2024年新高考数学一轮复习 第二章 第一节 函数的概念及其表示

课时跟踪检测(六) 函数的概念及其表示

1．函数y＝的定义域是(　 )

A．[－3，＋∞)  B．[－3,0)∪(0，＋∞)

C．(－3，＋∞)  D.(0，＋∞)

解析：选B　依题意⇒x≥－3且x≠0，所以函数y＝的定义域是[－3,0)∪(0，＋∞)．

2．下列四组函数中，表示同一函数的是(　 )

A．f(x)＝ ，g(x)＝x

B．f(x)＝x，g(x)＝

C．f(x)＝x，g(x)＝x0

D．f(x)＝log22x，g(x)＝

解析：选D　对于A，f(x)＝|x|，g(x)＝x两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；对于B，f(x)的定义域为R，而g(x)＝＝x的定义域为{x|x≠0}．两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f(x)的定义域为R，g(x)＝x0＝1，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域和对应关系都不相同，所以两个函数不是同一函数；对于D，f(x)＝x，g(x)＝x，定义域、值域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数．故选D.

3．已知函数f(x)＝则f(f(4))等于(　 )

A．－3  B．  C．3  D.8

解析：选D　∵f(x)＝∴f(4)＝log4＝－log24＝－log222＝－2，∴f(f(4))＝f(－2)＝＝8.

4．已知函数f(－1)＝－x，则函数f(x)的表达式为(　 )

A．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥0)

B．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥－1)

C．f(x)＝－x2－2x－1(x≥0)

D．f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1)

解析：选D　令t＝－1，可得x＝(t＋1)2，从而有f(t)＝－(t＋1)2，其中t≥－1，所以有f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1)，故选D.

5．(多选)已知f(x)满足f(x)－2f(－x)＝2x－1，则(　 )

A．f(3)＝3  B．f(3)＝－3

C．f(x)＋f(－x)＝2  D.f(x)＋f(－x)＝－2

解析：选AC　∵f(x)－2f(－x)＝2x－1，∴f(－x)－2f(x)＝－2x－1，化简得－3f(x)＝－2x－3，解得f(x)＝x＋1，故f(3)＝3，A正确，B错误；又f(－x)＝－x＋1，则f(x)＋f(－x)＝2，C正确，D错误．

6．已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是(　 )

A．(－12,0)  B．(－12,0]

C.  D.

解析：选B　∵f(x)＝的定义域为R，∴只需分母不为0即可，即ax2＋ax－3≠0恒成立，①当a＝0时，－3≠0恒成立，满足题意；②当a≠0时，Δ＝a2－4a×(－3)<0，解得－12<a<0，综上可得－12<a≤0.

7．若函数f(x＋1)的定义域为[－1,15]，则函数g(x)＝的定义域为(　 )

A．[1,4]  B．(1,4]

C．[1,14]  D.(1,14]

解析：选B　因为函数f(x＋1)的定义域为[－1,15]，所以－1≤x≤15，所以0≤x＋1≤16，所以函数f(x)的定义域为[0,16]，所以要使函数g(x)＝有意义，需满足解得1<x≤4，所以函数g(x)＝的定义域为(1,4]．

8．(多选)狄利克雷(1805—1859)是德国数学家，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点．用其名字命名的狄利克雷函数D(x)＝则下列叙述中正确的是(　 )

A．D(x＋1)＝D(x)  B．D(x＋)＝D(x)

C．D(D(x))＝1  D.D(x)是偶函数

解析：选ACD　根据题意，函数D(x)＝对于A，当x为有理数时，则x＋1也为有理数，满足D(x)＝D(x＋1)＝1，当x为无理数时，则x＋1也为无理数，满足D(x)＝D(x＋1)＝0，所以D(x＋1)＝D(x)成立，所以A正确；对于B，当x＝1时，则1＋也为无理数，满足D(1)＝1，D(1＋)＝0，可得D(1)≠D(1＋)，所以B不正确；对于C，当x为有理数，可得D(x)＝1，则D(D(x))＝1，当x为无理数，可得D(x)＝0，则D(D(x))＝1，所以D(D(x))＝1，所以C正确；对于D，当x为有理数，则－x也为有理数，满足D(－x)＝D(x)＝1，当x为无理数，则－x也为无理数，满足D(－x)＝D(x)＝0，所以函数f(x)为偶函数，所以D正确．

9．(多选)具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是(　 )

A．f(x)＝x－  B．f(x)＝ln

C．f(x)＝  D.f(x)＝

解析：选AD　对于A，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于B，f(x)＝ln，则f＝ln≠－f(x)，不满足题意；对于C，f＝＝ex－1，－f(x)＝－≠f，不满足题意；对于D，f＝即f＝则f＝－f(x)满足“倒负”变换．

10．已知函数f(x)＝若f(a－2)＝f(a)，则f＝(　 )

A．11  B．6  C．4  D.2

解析：选D　因为f(x)＝所以函数f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上均为增函数，因为f(a－2)＝f(a)，所以可得0<a≤2，由题意可得a2＋a＝5(a－2)＋6，即a2－4a＋4＝0，解得a＝2，符合题意，所以f＝f(1)＝12＋1＝2.故选D.

11．已知函数f(x)＝若f(f(m))≥5，则实数m的取值范围是(　 )

A．[，＋∞)  B．[0，]

C．(－∞，－]  D.[－，0]

解析：选A　因为f(x)＝－x2≤0，为使f(f(m))≥5，只能f(m)<0，即有解得f(m)≤－5，当m<0时，m2＋4m≤－5无解；当m≥0时，－m2≤－5，解得m≥或m≤－，所以m≥.综上，m≥.

12．(多选)已知函数f(x)＝则下列说法正确的是(　 )

A．f(f(3))＝

B．f(f(3))＝

C．f(x)的值域是R

D．若方程f(x)＝a有3个根，则a∈(1,2)

解析：选BD　由已知得f(3)＝，则f(f(3))＝f＝2＋1＝，故A错误，B正确；根据函数解析式，直接画出函数图象，如图所示：由图可知函数f(x)的值域是(0，＋∞)，且若方程f(x)＝a有3个根，则a∈(1,2)，故C错误，D正确．

13．(2022·北京高考)函数f(x)＝＋的定义域是________．

解析：因为f(x)＝＋，所以x≠0,1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0,1]．

答案：(－∞，0)∪(0,1]

14．已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝3，则b＝________.

解析：∵f(－1)＝b－1，∴f(b－1)＝3，当b－1≥1，即b≥2时，2b－1－1＝3，解得b＝3，当b－1<1，即b<2时，b－1＋b＝3，解得b＝2(舍去)，综上，b＝3.

答案：3

15．已知函数f(x)＝若f(f(a))≤0，则实数a的取值范围为________．

解析：∵f(f(a))≤0，∴0<f(a)≤1或－1≤f(a)≤0，∴或或或解得－log23≤a≤0或≤a≤e.

答案：[－log23,0]∪

16．设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝f(x)，f(x)＝其中a，b为正实数，e为自然对数的底数，若f＝f，则的取值范围为________．

解析：因为f(x＋2)＝f(x)，所以f＝f＝()2f＝2eb，f＝f＝f＝×＝(a－1)，因为f＝f，所以(a－1)＝2eb，所以a＝eb＋1，因为b为正实数，所以＝＝e＋∈(e，＋∞)，故的取值范围为(e，＋∞)．

答案：(e，＋∞)