2023年江西省中考数学试卷（含解析）

2023年江西省中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，正整数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若有意义，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  单顶式的系数为          ．

8.  我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约万千瓦，比上一年同期翻一番，将用科学记数法表示应为          ．

9.  化简：          ．

10.  将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为          ．

 

11.  周髀算经中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点测得，，，则树高          
 

12.  如图，在▱中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，当为直角三角形时，旋转角的度数为          ．
 

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分

计算：．

如图，，平分求证：≌．

14.  本小题分

如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹．

在图中作锐角，使点在格点上；

在图中的线段上作点，使最短．

15.  本小题分

化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

甲同学解法的依据是____，乙同学解法的依据是____；填序号

等式的基本性质；分式的基本性质；乘法分配律；乘法交换律．

请选择一种解法，写出完整的解答过程．

16.  本小题分

为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名同学作为宣传员．

“甲、乙同学都被选为宣传员”是____事件；填“必然”、“不可能”或“随机”

请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．

17.  本小题分

如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点．

求直线和反比例函数图象的表达式；

求的面积．

18.  本小题分

今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种棵，则剩余棵；如果每人种棵，则还缺棵．

求该班的学生人数；

这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵元，乙树苗每棵元．购买这批树苗的总费用没有超过元，请问至少购买了甲树苗多少棵？

19.  本小题分

图是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图所示的示意图．已知点，，，均在同一直线上，，测得，，结果保留小数点后一位

连接，求证：；

求雕塑的高即点到直线的距离．

参考数据：，，

20.  本小题分

如图，在中，，，以为直径的与相交于点，为上一点，且．

求的长；

若，求证：为的切线．

21.  本小题分

为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．

整理描述

初中学生视力情况统计表

____，____；

被调查的高中学生视力情况的样本容量为____；

分析处理

小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；

约定：视力未达到为视力不良．若该区有名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．

22.  本小题分

课本再现

定理证明

为了证明该定理，小明同学画出了图形如图，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．

已知：在▱中，对角线，垂足为．

求证：▱是菱形．

知识应用

如图，在▱中，对角线和相交于点，，，．

求证：▱是菱形；

延长至点，连接交于点，若，求的值．

23.  本小题分

综合与实践

问题提出

某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系．

初步感知

如图，当点由点运动到点时，

当时，____；

关于的函数解析式为__________．

当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长．

延伸探究

若存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等．

____；

当时，求正方形的面积．

 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
 根据有理数的分类即可求解．
本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
【解答】
  解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数，
  故选A．
  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
  根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可解答．
  本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
【解答】
  解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，
  所以不是中心对称图形；
  选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
  故选B．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
   根据二次根式有意义的条件即可求解．
   本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【解答】
   解：有意义，
       ，
    解得，则的值可以是．
    故选D．
  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
 根据积的乘方计算法则求解即可．
 本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【解答】
 解：，
 故选A．

  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【解答】
  解：依题意，，
，
，

，
故选C．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
  根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可
   能即可求解．
  本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
【解答】
   解：依题意，，；，；，；，；，；，加上点可以画出一个圆，
   一共有个，
   故选D．
  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
 根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可．
 本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．
【解答】
  解：单项式的系数是．
  故答案是．
  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
 根据科学记数法的表示形式进行解答即可．
本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为为整数的形式，
的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键．
【解答】
  解：，
  故答案为．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
  原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．
  本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键．
【解答】
  解：，
   故答案为．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
【解答】
  解：直尺的两边平行，
       ，
       又，
    是等边三角形，
     点，表示的刻度分别为，，
     ，
     
     线段的长为， 故答案为．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
  根据题意可得∽，然后根据相似三角形的性质，即可求解．
  本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【解答】
   解：和均为直角
    ，
   ∽，

，，，
，
  故答案为．  

12.【答案】或或 

【解析】

【分析】
   连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解．
 本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性
质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【解答】
解：连接，取的中点，连接，如图所示，

在▱中，，，
，
是等边三角形，
，
又为的中点，
     
，

又
．
，
如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，


当点在的延长线上时，如图所示，则，

当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示，

，，
四边形是平行四边形，

四边形是矩形，

即是直角三角形，
综上所述，旋转角的度数为或或
故答案为或或．  

13.【答案】解：原式
   平分，
   ，
   在和中，
    
    ． 

【解析】先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可
先由角平分线的定义得到，再利用证明即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

14.【答案】解：如图，即为所求作的三角形

如图，即为所求作的点
 

【解析】如图，取格点，使，在的左上方的格点满足条件，再画三角形即可
利用小正方形的性质取格点，连接交于，从而可得答案．
本题考查的是复杂作图，同时考查了锐角三角形的定义，正方形的性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键．
 

15.【答案】，
甲同学的解法：
原式



乙同学的解法：
原式


． 

【解析】解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：，
见答案．
根据所给的解题过程即可得到答案
甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先通分，然后根据分式的加法计算法则求解，
最后根据分式的乘法计算法则求解即可
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

16.【答案】随机
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为，
所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率． 

【解析】由确定事件与随机事件的概念可得答案
先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：直线与反比例函数的图象交于点，
，，即，
直线的表达式为，反比例函数的表达式为．
直线的图象与轴交于点，
当时，，
，
轴，直线与反比例函数的图象交于点，
点的纵坐标为，
，即，
，
，
． 

【解析】利用待定系数法求函数解析式即可
由一次函数解析式求得点的坐标，再根据轴，可得点的纵坐标为，再利用反比例函数
表达式求得点坐标，即可求得结果．
本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函
数与轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
 

18.【答案】解：设该班的学生人数为人，
     由题意得，，
     解得，
该班的学生人数为人
由得一共购买了棵树苗，
设购买了甲树苗棵，则购买了乙树苗棵树苗，
由题意得，，
解得，
的最小值为，
至少购买了甲树苗棵，
答：至少购买了甲树苗棵． 

【解析】设该班的学生人数为人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可
根据所求求出树苗的总数为棵，设购买了甲树苗棵，则购买了乙树苗棵树苗，
再根据总费用不超过元列出不等式求解即可．
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量
关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，

即

即

如图所示，过点作，交的延长线于点，

在中，，，
 ，


在中， ，
 
   
     
     米．
答：雕塑的高约为米． 

【解析】根据等边对等角得出，，根据三角形内角和定理得出
，进而得出，即可得证
过点作，交的延长线于点，在中，得出，则
，在中，根据 ，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角
函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示，连接，

是的直径，且，
，
为上一点，且，
，
，
的长
证明：如图所示，连接，

，，
，
，
是的直径，
，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线． 

【解析】连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可
连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线．
本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】；；    
；    
小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好”
小胡的说法合理
初中学生视力的中位数为第个与第个数据的平均数，落在视力为这一组，
而高中学生视力的中位数为第个与第个数据的平均数，落在视力为的这一组，
而，
小胡的说法合理．
由题意可得：人，
该区有名中学生，估计该区有名中学生视力不良
合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定的时间做眼保健操等． 

【解析】解：由题意可得：初中样本总人数为：人，
人，
由题意可得：，
被调查的高中学生视力情况的样本容量为
见答案．
由总人数乘以视力为的百分比可得的值，再由视力及以上的人数除以总人数可得的值
由条形统计图中各数据之和可得答案
选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理由初中生总人数乘以样本中视力不良的百分
比即可，根据自身体会提出合理化建议即可．
本题考查的是从频数分布表与频数分布直方图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，理解题意，确定合适的统计量解决问题是解本题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
又，
是线段的垂直平分线，
．
四边形是菱形．
证明：四边形是平行四边形，，，．
，
在中，，，
，
是直角三角形，且，
，
四边形是菱形
四边形是菱形

，
，
，
，
，
如图所示，过点作交于点，

，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质易得，由条件可得是线段的垂直平分线，所以，进而根据定义证明▱是菱形
勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证
根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，
根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解．
本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
 

23.【答案】
由图可知当点运动到点时，，
，
解得负舍，
当时，，
由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
可设关于的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
关于的函数解析式为，
在中，当时，解得或，


由可得，
，
，
，
．
 

【解析】解：动点以每秒个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，
当时，点在上，且，
，，
，
，
故答案为：
动点以每秒个单位的速度从点出发，在匀速运动，
，
，，
，

见答案；
点在上运动时，，点在上运动时，
可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设，是函数上的两点，则，是函数
上的两点，
，，
，
存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等．
可以看作，，，
，
故答案为
    见答案．

先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可仿
照先求出，进而求出，则；
先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出当时，，可设关于
的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当
时，解得或，则
根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设
，是函数上的两点，则，是函数
上的两点，由此可得，，则，根据
题意可以看作，，，则
由可得，再由，得到，则．
本题主要考查了二次函数与图形运动的问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解
题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．