2024年新高考数学一轮复习 第二章 第二节 第四课时　函数性质的综合应用(二)

课时跟踪检测(十) 函数性质的综合应用(二)

1．(2023·贵阳模拟)函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于点(0,0)与点(1,0)对称．当x∈(－1,0]时，f(x)＝－x2，则f＝(　 )

A．－  B．－  C．－  D.－

解析：选A　因为y＝f(x)的图象关于点(0,0)与点(1,0)对称，所以f(－x)＋f(x)＝0，且f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，当x∈(－1,0]时，f(x)＝－x2，所以f＝f＝f＝－2＝－.

2．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(x)＝f(2－x)．若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(30)＝(　 )

A．13  B．0  C．－1  D.1

解析：选D　因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，又f(x)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(2＋x＋2)＝－f(2＋x)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，又f(1)＝1，所以f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(30)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×7＋f(1)＋f(2)＝1.

3．函数y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　 )

A．f(1)<f<f

B．f<f(1)<f

C．f<f<f(1)

D．f<f(1)<f

解析：选B　因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，又因为函数y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以函数y＝f(x)在区间[2,4]上单调递减．因为f(1)＝f(3)，>3>>2，所以f<f(3)<f，即f<f(1)<f，故选B.

4．(2023·成都七中高三开学考试)设函数f(x)定义域为R，f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝－x2＋1，则下列结论错误的是(　 )

A．f＝－

B．f(x＋7)为奇函数

C．f(x)在(6,8)上为减函数

D．f(x)的一个周期为8

解析：选C　由题设，f(－x－1)＝－f(x－1)，则f(x)关于(－1,0)对称，所以f[－(x－1)－1]＝－f(x－1－1)，即f(－x)＝－f(x－2)，则f[－(x－2)]＝－f(x－2－2)，即f(2－x)＝－f(x－4)．由f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(x)关于x＝1对称，所以f[－(x－1)＋1]＝f(x－1＋1)，即f(2－x)＝f(x)，综上，f(x)＝－f(x－4)，则f(x－4)＝－f(x－4－4)＝－f(x－8)，故f(x)＝f(x－8)，即f(x)＝f(x＋8)易知f(x)的周期为8，D正确；f＝f＝f＝f＝－f＝－f＝－，A正确；由f(x－1)＝f(x＋7)，而f(x－1)为奇函数，故f(x＋7)为奇函数，B正确；由x∈(－1,0)时f(x)＝－x2＋1单调递增，则x∈(7,8)时f(x)单调递增，显然C错误．

5．已知定义在R上的函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，若f(2)＝0，且函数f(x－1)为偶函数，则不等式xf(x)>0的解集为(　 )

A．(2，＋∞)

B．(－4，－1)∪(0，＋∞)

C．(－4，＋∞)

D．(－4,0)∪(2，＋∞)

解析：选D　因为函数f(x－1)为偶函数，则f(－x－1)＝f(x－1)，故函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，因为函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减，因为f(2)＝0，则f(－4)＝0，所以，由f(x)<0可得－4<x<2，由f(x)>0可得x<－4或x>2，解不等式xf(x)>0，可得或解得－4<x<0或x>2，故不等式xf(x)>0的解集为(－4,0)∪(2，＋∞)．

6．已知f(x－1)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在[－1,0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－3)<0的解集为(　 )

A．(1,2)  B．(－∞，1)

C．(2，＋∞)  D.(－∞，1)∪(2，＋∞)

解析：选D　因为f(x－1)是定义在R上的奇函数，所以f(x－1)＝－f(－x－1)；函数f(x)关于点(－1,0)对称．当x＝-2时，f(－3)＝－f(1)＝0；当x＝0时，f(－1)＝0；所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．所以当2x－3<－2时2x－3>－3，解得x<0；当－2≤2x－3≤0时2x－3<－1，解得0≤x<1；当2x－3>0时2x－3>1，解得x>2；综上所述，不等式f(2x－3)<0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．

7．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)满足f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝log2，则f的值为(　 )

A．2  B．3

C．4  D.6

解析：选B　因为f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，即函数f(x)为偶函数，因为f(x＋2)＝，所以函数f(x)是周期函数，且T＝4，所以f＝f＝f＝f＝f＝f ＝log2＝3.

8．(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)关于(1,0)中心对称，f(x＋1)是偶函数，且f＝1.则下列选项中说法不正确的是(　 )

A．f(x)为奇函数  B．f(x)周期为2

C．f＝1  D.f(x－2)是奇函数

解析：选BC　由于f(x－1)关于(1,0)中心对称，又将函数f(x－1)向左平移1个单位后为f(x)，所以f(x)关于(0,0)中心对称，即f(x)是奇函数；又f(x＋1)是偶函数，又将函数f(x＋1)向右平移1个单位后为f(x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，即f(x)＝f(2－x)；所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，所以函数f(x)的周期T＝4，所以选项A正确、B错误；f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－1，故C错误；f(x－2)＝－f(－x＋2)＝－f(－x＋2－4)＝－f(－x－2)，所以f(x－2)是奇函数，D正确．

9．(2022·太原五中二模)已知函数y＝f(2x＋1)的图象关于直线x＝1对称，函数y＝f(x＋1)关于点(1,0)对称，则下列说法正确的是(　 )

A．f(1)＝0  B．f(1－x)＝f(1＋x)

C．f(x)的周期为2  D.f(x)＝f

解析：选B　因为函数y＝f(2x＋1)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2(1＋x)＋1)＝f(2(1－x)＋1)，即f(2x＋3)＝f(3－2x)．用x代换上式中的2x，即可得到f(x＋3)＝f(3－x)，所以f(x)关于直线x＝3对称．函数y＝f(x＋1)关于点(1,0)对称，所以f(1＋x＋1)＋f(1－x＋1)＝0，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，所以f(x)关于点(2,0)对称．对于f(x＋3)＝f(3－x)，令x取x＋1，可得，f(x＋4)＝f(2－x)．对于f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x取x＋2，可得，f(x＋4)＝－f(－x)．所以f(2－x)＝－f(－x)，令x取－x，可得，f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(x－2)，令x取x＋2，可得，f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的最小正周期为4.所以C、D错误；对于B，对于f(x＋3)＝f(3－x)，令x取x－3，可得，f(x)＝f(6－x)．因为f(x)的最小正周期为4，所以f(6－x)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(2－x)，即f(x＋1)＝f(1－x)．故B正确．对于A，由f(x＋1)＝f(1－x)，可得x＝1为对称轴，所以不能确定f(1)＝0是否成立．故A错误．

10．(2022·淄博三模)(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x)＋f(2－x)＝2，则下列结论正确的是(　 )

A．f(x)的图象关于x＝1对称

B．f(x＋4)＝f(x)

C．若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f(x)在区间[2 021,2 022]上单调递增

D．若函数f(x)在区间(0,1)上的解析式为f(x)＝ln x＋1，则f(x)在区间(2,3)上的解析式为f(x)＝ln(x－1)＋1

解析：选BC　对于A选项，因为f(x)＋f(2－x)＝2，则函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，A错误；对于B选项，因为f(x)＋f(2－x)＝2且函数f(x)为偶函数，所以，f(x)＋f(x－2)＝2可得f(x＋2)＋f(x)＝2，所以，f(x＋2)＝f(x－2)，所以，对任意的x∈R，f(x＋4)＝f(x)，B正确；对于C选项，因为f(x＋4)＝f(x)，若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f(x)在区间[2 021，2 022]上单调递增，C正确；对于D选项，当x∈(2,3)时，2－x∈(－1,0)，x－2∈(0,1)，所以，f(x)＝2－f(2－x)＝2－f(x－2)＝2－[ln(x－2)＋1]＝1－ln(x－2)，D错误．故选B、C.

11．(2022·遵义三模)已知函数f(x)满足：①f(0)＝0；②f(4－x)＝f(x)；③在(2,3)上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数f(x)＝________.

解析：由题意可知，f(x)的图象关于直线x＝2对称，且在(2,3)上单调递减，f(0)＝0，可取f(x)＝－x2＋4x满足条件．

答案：－x2＋4x(答案不唯一)

12．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2 020)＋f(2 021)＝________.

解析：根据题意，奇函数f(x)定义域为R，则f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，又由f(x＋1)为偶函数，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，则有f(－x)＝f(2＋x)，综合可得f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，故f(2 020)＝f(0＋505×4)＝f(0)＝0，f(2 021)＝f(1＋505×4)＝f(1)＝－f(－1)＝1，故f(2 020)＋f(2 021)＝0＋1＝1.

答案：1

13．(2023·大连模拟)已知函数f(x)为定义在R上的函数，对任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(2－x)成立，且f(x)在[2，＋∞)上单调递减，若f(－1)＝0，则不等式f(x－1)≥0的解集为______________．

解析：由题意，因为函数f(x)对任意的x∈R均有f(x＋2)＝f(2－x)，所以可得函数f(x)的图象关于x＝2对称，又由f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，2)上单调递增，因为f(－1)＝0，可得f(5)＝f(－1)＝0，则不等式f(x－1)≥0，可得－1≤x－1≤5，解得0≤x≤6，所以不等式f(x－1)≥0的解集为[0,6]．

答案：[0,6]

14．(2023·南通高三开学考试)已知f(x)是定义域为R的函数，f(x－2)为奇函数，f(2x－1)为偶函数，则(i)＝________.

解析：因为f(2x－1)为偶函数，所以f(－2x－1)＝f(2x－1)，所以f(－x－1)＝f(x－1)，即f(－x－2)＝f(x)，则f(x)关于直线x＝－1对称，因为f(x－2)为奇函数，所以f(x－2)＝－f(－x－2)，所以f(x)的图象关于点(－2,0)对称，所以f(x－2)＝－f(－x－2)＝－f(x)，则f(x－4)＝－f(x－2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，由f(x－2)＝－f(－x－2)＝－f(4－x－2)＝－f(2－x)，即f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，又f(x)是定义域为R的函数，所以f(0)＝0，在f(x－2)＝－f(x)中，令x＝－1，所以f(－3)＝－f(－1)＝f(1)＝－f(3)，所以f(1)＋f(3)＝0，在f(x－2)＝f(－x)中，令x＝－2，所以f(－4)＝f(2)＝－f(4)，所以f(2)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以(i)＝f(0)＋4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0.

答案：0