湖南师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷 Word版含答案

这是一份湖南师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷 Word版含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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湖南师大附中2020－2021学年度高一第一学期期中考试
数学
时量：120分钟满分：100分(试卷Ⅰ)＋50分(试卷Ⅱ)
得分：____________

试卷Ⅰ
一、选择题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．


1．已知集合M＝，N＝，则M∩N＝
A. B.
C. D.
2．命题“x0>0，x－4x0＋3<0”的否定是
A．x>0，x2－4x＋3≥0 B．x0≤0，x－4x0＋3<0
C．x≤0，x2－4x＋3<0 D．x0>0，x－4x0＋3≥0
3．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克
A．5730 B．11460 C．17190 D．22920
4．下列四组函数中，f与g表示同一函数是
A．f＝x－1，g＝
B．f＝，g＝
C．f＝1，g＝
D．f＝，g＝
5．下列说法正确的是
A．a>bac2>bc2 B．a>ba2>b2
C．a>ba3>b3 D．a2>b2a>b
6．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈恒成立，则a的最小值是
A．0 B．－2 C．－ D．－3
二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
7．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能为
A．2 B．3 C．4 D．5
8．若函数f、g分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f－g＝ex，则有
A．f＝
B．g＝
C．f D．g
三、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．
9．设函数f＝则f的值为________．
10．已知p：x2－8x－33>0，q：>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为______．
四、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
11．(本小题满分12分)化简求值
(1)＋－16＋
(2)log2＋2lg 4＋lg＋eln 2



12. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝＋1为奇函数．
(1)求a的值，并用函数单调性的定义证明函数f在R上是增函数；
(2)求不等式f(t2)＋f(2t－3)≤0的解集．





13.(本小题满分13分)
已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且 x>0时，f(x)<0.
(1)求证：f(x)在R上是奇函数；
(2)求证：f(x)在R上是减函数；
(3)若f(1)＝－，求f(x)在区间 [－3，3]上的最大值和最小值．




14. (本小题满分13分)
已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，且f(x)≤0的解集为[－1，2]．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式mf(x)>2(x－m－1)，其中m∈R.




试卷Ⅱ
一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若奇函数f(x)在(－∞，0)内是减函数，且f(－2)＝0, 则不等式x·f(x)>0的解集为
A．(－2，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2)
2．已知函数f(x)＝在R上是单调的函数，则a的取值范围是
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
3．下列命题中正确的有
A．|x|2＋|x|－2＝0有四个实数解
B．设a、b、c是实数，若二次方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则ac>0
C．若a>b，则>
D．若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2
4．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出如下命题，其中正确的是
A．c＝0时，y＝f(x)是奇函数
B．b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实数根
C．y＝f(x)的图像关于点(0，c)对称
D．方程f(x)＝0最多有两个实根

三、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．
5．已知f(x)＝ex－1＋e1－x＋2a只有一个零点，则a＝____________．
6．设关于x的不等式ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16≥0，(a∈Z)，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则不等式的全部整数解的和为____________．
四、解答题：本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
7．(本小题满分10分)
“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”。某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：
树木的高度f(x)(单位：米)与生长年限x(单位：年)满足关系f(x)＝(x≥0)．
树木栽种时的高度为米；1年后，树木的高度达到米．
(1)求f(x)的解析式；
(2)问从种植起，第几年树木生长最快？
8. (本小题满分10分)
已知函数f(x)＝e2x＋(t＋1)ex＋t.
(1)当t＝－e时，解不等式f(x)≥0的解集；
(2)若对任意x∈R，不等式f(x) (3)对于函数g，若a，b，c∈R，g，g，g为某一三角形的三边长，则称g为“可构造三角形函数”，已知函数g＝是“可构造三角形函数”，求实数t的取值范围．





























数学参考答案
Ⅰ
一、选择题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
B
A
B
D
C
C
ABC
AD
1.B【解析】因为M＝，N＝，所以M∩N＝，故选B.
2．A【解析】根据命题的否定的定义，该命题的否定是x>0，x2－4x＋3≥0，故选：A.
3．B【解析】由题意可得：碳14的半衰期为5730年，则再过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克，故选B.
4．D【解析】两个函数如果是同一函数，则两个函数的定义域和对应法则应相同，A选项中，f(x)定义域为R，g(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，所以二者不是同一函数，所以A错误；D选项中，f(x)＝＝，与g(x)定义域相同，都是R，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以D正确；C选项中，f(x)定义域为R，g(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，所以二者不是同一函数，所以C错误；B选项中，f(x)定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，所以二者不是同一函数，所以B错误，故选D.
5．C【解析】选项A，当c＝0时，由a＞b，不能推出ac2＞bc2，故错误；选项B，当a＝－1，b＝－2时，显然有a＞b，但a2＜b2，故错误；选项C，当a＞b时，必有a3＞b3，故正确；选项D，当a＝－2，b＝－1时，显然有a2＞b2，但却有a＜b，故错误．故选C.
6．C【解析】不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈成立，等价于a≥－x－对于一切x∈成立，∵y＝－x－在区间上是增函数∴－x－≤－－2＝－，∴a≥－，∴a的最小值为－，故选C.
二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
7．ABC【解析】函数y＝x2－4x－4的对称轴方程为x＝2，
当0≤m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，x＝0时，取最大值－4，x＝m时，有最小值m2－4m－4＝－8，
解得m＝2.
则当m＞2时，最小值为－8，而f (0)＝－4，由对称性可知，m≤4.
∴实数m的值可能为2，3，4.
8．AD【解析】∵函数f，g分别为R上的奇函数、偶函数，则f＝－f，g＝g，又∵f－g＝ex，…①，∴f－g＝e－x，∴－f－g＝e－x，…②
由①②得f＝，g(x)＝－，故A正确，B错误；
∴f(2)＝>0，g(0)＝－1，且f(x)＝为增函数，∴g 三、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．
9．2【解析】由f＝1，f＝2，所以f＝f(1)＝2.故填2.
10.【解析】由x2－8x－33>0得>0得x>11或x<－3，
由>a(a>0)得，x－1<－a或x－1>a，得x>1＋a或x<1－a，
若p是q的充分不必要条件，则即得a≤4，
又a＞0，则0＜a≤4，即实数a的取值范围是，故填.
四、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
11．【解析】(1)原式＝23＋1－＋＝8＋1－8＋22×33＝109.6分
(2)原式＝＋lg42＋lg＋eln 2＝－＋lg＋2＝.12分
12．【解析】(1)由已知f＝－f，∴＋1＝－，
∴＋＋2＝a＋2＝0，a＝－2.2分
∴f(x)＝＋1.
证明：x1，x2∈R，且x1 则f(x1)－f(x2)＝－＝，4分
∵x10，又ex1＋1>0，ex2＋1>0，5分
∴f(x1)－f(x2)＝<0，6分
∴f(x1) (2)∵f(t2)＋f(2t－3)≤0, ∴f≤－f，
而f为奇函数，∴f≤f，8分
∵f为R上单调递增函数，∴t2≤－2t＋3，10分
∴t2＋2t－3≤0，∴－3≤t≤1，
∴原不等式的解集为[－3，1].12分
13．【证明】(1)∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
令x＝y＝0得f(0)＝0，1分
令y＝－x得f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)在R上是奇函数.4分
(2)在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2), 6分
∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
∴f(x1) (3)∵f(x)是R上的减函数，
∴f(x)在[－3，3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f(－3)和f(3), 10分
而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，12分
∴f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.13分
14．【解析】(1)因为f(x)≤0的解集为[－1，2]，所以x2＋bx＋c＝0的根为－1，2，
故有－b＝1，c＝－2，即b＝－1，c＝－2；
即f(x)＝x2－x－2.3分
(2)由mf(x)>2(x－m－1)，化简有m>2(x－m－1)，
整理得(mx－2)(x－1)>0，4分
所以当m＝0时，不等式的解集为(－∞，1)，5分
当m>0时：
若0 若m＝2时，不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)；9分
若m>2时，不等式的解集为∪.11分
当m<0时，则<0，不等式的解集为 12分
综上所述：当0 当m＝2时，不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞),
当m>2时，不等式的解集为∪，
当m＝0时，不等式的解集为(－∞，1)，
当m<0时，不等式的解集为.13分
试卷Ⅱ
一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D【解析】由x·f>0或0 2．A【解析】当x≥1时，f(x)＝x2，单调递增，若要使函数f(x)在R上是单调的函数，则只能使该函数单调递增，所以，解得≤a<3，所以a的取值范围是.故选A.
二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
3．BC【解析】对A：令y＝＋－2，容易知其为偶函数，又当x>0时，令y＝x2＋x－2＝＝0，解得x＝1；故函数y＝＋－2有两个零点，即x＝±1，故A错误；对B：若二次方程ax2＋bx＋c＝0无实根，故可得0≤b2<4ac，即可得ac>0，故B正确；对C：由>0，当a>b，则>.故C正确；对D：令＝t，t≥2，则原函数y＝＋，等价于y＝t＋，t≥2，根据对勾函数的单调性可知，该函数在区间上是单调增函数，故可得函数的最小值为2＋＝.故D错误．故答案为：BC.

4．ABC【解析】由题意，当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，此时f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；
当b＝0，c>0时，f(x)＝x|x|＋c，若x≥0，f(x)＝0无解，若x<0，f(x)＝0有一解x＝－，所以B正确；
∵g(x)＝x|x|＋bx为奇函数，图象关于(0，0)对称，∴f(x)＝x|x|＋bx＋c图象可能情况如右图：关于(0，c)对称，可得C正确，D不正确．故选：ABC.
三、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．
5．－1【解析】由题意，函数f(x)＝ex－1＋e1－x＋2a只有一个零点，
即f＝0有唯一的实数根，即方程ex－1＋e1－x＝－2a有唯一的实数解，
令g＝ex－1＋e1－x，因为ex－1>0，e1－x>0，所以g＝ex－1＋e1－x≥2＝2，
当且仅当ex－1＝e1－x时，即x＝1等号成立，
因为方程ex－1＋e1－x＝－2a有唯一的实数解，所以－2a＝2，即a＝－1.
故答案为：－1.
6．－10【解析】设y＝ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16，其图象为抛物线，对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0而整数解只有有限个，所以a<0，
因为0为其中一个解可以求得a≥－，
又a∈Z，所以a＝－2或a＝－1，
则不等式为－2x2－8x＋2≥0和－x2＋9≥0，
可分别求得－2－≤x≤－2和－3≤x≤3，
因为x为整数，所以x＝－4，－3，－2，－1，0和x＝－3，－2，－1，0，1，2，3，
所以不等式的全部整数解的和为－10.
故答案为：－10.
四、解答题：本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
7．【解析】(1)由已知得，即，解得k＝－1，b＝4
所以，f(x)＝(x≥0).4分
(2)令x∈N，g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝－＝.
问题化为，当x∈N时，求函数g(x)的最大值.6分
而g(x)＝＝
≤＝41(2－).8分
当且仅当3·3－x＋3＝，即x＝，上式取等号．但x∈N，g(3)＝＝g(4)，
故种植之日起，第3年与第4年树木生长最快.10分
8．【解析】(1)当t＝－e时，不等式f(x)≥0，即为(ex＋1)(ex－e)≥0，
也就是ex≥e，解得x≥1，所以，不等式f(x)≥0的解集为[1，＋∞)；3分
(2)不等式f(x) 化简，即t<－对任意x∈R恒成立，
记h(x)＝－(x∈R)．
由于当x∈R时，∈(0，1)，则h(x)＝－4∈(－3，0)．
所以，tmax＝－3.6分
(3)由于函数g＝＝＝1＋是“可构造三角形函数”，
首先，必有t≥0才能保证g(x)>0；其次，必需g(x)max<2g(x)min，
而当0≤t<1时，g＝＝1＋是R上的增函数，则g的值域为(t，1)，
由1≤2t≤t<1；
当t＝1时，g＝1，符合题意；
而当t>1时，g＝＝1＋是R上的减函数，则g的值域为(1，t)，
由t≤21 综上， t∈.10分