2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高二（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高二（上）期末数学试卷

一、选择题（本题8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）不等式的解集为　　

A．或 B．或 C． D．

2．（5分）在等差数列中，已知，则该数列前11项和　　

A．58 B．88 C．143 D．176

3．（5分）已知空间向量，1，，，，，且，则　　

A． B． C．1 D．3

4．（5分）“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．

6．（5分）曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为　　

A． B． 

C．和 D．

7．（5分）已知两个正数，满足，则的最小值是　　

A．23 B．24 C．25 D．26

8．（5分）函数的定义域为，，对任意，，则的解集为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）

9．（5分）下列说法中正确的是　　

A．若不等式的解集为，则必有 

B．函数的零点就是函数图象与轴的交点 

C．若不等式的解集是或，则方程的两个根是， 

D．若方程没有实数根，则不等式的解集为

10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知函数，则下列结论正确的是　　

A．函数在处取得最大值为 

B．函数有两个不同零点 

C． 

D．若在上恒成立，则

12．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，，该数列的特点是前两个数都是1，从第三项起每一个数是前面两个数的和，人们把这样的数组成的数列交斐波那契数列，并将数列中各项除以4所得的余数按照原来的顺序组成的数列记为，则下列结论正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．（5分）已知命题，，写出命题的否定：　　．

14．（5分）数列1，，，，的前项和为　 　．

15．（5分）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的大小为　　．

16．（5分）如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型（称为丹德林双球模型）：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面、截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为　　．

四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知命题：实数满足，命题：实数满足．

（1）当时，若“且”为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．

18．（12分）已知数列的前项和为，且，，等差数列满足，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设数列的前项和为，且，求．

19．（12分）已知函数在处有极值10．

（1）求，的值；

（2）求在，上的最小值．

20．（12分）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．

21．（12分）已知抛物线的方程为：，其焦点为，点为坐标原点，过焦点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点．

（1）求；

（2）若中点为，求证：平行轴；

（3）求三角形面积的最小值．

22．（12分）已知函数．

（1）求证：；

（2）求证：对于任意正整数，．

2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【解答】解：不等式，即，

，或，

故选：．

2．【解答】解：在等差数列中，已知，

，

，

故选：．

3．【解答】解：，1，，，，，且，

，解得．

故选：．

4．【解答】解：因为“” “”，而“”推不出“”，所以“”是“”充分不必要条件．

故选：．

5．【解答】解：椭圆的方程化为．

，，

，

此椭圆的离心率为．

故选：．

6．【解答】解：设的坐标为，则，

的导数为，

在点处的切线斜率为，

由切线平行于直线，

可得，解得，

即有或，

故选：．

7．【解答】解：根据题意，正数，满足，

则；

即的最小值是25；

故选：．

8．【解答】解：设，

则，

又对任意，，所以，

即在上单调递增，

则的解集为，

即的解集为．

故选：．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）

9．【解答】解：对于：若不等式的解集为，则必有，故正确；

对于：函数的零点就是函数图象与轴的交点的横坐标，故错误；

对于：若不等式的解集是或，则方程的两个根是，，故正确；

对于：若方程没有实数根，则△，不等式的解集为当时，解集为，当时，解集为．故错误．

故选：．

10．【解答】解：由于双曲线的渐近线方程为；

则的解为，即，

故选：．

11．【解答】解：由于函数，则，

对于：令时，得到，

令时，，故函数在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得最大值为，故正确；

对于：令，即，故函数有一个零点，故错误；

对于：由于，根据函数的单调性，

所以，故正确；

对于：函数在上恒成立，

即在上恒成立，

设，

所以，

令，得到，令，得到，

所以函数在单调递增，在，单调递减，

所以，所以，故正确．

故选：．

12．【解答】解：对于选项，，，，，，，，，，，，

所以数列是以6为最小正周期的数列，

又，所以，故正确，

对于选项：斐波那契数列总有，

所以，

所以，故正确，

对于选项，故错误，

对于选项：因为，，

所以，，

，

．

所以，故正确，

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．【解答】解： “全称命题”的否定一定是“存在性命题”，

命题，，的否定是：，．

故答案为：，．

14．【解答】解：由题意设，

所以

，

故答案为：．

15．【解答】解：如图所示，取的中点，连接，，

因为为的中点，所以，且，

所以四边形为平行四边形，

所以，异面直线与所成的角，即为与所成的角，

因为，，，

所以△，

故，

故，

所以，

所以异面直线与所成的角为．

故答案为：．

16．【解答】解：根据球外一点向作球的切线长相等可知，，，

由椭圆的定义可知，

又球和球的半径分别为1和3，，

故，

即椭圆的长轴长为．

故答案为：．

四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【解答】解：由，得，

命题满足的集合为，．

命题满足的集合为，．

（1）当时，，，，．

由“且”为真，的，，，；

（2）若是的充分条件，则，，，

，解得．

的取值范围为，．

18．【解答】解：（1），，则，

可得时，，相减可得，

即，可得，对也成立，

则，；

等差数列的公差设为，满足，，

可得，，解得，

则；

（2），

，

，

两式相减可得

，

化简可得．

19．【解答】解：（1）因为在处有极值10，

所以即，

解得：或，

当时，满足题意，

当时，不合题意，

所以；

（2），

令得，，

列表如下：

因为，（1），

所以最小值为10．

20．【解答】证明：平面，平面，

，

，，，

，

又，，

，

同理可得：，

又，

平面．

解：取中点，过作平面的垂线，交于，

，，

，，，，

以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：

则，，，，0，，，0，，，，，

，，，，0，，，，，

设平面的法向量为，，，则，

，令可得，1，，

．

设直线与平面所成的角为，则．

直线与平面所成的角的正弦值为．

21．【解答】（1）解：设直线的方程为，，，，

联立方程，

得，

，，，

．

（2）证明：设中点的坐标为，，

则，

抛物线方程为，，

所以直线，的斜率分别为：，，

则直线，的方程分别为：，，

解得：，，

所以平行轴；

（3）解：

．

三角形面积的最小值为1．

22．【解答】证明：（1），

当时，单调增，

当时，单调减，

所以（1）的最小值为（1）；

（2）由（1）知，

令得，

所以

，

所以．

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日期：2021/4/10 17:51:23；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394