2021-2022学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1．（5分）已知全集，2，3，4，，，，，，则　　

A． B．， C．，2，4， D．，2，3，

2．（5分）函数的定义域是　　

A．， B．，， C．，， D．，

3．（5分）　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若点在第四象限，则角的终边在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．（5分）已知某函数的图象如图，则该函数的解析式可能是　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知偶函数在，上是增函数，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知函数的图象恒过点，正实数，满足，则的最小值是　　

A．9 B．12 C．3 D．6

8．（5分）设函数，，其中是自然对数的底数，若对任意，，都存在，使得，则实数的最大值为　　

A．0 B．1 C． D．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

9．（5分）下列说法正确的有　　

A．“”是真命题 

B．“，”是假命题 

C．的充要条件是 

D．是的充分不必要条件

10．（5分）已知，，是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有　　

A． B．若，则 

C．若，则 D．若，．则

11．（5分）已知函数，则　　

A．当时，的最小正周期是 

B．当时，的值域是 

C．当时，为奇函数 

D．对，的图象关于直线对称

12．（5分）已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则　　

A． B． 

C． D．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

13．（5分）若幂函数的图象过点，则　　．

14．（5分）设，则　　．

15．（5分）已知定义在上的函数满足，当时，，且（2），则不等式的解集为 　　．

16．（5分）已知为正数，函数在区间，和，上的最大值分别记为和，若，则　　，的取值范围为 　　．

四、解答题：（本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

17．（10分）已知“，方程有实根”是真命题．

（1）求实数的取值集合；

（2）设，关于的不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求的取值范围．

18．（12分）已知的最小正周期为，______．

在①的图象过点，②的图象关于直线对称，③的图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充到横线上，并解答问题．

（1）求函数的解析式；

（2）将的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递增区间．

19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，角，的始边均为轴非负半轴，终边分别与单位圆交于，两点，．

（1）若点的纵坐标为，求的值；

（2）若，求的值．

20．（12分）已知函数，，．

（1）求的值域；

（2）若对，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

21．（12分）如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中养殖观赏鱼，，顶点到河两岸的距离，，，两点分别在两岸，上，设．

（1）若，求养殖区域面积的最大值；

（2）现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值．

22．（12分）已知函数满足．

（1）求的值；

（2）求证：在定义域内有且只有一个零点，且．

2021-2022学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1．（5分）已知全集，2，3，4，，，，，，则　　

A． B．， C．，2，4， D．，2，3，

【解答】解：由全集，2，3，4，，，，，，

，

，2，4，，

故选：．

2．（5分）函数的定义域是　　

A．， B．，， C．，， D．，

【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且．

函数的定义域是，，．

故选：．

3．（5分）　　

A． B． C． D．

【解答】解：

，

故选：．

4．（5分）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若点在第四象限，则角的终边在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，

若点在第四象限，

，，角的终边在第二象限，

故选：．

5．（5分）已知某函数的图象如图，则该函数的解析式可能是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由图象知函数为奇函数，排除，，

函数的零点只有一个0，排除，

故选：．

6．（5分）已知偶函数在，上是增函数，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为偶函数在，上是增函数，

所以在上单调递减，

所以，

又，

所以（3），

故．

故选：．

7．（5分）已知函数的图象恒过点，正实数，满足，则的最小值是　　

A．9 B．12 C．3 D．6

【解答】解：根据题意，

函数恒过，

，，

，又，，

，当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为6．

故选：．

8．（5分）设函数，，其中是自然对数的底数，若对任意，，都存在，使得，则实数的最大值为　　

A．0 B．1 C． D．

【解答】解：因为，，，所以，，

又因为对任意，，都存在，使得，

所以的值域包含，，

所以，．

若，则，存在；

若，则，即，所以．

若，则，即，所以．

综上所述：．

故选：．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

9．（5分）下列说法正确的有　　

A．“”是真命题 

B．“，”是假命题 

C．的充要条件是 

D．是的充分不必要条件

【解答】解：对于，故错误；

对于：当时，，故正确；

对于，故成立的充要条件是，故正确；

对于：当时，，反之不一定成立，故错误．

故选：．

10．（5分）已知，，是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有　　

A． B．若，则 

C．若，则 D．若，．则

【解答】解：对于，，当且仅当时，等号成立，

，故正确，

对于，，当且仅当时，等号成立，故正确，

对于，令，，满足，但，故错误，

对于，，，

，即，故正确．

故选：．

11．（5分）已知函数，则　　

A．当时，的最小正周期是 

B．当时，的值域是 

C．当时，为奇函数 

D．对，的图象关于直线对称

【解答】解：对于：当时，

函数

，

所以函数的最小正周期为，故正确；

对于，当时，

，

的值域为，，故正确；

对于，当时，，

则，

故，即不是奇函数，故错误；

对于，，

，

则的图象关于直线对称，故正确．

故选：．

12．（5分）已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：画出函数与函数的图像如下：在，上单调递减，值域，；在，上单调递增，值域，；

在，单调递减，值域，；在，单调递增，值域，．

则有，，即，选项判断错误；

方程有四个不同的实数解，则有，选项判断正确；

由在，上单调递减，值域，，

（e），，

可知，选项判断正确；

由，可知，

又，

则有，故选项判断正确．

故选：．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

13．（5分）若幂函数的图象过点，则　　．

【解答】解：设幂函数为，因为图象过点，则，所以，．

所以．

故答案为．

14．（5分）设，则　　．

【解答】解：原式，

又因为，

所以原式，

故答案为：．

15．（5分）已知定义在上的函数满足，当时，，且（2），则不等式的解集为 　　．

【解答】解：由可得

又（2），则（4）（4）（2）（2）（2）

设任意，，且，则，又当时，，

则

即，故函数在上为减函数．

则不等式，

等价于，解得，

故答案为：．

16．（5分）已知为正数，函数在区间，和，上的最大值分别记为和，若，则　1　，的取值范围为 　　．

【解答】解：由于函数在区间，和，上的最大值分别记为和，

若，则，，

因为，所以，，

所以，，矛盾，

故，又，所以，

所以，于是得，

所以，，结合，

所以，，所以．

故答案为：1；，．

四、解答题：（本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

17．（10分）已知“，方程有实根”是真命题．

（1）求实数的取值集合；

（2）设，关于的不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求的取值范围．

【解答】（1）若，方程有实根是真命题，

则△，所以，

因此，．

（2）因为，所以，，

所以不等式的解集，

若是的充分条件，则是的子集，

所以，解得，

所以的取值范围是，．

18．（12分）已知的最小正周期为，______．

在①的图象过点，②的图象关于直线对称，③的图象关于点对称，这三个条件中任选一个，补充到横线上，并解答问题．

（1）求函数的解析式；

（2）将的图象上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递增区间．

【解答】解：（1）若选①：（1）由已知得，则，

于是，

因为图象过点，

所以，

由，得，

所以，即，

故．

若选②：由已知得，则，

于是．

因为图象关于直线对称，所以，

即，

又因为，所以，故．

若选③：由已知得，则，

于是．

因为图象关于点，对称，所以，

即，又因为，

所以，故．

（2）由已知得，

令，可得．

故的单调递增区间为．

19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，角，的始边均为轴非负半轴，终边分别与单位圆交于，两点，．

（1）若点的纵坐标为，求的值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）由三角函数定义可知，

又，所以，

所以，

所以；

（2）因为，

由得，

所以，

所以，

，

所以．

20．（12分）已知函数，，．

（1）求的值域；

（2）若对，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）令，当，时，，（2分）

则可将原函数转化为，

当时，；当时，．

所以在，上的值域为．（5分）

（2）关于的不等式对，恒成立，

由（1），对恒成立，

所以，

所以，（8分）

因为（当且仅当，即时，等号成立），

所以在上为减函数，在上为增函数，（10分）

又在上的最大值为，

因此实数的取值范围为，即，．（12分）

21．（12分）如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中养殖观赏鱼，，顶点到河两岸的距离，，，两点分别在两岸，上，设．

（1）若，求养殖区域面积的最大值；

（2）现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值．

【解答】（1）时，，

所以，

又因为（当且仅当时等号成立），

所以，

于是，

因此，养殖区域面积的最大值为．

（2）由题意，，

所以，

所以的周长，

其中．

设，则，

所以．

所以，

于是当时，，

因此，观赏长廊总长的最小值为．

22．（12分）已知函数满足．

（1）求的值；

（2）求证：在定义域内有且只有一个零点，且．

【解答】解：（1）根据题意，函数满足，

所以，即，

解得；

（2）证明：由题意可知函数的图象在上连续不断．

①当，时，因为与在，上单调递增，

所以在，上单调递增．

又因为，（1），则有．

根据函数零点存在定理，存在，使得．

所以在，上有且只有一个零点．

②当，时，，所以，

所以在，上没有零点．

③当时，，所以，

所以在上没有零点．

综上所述，在定义域上有且只有一个零点．

因为，即．

则，，，

又因为在上单调递减，

所以．

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