精品解析：北京市中关村中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年北京市海淀区中关村中学高二（下）期中数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）.

1. 已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（    ）

A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项

【答案】C

【解析】

【分析】

将代入通项公式求解即可.

【详解】令，解得.

故选：C

【点睛】本题主要考查数列的通项公式及其应用，属于基础题.

2. 两个数的等差中项是（　　）

A.  B.  C. 5 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差中项的定义即可得出结论．

【详解】两个数的等差中项为.

故选：C．

3. 已知数列中，，，则等于（　　）

A.  B. 12 C.  D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列的定义、通项公式即可得出结论．

【详解】由，可得，

则数列为等差数列，且公差为，所以，

则.

故选：C．

4. 下列结论正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数运算确定正确选项.

【详解】，A正确，

，B错误，

，C错误，

，D错误.

故选：A

5. 若1，，，，4成等比数列，则（    ）

A. 16 B. 8 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据1，，，，4成等比数列，利用等比中项求解.

【详解】因为1，，，，4成等比数列，

，

，(负不合题意，奇数项符号相同)，

则，

故选：B.

6. 若函数在上是减函数,则实数m取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出函数的对称轴，结合函数的单调性得到不等式解出即可．

【详解】函数的对称轴是：，

若函数在上是减函数，

只需，即即可，

故选：B．

7. 直线是曲线的一条切线，则实数b=（    ）

A. -1或1 B. -1或3 C. -1 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数求得切点坐标，进而求得的值.

【详解】令，解得，故切点为或，

而，所以或.

故选：B

8. 如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到t0时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为h0．水面高度h是时间t的函数，这个函数图象只可能是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据球的形状，结合单位时间内高度的变化情况进行判断．

【详解】容器是球形，两头体积小，中间体积大，

在一开始单位时间内高度的增长速度比较慢，超过球心后高度的增长率变快

根据图象增长率可得对应的图象是

本题正确选项：

【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数图象的增长速度是解决本题的关键．

9. 如图所示的是的导函数的图象，下列四个结论：

①在区间上是增函数；

②是的极小值点；

③的零点为和；

④是的极大值点．

其中正确结论的序号是（　　）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③④

【答案】A

【解析】

【分析】利用导函数的图象，对①②③④四个选项逐一分析可得答案．

【详解】由导函数的图象可知，

当时，，

当时，，

所以在区间上单调递减，

在上单调递增，故①正确，②正确；

又和是的零点（是极值点），

不是的零点，且不是的极大值点，故③④均错误；

故选：A

10. 一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用每年后的价值成等比数列，可求得结果.

【详解】依题意可知第一年后的价值为 ，第二年后的价值为，

依此类推可知每年后的价值成等比数列，其首项，公比为，

 所以年后这批设备的价值为.

故选:D。

【点睛】本题考查了数列的简单应用，考查了等比数列的通项公式，属于基础题.

11. 数列是等比数列，m，n，p∈，则“”是“m＋n＝2p”的（　　）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由已知等比数列的通项公式分别检验充分性及必要性即可判断．

【详解】因为数列是等比数列，m，n，p∈，

若，则一定成立，此时m，n，p可以是任意正整数，即m＋n＝2p不一定成立，

当m＋n＝2p，，

则“”是“m＋n＝2p”的必要不充分条件．

故选：B．

12. 设（），则等于（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定和式形式找出规律，利用等比数列前项和公式直接计算作答.

【详解】数列是首项为2，公比为的等比数列，

共有项，所以.

故选：D.

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.

13. 在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如表．观察表中数据的特点．

则a＝________，b＝_______．

【答案】    ①. 140    ②. 85

【解析】

【分析】由题意知，表格中的收缩压形成一个等差数列，舒张压的奇数项形成一个等差数数列，从而求解．

【详解】由题意知，表格中的收缩压形成一个等差数列，公差为5，故a＝135+5＝140；

表格中的舒张压奇数项形成一个等差数列，公差为5，故b＝80+5＝85.

故答案为：140，85．

14. 函数的导函数______.

【答案】

【解析】

【分析】利用乘积导数运算法则，即可得到结果.

【详解】∵，

∴.

故答案为：.

15. 设等差数列的前n项和为，若，，则n＝________时，有最小值为 ________．

【答案】    ①. 4或5    ②. －10

【解析】

【分析】由已知结合等差数列的求和公式先求出，然后结合二次函数的性质即可求解．

【详解】因为等差数列中，，，则d＝1，

所以，

根据二次函数的性质可知，当n＝4或5时，有最小值－10．

故答案为：4或5，－10．

16. 已知数列满足，，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】求出数列的通项公式，然后求解即可．

【详解】数列满足，，

所以数列是等差数列，首项为1，公差为1，

所以，所以，．

故答案为：．

17. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_______后池水中药品的浓度达到最大.

【答案】2

【解析】

【详解】C＝＝5

当且仅当且t＞0，即t＝2时取等号

考点：基本不等式，实际应用

18. 已知数列的前n项和为，现将该数列按如下规律排成个数阵：按行排列，第行有项，每一行从左到右项数依次增大，记为该数阵中第行从左到右第个数的坐标，则坐标为对应的数为 _______；对应的坐标为 ________

【答案】    ①. 41    ②.

【解析】

【分析】利用，求出，将该数列按第n行有个数排成一个数阵，可求对应的数，进而可求对应的坐标．

【详解】∵数列的前n项和为，

∴，

时，，

时，上式成立，

∴，

将该数列按第行有个数排成一个数阵，如图，

由该数阵前n行有：项，

前四行共有15项，∴该数阵第5行从左向右第5个数字为；

又∵，项，所以，

故应排第11行第999个位置，故对应的坐标为．

故答案为：①41；②．

【点睛】思路点睛：主要观察数阵规律，可找到数阵第8行从左向右第8个数字的求法，考查等差数列和等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题共2小题，共24分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

19. 已知数列满足，，等差数列满足，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】（1）依题意为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得；由，，求出公差，进而得到；

（2）求得，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．

【详解】解：（1）由，，

可得；

设等差数列的公差为，

由，，

可得，

则；

（2），

可得数列的前项和为

．

20. 已知函数在处有极值2.

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）求函数的单调区间

（Ⅲ）若函数在区间上有三个零点，写出的取值范围（无需解答过程）

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调增区间为；减区间为；

（Ⅲ）

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据极值定义列方程求解即可；

（Ⅱ）分别求解不等式与即可得出结果；

（Ⅲ）根据极值与单调性数形结合即可求解．

【详解】（Ⅰ）由，依题意得，解得；

（Ⅱ）由解得；当，解得或；

所以函数单调增区间为；减区间为；

（Ⅲ）

一、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）.

21. 函数有（　　）

A. 有极小值1，无极大值 B. 有极大值1，无极小值

C. 有极大值1，有极小值0 D. 无极大值，也无极小值

【答案】A

【解析】

【分析】对函数求导，求出增减区间，然后判断函数的极值即可．

【详解】函数的定义域为，求导得，

由，得，由，得，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值，无极大值.

故选：A

22. 已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是（    ）

A. 公差 B. 在所有中，最大

C. 满足的n的个数有11个 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题设条件可判断数列是递减数列，这样可判断A是否正确；

根据最大，可判断数列从第七项开始变为负的，可判断D的正确性：利用等差数列的前n项和公式与等差数列的性质，可判断、的符号，这样就可判断B、C是否正确．

【详解】等差数列中，最大，且，，A正确；

，，，D正确；,

，，；

的值当递增，当递减，前12项和为正，当时为负．

故B正确；满足n的个数有12个，故C错误.

故选C．

【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最值在等差数列中,存在最大值的条件是：

，;存在最小值的条件是：，．

23. 如图，过原点斜率为k的直线与曲线交于两点，,

①k的取值范围是．

②．

③当时，先减后增且恒为负．

以上结论中所有正确结论的序号是（　　）

A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③

【答案】C

【解析】

【分析】对于①，构造，，求导，结合函数有两个不同的零点，得到，并求出的单调性和极值，最值情况，由得到①正确；对于②，在①的基础上，得到，从而得到②错误；对于③，由①②，结合图象得到③正确.

【详解】对于①，令，，则，

由已知有两个不同的零点，

当时，恒成立，故在上单调递减，

不满足有两个不同的零点，舍去；

则，

令得，令得，

∴在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值，

又时，，时，，

∴只需，则，故①正确；

对于②，由①可知，∴，故②错误；

对于③，结合图象可知，当时，先减后增且恒为负，故③正确．

∴所有正确结论的序号是①③．

故选：C

【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

24. 已知数列，若存在一个正整数使得对任意，都有，则称为数列的周期.若四个数列分别满足：

①，；

②，；

③，，；

④，.

则上述数列中，8为其周期的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】利用数列的周期的定义逐项分析即得.

【详解】①∵，

∴数列的周期为，故8也是数列的周期；

②由，，可得

故数列的周期为；

③由，，可得，

，

故数列的周期为；

④由，可得，

，

故数列的周期为，所以8也是数列的周期.

故8为其周期的数列个数为2.

故选：B.

25. 若函数在区间上，对，为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】，所以在单调递减，单调递增，

，，

则只需，函数就是“三角形函数”，

所以，解得，故选D．

点睛：本题关键是理解三角形函数的定义，要对任意的都满足，则只需即可（三角形较小的两边之和大于第三边），通过求导得到函数的最小值和最大值，代入计算，得到的取值范围．

二、解答题共3小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

26. 已知数列满足：，.

（1）求，，；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1），，   

（2）见解析    （3）

【解析】

【分析】(1)结合递推公式即可求解；(2)由可得到当时，，然后两式相减得到，最后利用等比数列的定义即可求解；(3)由(1)中结论求出数列的通项公式，然后求出的最大值，再通过一元二次不等式即可求解.

【小问1详解】

因为，

所以，，，

解得，，.

【小问2详解】

因为   ①，

所以当时，   ②，

由①②并整理得，，

从而，

又因为，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

【小问3详解】

由(2)可知，，

故

因，即对任意恒成立，

所以，

由可得，；可得 ，

故，即，

从而，解得或，

故实数的取值范围为.

27. 已知函数，．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的极小值；

（3）求函数的零点个数．

【答案】（1）；（2）；（3）个．

【解析】

【分析】

（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极小值；

（3）由当时，以及，结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数.

【详解】（1）因为，所以．

所以，．

所以曲线在点处的切线为；

（2）因，令，得或．

列表如下：

所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，

所以，当时，函数有极小值；

（3）因为，，

所以由（2）得，当时，，又．

由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为．

【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

28. 给定数列.对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.

（1）设数列为，，，，写出，，的值；

（2）设是公比大于的等比数列，且.证明：是等比数列.

（3）设是公差大于的等差数列，且，证明：是等差数列.

【答案】充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明一个数列是等差数列或等比数列，常用定义法.

【解析】

【详解】（1）.

（2）因为，公比，所以是递增数列.

因此，对，，

于是对，.

因此，，且，即成等比数列.

（3）设为的公差.

对，因为，

所以，

又因为，所以.

从而是递增数列.因此.

又因为，所以.

因此.

所以.

所以

因此，对于都有，

即是等差数列.

【考点定位】本题考查了数列的最值、等差数列和等比数列.考查了推理论证能力和数据处理能力.试题难度较大，解答此题，需要非常强的分析问题和解决问题的能力.