江苏省苏州市2021-2022学年高一下学期学业质量阳光指标调研数学试题

江苏省苏州市2021-2022学年高一下学期学业质量阳光指标调研数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．过已知平面外一点作与垂直的直线的条数有（       ）

A．0 B．1 C．2 D．无数

2．下表记录了苏州某个月连续8天的空气质量指数（AQI）.

则这些空气质量指数的分位数为（       ）A．24 B．26 C．28              D．31

3．已知的内角所对的边分别为，若，则（       ）

A． B． C．6 D．

4．平面α与平面β平行的充分条件可以是（       ）

A．α内有无穷多条直线都与β平行

B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内

C．直线 ，直线，且bα，aβ

D．α内的任何直线都与β平行

5．设是虚数单位，若复数，则的最小值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．9

6．已知向量，若，则（       ）

A． B． C． D．

7．在中，已知边上的两条中线相交于点，则（       ）

A． B． C． D．

8．已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．定义函数，则（       ）

A．

B．的最小正周期为

C．的图像关于直线对称

D．在上单调递减

10．甲箱中有3个红球､3个黄球，乙箱中有4个红球､2个黄球（12个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，记事件“在甲箱中取出的球是红球”，事件“在甲箱中取出的球是黄球”，事件“从乙箱中取出的球是红球”，则（       ）

A．与互斥 B．与独立

C． D．

11．下列命题中，正确的有（       ）

A．对于任意向量，都有

B．对于任意复数，都有

C．存在向量，使得

D．存在复数，使得

12．已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的有（       ）

A．若为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为

B．若为棱的中点，则过点有且仅有一条直线与直线都相交

C．若为以为直径的球面上的一个动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为

D．若平面，则截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大

三、填空题

13．若圆台上下底面半径分别为和，高为，则此圆台的体积为___________.

14．设是虚数单位，复数，，请写出一个满足是纯虚数的复数___________.

15．在中，已知.若为边上的一点，且，，则___________.

四、双空题

16．在中，已知为边上一动点，过点作一条直线交边于点.

（1）若为中点，且，则___________.；

（2）设，则的最大值是___________.

五、解答题

17．2022年2月苏州新冠肺炎疫情发生后，2月17日，“疫”声令下，江苏省内各大市纷纷闻讯而动，约6000名医务工作者雪夜抱团驰援苏州，为苏州抗疫工作注入坚实而温暖的力量，各方力量按成一股绳，合力“苏”写了守望相助的抗疫故事，现从各市支援苏州某地区的700名医务工作者中随机抽取40名，将这40人的年龄按照，，，这3个区间绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计这40名医务工作者的平均年龄（同一组数据用该组，区间的中点值代表）

(2)现需要对居家隔离的居民进行单管核酸检测，防疫指挥部决定在，两区间段医务工作者中按比例分配分层随机抽样方法抽取5人.假设5人已经选定，现要从这5人中选择2人到某户进行检测，求选中的两人来自不同年龄段的概率.

18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点，为线段的中点.

(1)若为线段的中点，证明：平面平面；

(2)若平面，试确定点的位置，并说明理由.

19．已知函数.

(1)若函数的图象过点，且，求的值；

(2)若，且，求的值.

20．如图，在平行四边形中，是的中点，点分别在边上，且满足，.

(1)当时，求证：；

(2)若，且，求的值.

21．如图1，为了测量运动场上探照灯杆的高度；某数学兴趣小组进行如下实验：一身高为米的人站在灯杆正前方某点处（用表示站立的人），此时在地面的人影为，此人朝灯杆位置沿直线向前走4米后（用表示站立的人），此时在地面的人影为（假设把探照灯看做一个点光源）.

(1)若，求灯杆的高度（单位：米）；

(2)如图2，在地面上存在点满足，现在探照灯杆上安装一电子屏幕（屏幕中轴线为）播放运动赛况，屏幕的高米，屏幕底部距离地面米.此人（用表示站立的人）从上某一位置出发走向上某一位置（行走路线一直落在内），为始终能获得最佳观看效果（眼睛观看屏幕上下沿形成的视角最大），求此人行走的最短路程.

22．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别是线段，上的动点，且.

(1)若二面角为，求的长；

(2)当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围.

参考答案：

1．B【分析】由平面的基本性质判断垂直于平面的直线条数.

【详解】由过一点垂直于一个平面的直线有且只有一条，故平面外一点作与垂直的直线的条数有1条.

故选：B

2．B【分析】把空气指数按从小到大顺序排列后，计算出，然后求出第2个数和第3个数的平均值即得．

【详解】空气指数的8个数从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，38，

又，

所以分位数是．

故选：B．

3．A【分析】利用正弦定理整理代入运算即可．

【详解】由正弦定理，整理得

故选：A．

4．D【分析】由平面的基本性质，结合线面、面面间的关系判断是否有面面平行即可.

【详解】A：α内有无穷多条直线都与β平行，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；

B：直线aα，aβ，且直线a不在α与β内，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；

C：直线 ，直线，且bα，aβ，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；

D：α内的任何直线都与β平行，α内任取两条相交的直线平行于β，由面面平行的判定知，正确.

故选：D.

5．A【分析】根据复数的减法，求得，再根据复数的模和三角函数的性质即可求得答案.

【详解】解：因为，

所以=，

当时，.

故选：A.

6．C【分析】根据向量数量积的坐标表示，结合题意整理可得，再代入二倍角的正切公式运算求解．

【详解】由题意可得：，整理得，即

∴

故选：C．

7．B【分析】由题可得三角形为直角三角，建立坐标系，将问题转化为求与夹角的余弦即可.

【详解】解：因为

所以，

所以,

又因为,

所以三角形为直角三角，

建立如图所示的坐标系，

则有：,

因为分别为中点，

所以,

所以,,

所以==.

故选：B.

8．A【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围.

【详解】因为，所以，

即，

所以，

整理得：，

因为，

所以，

由正弦定理得：，

因为，

所以，

因为为锐角三角形，

所以为锐角，

所以，即，

由，解得：，

因为，

所以，

解得：，

故选：A

【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.

9．AC【分析】先求出，再根据的周期性、对称性与单调性等性质逐项分析即可得到答案.

【详解】因为,

所以对于选项A，,故A正确；

对于选项B，， 因此，故B错误；

对于选项C，，因此的图像关于直线对称，故C正确；

对于选项D，，由，得的单调递减区间为：，因为，所以不在上单调递减，故D错误.

故选:AC.

10．ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，求出概率及后判断CD．

【详解】摸一个球，红球与黄球不可能同时出现，与是互斥事件，A正确；

发生了，则，没发生，则，因此发生与否对的概率有影响，它们不独立，B错；

，C正确；

，D正确；

故选：ACD．

11．ABC【分析】对于A：根据向量加法的三角形法则分析判断；对于B：将复数转化为向量分析判断；对于C：根据数量积的定义分析判断；对于D：利用复数的三角表示运算判断．

【详解】对于A：根据向量加法的三角形法则易得，当且仅当同向或有为零向量时等号成立，A正确；

对于B：设复数对应的向量为，则，根据向量可得，B正确；

对于C：∵，当且仅当，即时等号成立，

∴只要不共线，则成立，C正确；

对于D：设，则

∵

∴，D错误；

故选：ABC．

12．ABC【分析】A找到异面直线所成角的平面角求正切值；B利用平面的基本性质找到与面的交点，进而确定过与直线都相交的直线是否唯一；C首先确定及△外接圆圆心位置，再求外接圆半径及圆心到的距离，即可得外接球半径；D利用正方体截面的性质，动态分析截面从到过程中截面图形面积和周长的变化情况即可.

【详解】A：如下图，由则与所成角即为，而，正确；

B：若为中点，而为棱的中点，则，故共面，

连接并延长交于，连接并延长交于，

又面，面，，，

故所得直线过与直线都相交，

唯一性说明：若存在过与直线都相交另一条直线，显然该直线也在面PAG内，

则与面存在另一个交点(非)，与直线与平面相交有且仅有一个交点矛盾，

所以直线为过与直线都相交的唯一直线，正确；

C：由题设，当到面距离最大为球体半径时的体积最大，

此时在面两侧，距离为，可视为正方形的中心，

而△外接圆圆心为中点，其半径为，且△外接圆圆心到距离为，

故外接球半径为，故三棱锥外接球的表面积为，正确；

D：如下图，平面时，截面从点到面过程中，截面面积和周长都越来越大；从面到面过程中，面积先变大后变小而周长不变；从面到过程中，面积和周长越来越小，错误.

故选：ABC

13．【分析】利用圆台的体积公式直接代入求得结果.

【详解】解：设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，高为，

则圆台的体积.

故答案为：.

14．（只要满足，且）【分析】利用复数的乘法化简复数，根据为纯虚数可出关于、的等式与不等式，即可得解.

【详解】由已知可得为纯虚数，则.

所以，且，

故满足题设条件的复数可以是.

故答案为：（只要满足，且）.

15．【分析】分别在在、中，利用正弦定理用表示，进而确定两者之间的关系，即可求出答案．

【详解】由题意可得：，则

设，则

在中，由正弦定理可得，整理可得

在中，由正弦定理可得，整理可得

∴，则

故答案为：．

16．     ．     ．【分析】（1）利用，将展开代入数量积运算；

（2）先把化简转化为齐次式，分子分母同除以，构造转化为二次式比二次式，分离常数再转化为一次式比二次式，分子分母同除以一次式，再利用基本不等式求出最值．

【详解】(1)若为中点，且，则为中位线，

（2）

令，则，

令，则

当时，，当且仅当时取等号，

，

，

的最大值是，

故答案为：   ．

【点睛】本题主要考查向量运算和分式函数最值得求解，运算量比较大，属于填空压轴题．

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图可得每组的频率，再根据加权平均数运算求解；（2）先根据分层抽样求每层抽取的人数，再根据古典概型求解．

（1）

被抽取的40名医务工作人员的平均年龄.

（2）

40人中年龄在内的人数比为，即.

按比例分配分层随机抽样，在内应抽取人，在内应抽取人.

设年龄在内的3人编号为，年龄在内的2人编号为4，5，用表示选择编号为的事件，

设事件“选中的两人来自不同年龄段”，则，所以.

因为，所以.

所以.

∴选中的两人来自不同年龄段的概率为.

18．(1)证明见解析

(2)点为线段的三等分点，且靠近点处，理由见解析

【分析】（1）根据题意结合线面垂直的性质、判定定理可证平面，进而证明结果；（2）利用线面平行的性质定理理解分析．

（1）

因为底面为正方形，，所以.

因为为线段中点，所以在平面中，.

因为底面底面，所以.

又平面平面，

所以平面.

因为平面，所以.

又平面平面，

所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）

如图，连接，交于点，连接.

因为在正方形中，为线段中点，

，所以，即.

因为平面平面，平面平面，

所以，

所以，即，

所以点为线段的三等分点，且靠近点处.

19．(1)

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换整理化简，根据题意代入整理得，结合角的范围求解；

（2）根据题意代入整理，以为整体运算求解，注意根据角的范围判断三角函数值的符号．

（1）

因为.

所以.

因为函数的图象过点，

所以.

因为，所以，所以，解得.

（2）

因为，所以.

因为，所以.

所以，

又，所以.

因为，所以，所以.

20．(1)证明见解析

(2)

【分析】根据平面向量基本定理，以为基底表示题中其它向量．（1）根据，运算证明；（2）先整理运算可得，再代入题中所求问题运算求解．

（1）

.

因为是的中点.

所以.

所以.

因为，所以.

且，所以，所以.

（2）

.

因为，

所以.

两式相减得，所以.

因为，

所以.

所以

21．(1)米

(2)米

【分析】（1）由，得到相似比，，计算得到，，由题可得，建立关系式，代入数量即可求得灯杆的高度；

（2）将平面单独拿出，在和中分别求得，，利用两角差的正切公式求得，进而转化成函数，利用基本不等式求最值即可.

（1）

解：因为，所以，

因为，所以，所以，

同理可得.

由题意可得，，，

所以，即，

所以米；

（2）

设，在平面内过点作，垂足为（如图），，，

所以，，

所以，

因为（当且仅当，即时取等号），

所以当此人距离灯杆的距离为米时始终能获得最佳观看效果，

此时此人行走的路程为以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧长，

所以最短路程为米.

22．(1)；

(2).

【分析】取中点，过点作，交于点，连结，根据一直题干信息可知和全等，为二面角的平面角，进而在中求得的长；

根据三棱锥的体积为，求得，可知为中点，利用等体积法和余弦定理的结合，用含的式子表示出，进而求得与平面所成角的正弦值的取值范围.

（1）

解：取中点，过点作，交于点，连结.

因为底面是边长为的菱形，，

所以为等边三角形.

由直四棱柱，可得平面，

平面，，

，，,

所以和全等，可得.

因为为中点，所以.

又因为，

所以为二面角的平面角，即.

在平面中，，，

所以，则有，

所以.

在中，，，

则，

解得.

（2）

因为平面，所以，

因为三棱锥的体积为，

所以，解得，所以为中点.

因为平面，所以.

在中，，，

所以.

设到平面的距离为，

在中，，，

所以，

所以.

因为，所以，解得.

在中，由余弦定理得，

所以.

设与平面所成角为.

所以.

令，则.

因为，所以，所以，

所以与平面所成角正弦的取值范围是.