅当，即，时等号成立．
，的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用倒序相加法求和，考查利用基本不等式求最值，属难题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）如果，那么下列不等式正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：对于，由，可得，故错误；
对于，当时，，故错误；
对于，由，可得，所以，故正确；
对于，由，可得，所以，即，
，即，所以，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
10．（5分）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是　　
A． B． C． D．0
【分析】设，其图象为开口向上，对称轴是，根据二次函数零点的分布列出不等式组，从而求出的取值范围．
【解答】解：设，其图象为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示．

若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，
因为对称轴为，则，
即，解得，
又，所以可以为，，0．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质应用问题，也考查了二次函数的零点分布问题，是中档题．
11．（5分）已知数列为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的有　　
A． B．最小 C． D．
【分析】根据题意，由，然后逐项分析即可得解．
【解答】解：因为数列为等差数列，设其等差为，由于，即，即，故正确；
当时，没有最小值，故错误；
因为，
所以，故正确；
，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的前项和，等差数列的通项，等差数列的性质，属于基础题．
12．（5分）将个数排成行列的一个数阵，如图；该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中．已知，，记这个数的和为．下列结论正确的有　　

A． B．
C． D．
【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式可求出的值，再结合已知条件写出的通项公式，最后利用分组求和法计算，即可．
【解答】解：，，
，解得或（舍负），即选项正确；
，
，即选项错误，选项正确；




，即选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查归纳推理，还涉及等差数列与等比数列的通项公式、前项和公式，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分.
13．（5分）已知不等式的解集为或，则　　．
【分析】由不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值，再计算．
【解答】解：不等式的解集为或，
所以对应方程的解为1和4，
由根与系数的关系知，，
解得，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．
14．（5分）已知数列为等差数列，为的前项和，若，，则的取值范围是　，　．
【分析】推导出，从而，由此能求出的取值范围．
【解答】解：数列为等差数列，为的前项和，
，，
，
，．
的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题等差数列的前4项和公式的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）已知，且，若恒成立，则非零整数的取值集合是　，1，　．
【分析】根据条件可得，然后利用基本不等式求出的范围，再根据恒成立，求出的范围，进一步得到非零整数的取值集合．
【解答】解：，且，
，
，
当且仅当，即时取等号，又，，
恒成立，
只需，，
为非零整数，的取值集合为，1，．
故答案为：，1，．
【点评】本题考查了不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属中档题．
16．（5分）对于数列，若任意，，都有为常数）成立，则称数列具有性质．
（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则的最大值为　6　；
（2）若数列的通项公式为，且具有性质（9），则实数的取值范围是　　．
【分析】（1）不妨令，由题设条件，令，，再由在时恒成立求得的最大值；
（2）由题设对任意，恒成立，即可求得结果．
【解答】解：（1）由题设可得：对任意，恒成立，
不妨令，则，即对任意，恒成立，
令，，则在时恒成立，
；
（2）由题设可得：对任意，恒成立，
即，
故答案为：（1）6；（2），．
【点评】本题主要考查数列中新定义性质的应用及不等式恒成立问题中参数取值范围的求法，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合，其中；集合．
（1）若，求；
（2）若，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【分析】解关于，的不等式，求出集合，，（1）代入的值，求出，的交集即可；（2）问题转化为，根据集合的包含关系求出的范围即可．
【解答】解：，或，
，；
（1）当时，或，，
；
（2）或，，
由已知是的必要不充分条件，可知，
故或，解得：或，
故或．
【点评】本题考查了集合的运算，考查充分必要条件以及转化思想，是一道基础题．
18．（10分）已知等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，，____，，，是否存在正整数，使得数列的前项和，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
从①，②，③这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答．
【分析】由已知结合等比数列的通项公式求得等比数列的公比，然后分别取三个条件求得等差数列的公差，得到等差数列的前项和，取倒数，再由裂项相消法求数列的前项和，然后利用求解正整数的最小值．
【解答】解：等比数列的公比为，则，，于是，
即，解得，或（舍去）．
若选①：则，，解得．
，
，于是
，
令，解得，
为正整数，的最小值为4；
若选②，则，，解得．
下同①；
若选③，则，，解得．
于是，
，于是
．
令，得，得，
解得或．
又为正整数，得，即的最小值为3．
【点评】本题考查等比数列的通项公式与性质，考查等差数列的前项和，训练了裂项相消法求数列的前项和，考查不等式的解法，是中档题．
19．（12分）已知函数，为常数）．
（1）若，解关于的不等式；
（2）若，当，时，恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）根据题意将不等式转化为一元二次不等式，分类讨论求解；
（2）将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，然后利用基本不等式求出最值即可．
【解答】解：（1），为常数），得：
，则，即．
①当时，即时，不等式的解集为；
②当时，即时，不等式的解集为；
①当时，即时，不等式的解集为．
（2）因为，，
所以．
显然，由，时不等式恒成立，可知，；
当时，．
令，，．
（当且仅当，即时取等号）
所以，又因为，，
综上所述，的取值范围是．
【点评】本题考查不等式的解法，以及分类讨论思想在解不等式时的应用，同时考查学生的运算能力．属于中档题．
20．（12分）已知数列的前项和为，，，且，，29成等差数列．
（1）求的值；
（2）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（3）设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围．
【分析】（1）在递推式中，令结合，，29成等差数列，构造出，的方程组，即可求解；
（2）根据化和为项即，化出与的关系，结合等差数列的定义即可求证；
（3）将不等式看成，结合二次函数的性质解决问题．
【解答】解；（1）在，，中，
令，得，即，①，②．
由①②解得，．
（2）当时，由，得到．
即，结合，
故数列是以为首项，公差为的等差数列，
故，即．
（3）由（2）得，当恒成立时，
即恒成立，
令，，
当时，恒成立，则符合题意；
当时，由于对称轴，则在，上单调递减，
（1）恒成立，则满足题意；
当时，由二次函数的性质知不恒成立．
综上所述，实数的取值范围是，．
【点评】本题考查等差数列的证明，递推关系中由和化项的基本方法，以及函数思想在不等式中的应用．属于中档题．
21．（12分）党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展．新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
（1）请写出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）直接由题意分类写出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分别利用配方法与基本不等式求出两段函数的最大值，求最大值中的最大者得结论．
【解答】解：（1）当时，
；
当时，
．
；
（2）当时，，
当时，；
当时，．
（当且仅当，即时取“” ．
，
当时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1600万元．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用配方法与基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
22．（14分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．
（1）求证：；
（2）设，其前项和为，求；
（3）在（2）的条件下，设，求使不等式对一切且均成立的最大整数．
【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出结果；
（2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和；
（3）利用（2）的结论和数列的单调性的应用求出结果．
【解答】证明：（1）各项均为正数的数列的前项和为，且满足，①
当时，；
当时，，②
①②得：，
，
由于首项符合通项，
所以；
解：（2）由（1）得：；③
；④
④③得：，
由于，
所以（常数），
所以．
则，
所以⑤，
⑥，
⑤⑥得：，
，
整理得：．
（3）由（2）得：，
由题意得：对任意的，恒成立，
记：，
，
由于，
所以，即随的增大而增大，
的最小值为（2），
由于，
所以．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，数列的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
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日期：2021/2/24 20:20:57；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394