2020-2021学年江苏省扬州市高邮市高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省扬州市高邮市高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，2，，，4，，则　　

A． B．，2，3，4， C．，3， D．，2，4，

2．（5分）函数的定义域为　　

A． B． C．且 D．且

3．（5分）不等式的解集为　　

A．或 B． C．或 D．

4．（5分）若函数为上的奇函数，且当时，，则的值为　　

A．6 B． C． D．2

5．（5分）已知函数，若（a），则实数的值为　　

A． B．3 C． D．或

6．（5分）若，，则等于　　

A． B． C． D．

7．（5分）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）若对满足条件的任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）下列函数中最小值为2的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）下列式子中，可以是的必要条件的有　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知，则下列选项正确的是　　

A． B． C． D．

12．（5分）若关于的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论中正确的说法是　　

A． B． 

C．当时， D．当时，

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）命题“，”的否定为　　．

14．（5分）已知奇函数在，上的图象如图所示，则不等式的解集为　　．

15．（5分）如图，在空地上有一段长为100米的旧墙，小明利用旧墙和长为200米的木栏围成中间有一道木栏的长方形菜园，其中，长方形菜园一边靠旧墙，无需木栏．若所围成的长方形菜园的面积为3300平方米，则所利用旧墙的长为　　米．

16．（5分）已知函数，若在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）化简与求值：

（1）；

（2）若，求的值．

18．（12分）已知集合或，．

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

19．（12分）已知，，，．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

20．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，且．

（1）求函数的解析式；

（2）用定义证明：在上是增函数；

（3）解不等式．

21．（12分）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润销售额成本）；

（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

22．（12分）对于定义域为的函数，如果存在区间，，同时满足下列条件：

①函数在区间，上是单调的；

②当定义域是，时，的值域也是，．

则称，是函数的一个“和谐区间”．

（1）写出函数的一个“和谐区间”（不需要解答过程）；

（2）证明：函数不存在“和谐区间”；

（3）已知：函数有“和谐区间” ，，当变化时，求出的最大值．

2020-2021学年江苏省扬州市高邮市高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，2，，，4，，则　　

A． B．，2，3，4， C．，3， D．，2，4，

【分析】进行交集的运算即可．

【解答】解：，2，，，4，，

．

故选：．

【点评】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．（5分）函数的定义域为　　

A． B． C．且 D．且

【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意，得，解得且，

故函数的定义域是且，

故选：．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，二次根式的性质，是一道基础题．

3．（5分）不等式的解集为　　

A．或 B． C．或 D．

【分析】不等式即即且，由此求得的范围．

【解答】解：不等式，即且，

求得或，

所以不等式的解集为或．

故选：．

【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．

4．（5分）若函数为上的奇函数，且当时，，则的值为　　

A．6 B． C． D．2

【分析】根据题意，由函数的解析式可得（1）的值，结合奇函数的性质可得（1），即可得答案．

【解答】解：根据题意，当时，，则（1），

又由为奇函数，则（1），

故选：．

【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．

5．（5分）已知函数，若（a），则实数的值为　　

A． B．3 C． D．或

【分析】根据函数及其取值范围，由，可得方程，解方程求解即可．

【解答】解：依题意有，，

解得（不合题意，舍去），．

故选：．

【点评】本题考查了函数值．能够根据所给的的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再列方程求解即可．

6．（5分）若，，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】利用换底公式和对数的运算法则得，由此能求出结果．

【解答】解：，，

．

故选：．

【点评】本题考查对数式化简求值，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．

7．（5分）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可求出．

【解答】解：，

函数为偶函数，其图象关于轴称，故排除，

当时，，易知函数在为增函数，故排除，

故选：．

【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．

8．（5分）若对满足条件的任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

【分析】先由，再利用基本不等式求得的最小值，然后根据不等式恒成立求得的取值范围．

【解答】解：由可得：，

，当且仅当时取“ “，

不等式恒成立，

，

故选：．

【点评】本题主要考查基本不等式在处理不等式恒成立问题中的应用，属于中档题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）下列函数中最小值为2的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用基本不等式逐个选项验证，选出正确选项．

【解答】解：时，，选项错误；

，当且仅当时取“ “，选项正确；

，当且仅当时取“ “，矛盾，，故选项错误；

又当时，，当且仅当时取“ “，选项正确，

故选：．

【点评】本题主要考查基本不等式在求函数最值中的应用，属于基础题．

10．（5分）下列式子中，可以是的必要条件的有　　

A． B． C． D．

【分析】，是的必要条件，集合是对应集合的子集，即可判断出答案．

【解答】解：，若是的必要条件，则集合是对应集合的子集，

，，，，，．

是的必要条件，是的必要条件．

故选：．

【点评】本题考查了必要条件的定义及应用，属于基础题．

11．（5分）已知，则下列选项正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】利用不等式的基本性质，逐一判断即可．

【解答】解：由，可得，

所以，，所以，

，

，所以，

故正确的是．

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．

12．（5分）若关于的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论中正确的说法是　　

A． B． 

C．当时， D．当时，

【分析】令，画图根据图象可得所给的命题的真假．

【解答】解：方程整理可得：，由不同两根的条件为：△，可得，所以正确，不正确．

当时，即，函数与轴的交点，，，，

如图可得，

所以正确，不正确；

故选：．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布，属于中档题．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）命题“，”的否定为　，　．

【分析】直接写出全称命题的否定得答案．

【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，

可得命题“，”的否定为，．

故答案为：，．

【点评】本题考查全称命题的否定，是基础题．

14．（5分）已知奇函数在，上的图象如图所示，则不等式的解集为　，，　．

【分析】根据题意，由函数的图象分析在区间，上，的符号，结合函数的奇偶性分析可得答案．

【解答】解：根据题意，函数在，上的图象，在区间上，，在区间上，，

又由为奇函数，

则在区间上，，，

在区间上，，，

综合可得：不等式的解集为，，，

故答案为：，，．

【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的图象，属于基础题．

15．（5分）如图，在空地上有一段长为100米的旧墙，小明利用旧墙和长为200米的木栏围成中间有一道木栏的长方形菜园，其中，长方形菜园一边靠旧墙，无需木栏．若所围成的长方形菜园的面积为3300平方米，则所利用旧墙的长为　90　米．

【分析】设米，则米，由题意求得的范围，再由矩形面积等于3300求解值得答案．

【解答】解：设米，则米，

由，解得，

则所围成的长方形菜园的面积为，

由，解得（舍或．

米．

故答案为：90．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查运算求解能力，是中档题．

16．（5分）已知函数，若在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是　，，　．

【分析】当或时，可得函数在定义域内不单调；当时，问题转化为或，求解后取并集得答案．

【解答】解：当时，，在定义域上不是单调函数；

当时，函数的对称轴方程为，

则函数不是单调函数，

故函数在定义域上不是单调函数；

当时，要使在定义域上不是单调函数，

则只要二次函数的对称轴或，

解得或．

综上，实数的取值范围是，，．

故答案为：，，．

【点评】本题考查分段函数的单调性及其应用，考查分类讨论的解题思想，运算求解能力，是中档题．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）化简与求值：

（1）；

（2）若，求的值．

【分析】（1）利用对数式、指数式运算法则直接求解．

（2）利用指数式运算法则直接求解．

【解答】解：（1）

．

（2），

，，

．

【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数式、指数式运算法则等基础知识，考查数学运算核心素养．

18．（12分）已知集合或，．

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【分析】（1）当时，求出集合．由此能求出和．

（2）推导出，当时，，当时，或，由此能求出实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，集合或，．

，

或．

（2）集合或，．，

，

当时，，解得，

当时，或，

解得或，

综上，实数的取值范围是，，．

【点评】本题考查交集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19．（12分）已知，，，．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）若命题为真命题，则，，即对于任意的实数恒成立，则△即可．

（2）分别解命题，对应的不等式，由是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集，解得的取值范围即可．

【解答】解：（1）若命题为真命题，则，，即，

△，

解得，

故实数的取值范围是：，．

（2）由，解得；

由，解得．

是的充分不必要条件，，，，

且，两个等号不能同时成立，解得．

实数的取值范围是：，．

【点评】本题考查了不等式恒成立问题，一元二次不等式的解法，利用充分必要条件的定义转化为集合之间的关系的问题，属于基础题．

20．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，且．

（1）求函数的解析式；

（2）用定义证明：在上是增函数；

（3）解不等式．

【分析】（1）由奇函数性质可知，然后结合，代入可求，，进而可求函数解析式；

（2）结合单调性定义设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；

（3）由已知结合单调性及奇函数的定义即可求解．

【解答】解：（1）是定义在上的奇函数，且，

，，

解可得，，，

，

（2）证明：设，

则，

，，，，，

，

，

在上是增函数，

（3）由可得，

，

解得，，

故不等式的解集．

【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的定义的应用及利用单调性求解不等式，属于中档试题．

21．（12分）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润销售额成本）；

（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）根据2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润关于的解析式即可．

（2）根据（1）求出的利润的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取两者中较大的利润值，即为年企业最大利润．

【解答】解：（1）由题意可知，2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，

①当时，，

②当时，，

所以．

（2）①当时，，此时函数为开口向下的二次函数，

所以当时，取得最大值，最大值为（万元），

②当时，，

因为，所以，当且仅当即时，等号成立．

即当时，取得最大值（万元），

综上所述，当时，的值最大，最大值为8000（万元），

故当2021年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元．

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．

22．（12分）对于定义域为的函数，如果存在区间，，同时满足下列条件：

①函数在区间，上是单调的；

②当定义域是，时，的值域也是，．

则称，是函数的一个“和谐区间”．

（1）写出函数的一个“和谐区间”（不需要解答过程）；

（2）证明：函数不存在“和谐区间”；

（3）已知：函数有“和谐区间” ，，当变化时，求出的最大值．

【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解；（2）假设函数存在“和谐区间”，然后根据“和谐区间”的定义区间，产生矛盾，所以不存在；

（3）设出函数的“和谐区间”，则由函数的性质可判断函数在“和谐区间”上的性质，然后用表示出，转化为二次函数的最值问题，进而可以求解．

【解答】（1）函数的一个“和谐区间”为，；

（2）证明：设，是已知函数定义域的一个子集，

因为，则，或，，

故函数在，上单调递增，

若，是已知函数的“和谐区间”，则，

故，是方程的同号的不等实数根，

因为方程无实数根，

所以函数不存在“和谐区间”；

（3）设，为已知函数定义域的一个子集，

因为，则，或，，

故函数在，上单调递增，

若，为函数的“和谐区间”，则令，一定有：，

故，为方程，即的同号的不等实数根，

所以由根与系数的关系可得：，，

因为，所以，同号，

只需△，解得或时，

已知函数有“和谐区间” ，，

因为

，

所以当时，取最大值为．

【点评】本题考查了函数的单调性和确定性问题，考查了二次函数求最值问题，属于中档题．

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日期：2021/2/23 14:13:40；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394