2024年新高考数学一轮复习 第二章 第六节 函数的图象及其应用

课时跟踪检测(十四) 函数的图象及其应用

一、全员必做题

1．把函数y＝2x的图象向右平移t个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝，则t的值为(　 )

A.  B．log23 

C．log32  D.

解析：选B　函数y＝2x的图象向右平移t个单位长度得y＝2x－t＝，所以2t＝3，得t＝log23.

2．函数f(x)＝1－的图象大致为(　 )

解析：选C　函数f(x)＝1－的图象是将函数y＝－先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到；又由于函数y＝－图象关于原点中心对称，所以f(x)＝1－图象关于(－1,1)中心对称，所以C正确．

3．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　 )

解析：选C　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．

4．已知函数f(x)＝|x2－1|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是(　 )

A．(0，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(1，)  D.(1,2)

解析：选C　作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y＝1，交f(x)的图象于B点，由x2－1＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1，)，故选C.

5．函数f(x)＝x5－x·ex的图象大致是(　 )

解析：选B　由f(2)＝32－2e2＝2(16－e2)>0，可排除A、D；由f(－2)＝－32＋2e－2＝2(e－2－16)<0，可排除C；故选B.

6．已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是(　 )

A．y＝f(|x|)  B．y＝|f(x)|

C．y＝f(－|x|)  D.y＝－f(－|x|)

解析：选C　图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，∴图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．

7．(2023·石家庄一模)函数f(x)＝的部分图象大致是(　 )

解析：选A　f(x)＝定义域为R，f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，据此排除B、D选项；由题意易知x→＋∞时，f(x)＝>0,2x→＋∞，2－x→0，x3→＋∞，因为指数函数y＝2x比幂函数y＝x3增长的速率要快，故f(x)→0，即f(x)在x→＋∞时，图象往x轴无限靠近且在x轴上方，故A选项符合．

8．(2023·驻马店高三期末)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＋ax－a＝0有2个不同的实根x1，x2，且x1x2<0，则a的取值范围是(　 )

A．(－∞，－2]  B．[－2,0)

C．(0,2]  D.[2，＋∞)

解析：选C　关于x的方程f(x)＋ax－a＝0有2个不同的实根等价于直线y＝－a(x－1)与f(x)的图象有2个不同的交点，画出f(x)的图象，由图可知－2≤－a<0，即0<a≤2.

9．(2022·九江二模)已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则y＝f(x)的解析式可能是(　 )

A．f(x)＝

B．f(x)＝

C．f(x)＝

D．f(x)＝

解析：选D　函数f(x)在x＝0处无定义，排除选项A；函数f(x)的图象关于原点对称，故f(x)为奇函数，排除选项B；当0<x<1时，cos x>0，ex>e－x，故>0，排除选项C，故选D.

10．(2023·河北九师联盟一模)若e－x1·x3＝－ln x2·x3＝－1，则下列不等关系一定不成立的是(　 )

A．x1<x3<x2  B．x3<x1<x2

C．x3<x2<x1  D.x1<x2<x3

11．已知函数f(x)＝若实数m∈[－2,0]，则|f(x)－f(－1)|在区间[m，m＋2]上的最大值的取值范围是(　 )

A．[1,4]  B．[2,4]

C．[1,3]  D.[1,2]

解析：选D　由题意，当x≤－1时，f(x)＝x＋2；当－1<x<0时，f(x)＝－x；当x≥0时，f(x)＝x2－2x.所以f(－1)＝1，则|f(x)－f(－1)|＝|f(x)－1|，因为m∈[－2,0]，所以区间[m，m＋2]⊆[－2,2]，且该区间长度为2.作出函数f(x)的图象，如图1，进而可得到y＝|f(x)－1|在[－2,2]上的图象，如图2，根据图象可知y＝|f(x)－1|在区间[m，m＋2]上的最大值的取值范围是[1,2]．

12．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ex(x＋1)，则下列命题正确的是(　 )

A．当x>0时，f(x)＝－e－x(x－1)

B．函数f(x)有3个零点

C．f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)

D．∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2

解析：选BCD　设x>0，则－x<0，f(－x)＝e－x(－x＋1)，∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝e－x(x－1)，f(0)＝0，因此函数f(x)有三个零点0，±1.当x<0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋2)，可得当x＝－2时，函数f(x)取得极小值f(－2)＝，即为最小值．作出y＝f(x)的图象如图所示．f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(0＋)－f(0－)|<2.综上，B、C、D都正确．

13．在同一平面直角坐标系中，若函数y＝2a与y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为______．

解析：在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．由题意，可知2a＝－1，则a＝－.

答案：－

14.如图，已知函数f(x)的图象为折线ACB (含端点A，B)，其中A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，则不等式f(x)>log2(x＋2)的解集是________．

解析：在同一坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝log2(x＋2)的图象，易知当x＝2时，f(x)＝log2(x＋2)＝2，∴不等式f(x)>log2(x＋2)的解集是[－4,2)．

答案：[－4,2)

15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x.若f(a)<4＋f(－a)，则实数a的取值范围是________．

解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(a)<4＋f(－a)可转化为f(a)<2，作出f(x)的图象，如图．由图易知a<2.

答案：(－∞，2)

16．(2023·北京第九中学模拟)已知函数f(x)＝若∃x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＋f(－x0)＝0成立，请写出一个符合条件的函数g(x)的表达式________．

解析：由∃x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＋f(－x0)＝0可得g(x0)＝－f(－x0)，由y＝f(x)与y＝－f(－x)图象关于原点对称可得y＝ln x与y＝－ln(－x)图象关于原点对称，如图，取y＝时，在第三象限显然有一交点x0，故取g(x)＝符合条件．

答案：g(x)＝(答案不唯一)

二、重点选做题

1．设函数f(x)＝g(x)＝x＋＋a，若存在唯一的x0，使得h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最小值为h(x0)，则实数a的取值范围是(　 )

A．(－∞，－2)  B．(－∞,－2]

C．(－∞，－1)  D.(－∞，－1]

解析：选A　依题意可作出函数图象如图所示，因为存在唯一的x0，使得h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最小值为h(x0)，所以当x>0时，g(x)min<f(x)min，由图可知f(x)min＝0，当x>0时，g(x)＝x＋＋a≥2＋a＝a＋2，当且仅当x＝，即x＝1时取得等号，所以g(x)min＝a＋2，所以a＋2<0，解得a<－2，故选A.

2．(2023·南通高三期末)(多选)某同学在研究函数f(x)＝(x∈R)时，给出下面几个结论中正确的是(　 )

A．f(x)的图象关于点(－1,1)对称

B．f(x)是单调函数

C．f(x)的值域为(－1,1)

D．函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点

解析：选BCD　作出y＝f(x)的图象，如图所示：

对于A，f(x)的图象关于(0,0)对称，不关于点(－1,1)对称，故A错误；对于B，f(x)是R上的增函数，故B正确；对于C，由图象知，f(x)的值域为(－1,1)，故C正确；对于D，令g(x)＝f(x)－x＝0，得x＝0，即x＝0，解得x＝0，从而函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点，故D正确．

3．某村准备将一块边长为2 km的正三角形空地(记为△ABC)规划为公园，并用一条垂直于边BC的小路(宽度不计)把空地分为两部分，一部分以绿化为主，一部分以休闲健身为主．如图，BC∥x轴，小路记为直线x＝m(0<m<2)，小路右侧为健身休闲区，其面积记为f(m)，则函数S＝f(m)的图象大致为(　 )

解析：选C　由题图可知，A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则直线AB：y＝－x＋，AC：y＝x－，当0<m≤1时，S＝f(m)＝×2×－×m×[－(－m＋)]＝(2－m2)，当1<m<2时，S＝f(m)＝×(2－m)×[－(m－1)]＝(2－m)2.结合选项知选C.

4．已知函数f(x)＝若x1<x2，x1<x3且f(x1)＝f(x2)，f(x1)＋f(x3)＝4，则的取值范围是________．

解析：由已知得，当x>3时，f(x)>2，当x∈[－9,3]时，0≤f(x)≤2，并且图象关于x＝－3对称，函数图象如图所示：

如果x1>3，则f(x1)＝f(x2)不成立，∴x1∈[－9,3]，x2∈[－9,3]，并且有x1＋x2＝－6；由f(x1)＋f(x3)＝4可知，必有4>f(x3)＝4－f(x1)≥2，

∴4>log2(x3＋1)≥2,3≤x3<15；

∴＝－x3∈.

答案：