2021-2022学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．（5分）已知且，若集合，2，3，4，，，4，6，，则　　

A．， B．， C．，3， D．，3，6，

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）已知，若，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

4．（5分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为　　

A． B． C． D．

5．（5分）要得到函数的图象，只需　　

A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 

B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来倍（纵坐标不变） 

C．将函数图象上所有点向左平移个单位 

D．将函数图象上所有点向左平移个单位

6．（5分）已知，，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　

A．， B． 

C．，， D．，，

7．（5分）函数的图象如图所示，则　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

8．（5分）设函数，，则不等式（2）的解集是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．

9．（5分）已知，，且，则　　

A． B． C． D．

10．（5分）已知函数，，对于任意，，，则　　

A．的图象经过坐标原点 B． 

C．单调递增 D．

11．（5分）已知函数，则　　

A．函数的图象关于点，对称 

B．函数的图象关于直线对称 

C．若，，则函数的值域为， 

D．函数的单调递减区间为，

12．（5分）已知是定义域为的奇函数，满足，且当，时，，则　　

A． 

B．函数是周期函数 

C．不等式的解集是， 

D．当关于的方程恰有三个不同的解时，

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）已知角的终边经过点，，且，则的值为 　　．

14．（5分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为 　　．

15．（5分）设函数，若，则　　．若函数有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是 　　．

16．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合，，，．

（1）当时，求；

（2）在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的存在，求出的取值范围；若问题中的不存在，请说明理由．问题：是否存在正实数，使得“”是“”的___？

18．（12分）已知函数．

（1）求值；

（2）若，求的值．

19．（12分）如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记梯形的周长为．

（1）设，将表示成的函数；

（2）求梯形周长的最大值．

20．（12分）已知，且．

（1）若，求的值；

（2）求的最小值．

21．（12分）已知函数，．

（1）利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是减函数；

（2）若存在实数，，使得函数在区间，上的值域为，，求实数的取值范围．

22．（12分）已知函数，．

（1）讨论函数的奇偶性；

（2）设集合，，，若，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．（5分）已知且，若集合，2，3，4，，，4，6，，则　　

A．， B．， C．，3， D．，3，6，

【解答】解：因为且，

又集合，2，3，4，，，4，6，，

则，3，，

故选：．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：因为已知命题为全称命题，

所以该命题的否定是“，”，

故选：．

3．（5分）已知，若，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解答】解：在同一直角坐标系中分别画出三个函数的图象，如图：

由图可知：．

即，

故选：．

4．（5分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设半径为，

则，

，

，

，

即，

解得，

，

即，

的长度为．

故选：．

5．（5分）要得到函数的图象，只需　　

A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 

B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来倍（纵坐标不变） 

C．将函数图象上所有点向左平移个单位 

D．将函数图象上所有点向左平移个单位

【解答】解：将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，故错误；

将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数，故错误；

将函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数，故错误；

将函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数，故正确；

故选：．

6．（5分）已知，，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　

A．， B． 

C．，， D．，，

【解答】解：因为关于的不等式的解集为，

所以，即，

则 化为，

即，

解得

故选：．

7．（5分）函数的图象如图所示，则　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

【解答】解：函数的定义域为，

由图象可知，，

令得，则，，

令得，则，，

，

即，，，

故选：．

8．（5分）设函数，，则不等式（2）的解集是　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数，，定义域关于原点对称，

且，所以是奇函数，

当，时，，，，且都为增函数，

（或利用导数，

所以函数单调递增，则当，时，函数单调递增，

所以令，，解得，

则当时，（2），不符合题意；

当时，令（2），则不等式可化为，

可知在上单调递增，且（2）（2），

所以，

解得，则，即解集为．

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．

9．（5分）已知，，且，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于：由于和的范围不确定，故不一定成立，故错误；

对于：由于，所以，故正确；

对于：由于，所以，故正确；

对于，故，故正确．

故选：．

10．（5分）已知函数，，对于任意，，，则　　

A．的图象经过坐标原点 B． 

C．单调递增 D．

【解答】解：因为对于任意，，，

令，得，

所以，故正确；

令，

所以，

即，

所以，

即，故正确；

令代入得，故正确；

任取，，且，

由选项可知，函数为奇函数，

所以

代入得，

因为，而的符号不确定，

所以不能确定函数的单调性，故错；

故选：．

11．（5分）已知函数，则　　

A．函数的图象关于点，对称 

B．函数的图象关于直线对称 

C．若，，则函数的值域为， 

D．函数的单调递减区间为，

【解答】解：已知函数，

对于：当时，，故正确；

对于：当时，，故错误；

对于：由于，故，故．

故的值域为，故错误；

对于：令，整理得，，函数的单调递减区间为，故正确．

故选：．

12．（5分）已知是定义域为的奇函数，满足，且当，时，，则　　

A． 

B．函数是周期函数 

C．不等式的解集是， 

D．当关于的方程恰有三个不同的解时，

【解答】解：由题意可知，，所以，

所以函数是周期为4的周期函数，故正确；

对于选项，（1），故错误；

对于选项，当，时，，当，时，，

因为，，所以，则函数关于对称，

所以当，时，，当，时，，

则可作出函数在一个周期，上的图象，如图所示，

所以在一个周期，时，，解得，

所以在整个定义域上，的解集是，，故正确；

对于，根据函数的图象可知，当时，也有三个不同的解，故错误．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）已知角的终边经过点，，且，则的值为 　　．

【解答】解：角的终边经过点，，且，

解得（负值舍去）；

则．

故答案为：．

14．（5分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为 　37.5　．

【解答】解：，

又当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时14分钟，

，解得，

当过了42分钟，．

故答案为：37.5．

15．（5分）设函数，若，则　　．若函数有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是 　　．

【解答】解：，

又，

，解得，

当时，

，

当时，

，

函数有最小值，且无最大值，

，解得，

故实数的取值范围为．

故答案为：；．

16．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为 　　．

【解答】解：因为正实数，满足，

即，

则，

当且仅当且时取等号，此时取得最小值．

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合，，，．

（1）当时，求；

（2）在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的存在，求出的取值范围；若问题中的不存在，请说明理由．问题：是否存在正实数，使得“”是“”的___？

【解答】解：集合，，

（1）当时，，，

所以；

（2）选①，即“”是“”的充分条件，则，

显然此时集合，即，

所以，

则有，解得；

所以的取值范围是，．

选②，即“”是“”的必要条件，则，

当时，，此时满足条件；

当时，，，

则有，此时不等式组无解；

综上，的取值范围是，．

18．（12分）已知函数．

（1）求值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1），

所以；

（2）由（1）得：，

故．

19．（12分）如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记梯形的周长为．

（1）设，将表示成的函数；

（2）求梯形周长的最大值．

【解答】解：（1）过点作垂直于于点，如图所示，

下底是半圆的直径，，，

，

又，，

，

梯形的周长，且，

即，．

（2），，

设，则，

，

当时，取得最大值5，

即当时，取得最大值5．

20．（12分）已知，且．

（1）若，求的值；

（2）求的最小值．

【解答】解：（1）若，则，

即，所以，

解得或，

（2）因，则，，，

由，

当且仅当时取等号，

令，则，

，

，

，

，

即的最小值为．

21．（12分）已知函数，．

（1）利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是减函数；

（2）若存在实数，，使得函数在区间，上的值域为，，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）证明：根据题意，，

设，

则，

若，则，，，

则有，即函数在区间上是减函数；

（2）根据题意，由（1）的结论，函数在区间上是减函数，

若存在实数，，使得函数在区间，上的值域为，，

则有且，

变形可得且，

则方程存在两个正根，

设，

又由函数，，

则，

又由，当且仅当时等号成立，

故的最小值为9，没有最大值，

若存在两个正根，必有，

故的取值范围为．

22．（12分）已知函数，．

（1）讨论函数的奇偶性；

（2）设集合，，，若，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，定义域为．

且．

故为奇函数；

当 时，，（1），

（1），

即（1），且（1），

因此既不是奇函数也不是偶函数；

综上，当时，为奇函数；

当时，既不是奇函数也不是偶函数．

（2）由得，

整理得，

由题意知，当时，恒成立，

当时，，

则，

即，

设，，，

①当，即时，

，即，

又，所以；

②当，即时，

，

即，

又，所以；

③当，即时，

，即，

又，所以；

综上，．

当时，，即，

因为，所以恒成立，

由此，

故的取值范围是，．

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