易错点06圆-备战2023年中考数学考试易错题【全国通用】（原卷版）

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备战2023年中考数学考试易错题
易错点06圆

01 垂径定理
(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．圆是中心对称图形，对称中心为圆心，圆绕着它的圆心旋转任意一个角度都能和原来的圆重合．
(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．

1．（2022秋•北碚区校级期末）如图，在⊙O中，弦AB＝10cm，PA＝6cm，OP＝5cm，则⊙O的半径R等于（　　）

A．7cm B． C．49cm D．
2．（2022秋•泰山区校级期末）如图，AB是⊙O的弦，AB长为4，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合）．过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022秋•南关区校级期末）如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（　　）

A．﹣3 B．3 C．4 D．6
4．（2022秋•沈河区校级期末）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为，则S△PAB的最大值为（　　）

A． B． C． D．
5．（2022秋•桃城区校级期末）如图1，点M表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆．若⊙O被水面截得的弦AB长为6m，则在水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为（　　）

A．4m B．3m C．2m D．1m
6．（2021•烈山区一模）如图，锐角△ABC内接于⨀O，BE⊥AC于点D，交O于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF，连接AE．
（1）求证：AE＝BD．
（2）若CD＝1，AE＝2，求⊙O的半径及AB的长．

02 圆心角
圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

1．（2022•郯城县一模）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（　　）

A．5 B．3 C．2 D．1
2．（2022春•永春县校级月考）如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（　　）

A．2 B． C．2 D．
3．（2022秋•溧水区期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C． D．
4．（2021秋•滨城区期末）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的弧AB多次复制并首尾连接而成，现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2022秒时点P的纵坐标为（　　）


A．﹣1 B．0 C．π D．1
5．（2022秋•靖江市期中）如图，在⊙O中，AB为直径，延长AB至点P，C是⊙O上一点，连接PC并延长交⊙O于点D．
（1）若：：＝1：2：3，⊙O的半径为2，求弦CD的长；
（2）若⊙O的半径为3，OP＝4，∠AOD＝90°，求弦CD的长．

6．（2022•郫都区模拟）如图，AB是⊙O直径，＝，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．

03 圆周角
圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．

1．（2022•亭湖区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连结AC、AD、BD，若∠BAC＝35°，则∠ADC的度数为（　　）

A．35° B．65° C．55° D．70°
2．（2022•蜀山区校级三模）如图，菱形OABC的顶点A、B、C在圆O上，且∠AOC＝120°，若点P是圆周上任意一点且不与A、B、C重合，则∠APC的度数为（　　）

A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
3．（2022•仁怀市模拟）已知，如图，点A，B，C三点都在⊙O上，∠B＝∠A，∠A＝45°，若△ABC的面积为2，则⊙O的半径为（　　）

A．±2 B．2 C． D．
4．（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022•夏邑县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，交AB于点D、F（D、F可重合），过点N作NE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：BN＝CN；
（2）填空：
①当∠DCA的度数为 　 　时，四边形DENO为正方形；
②当∠DCA的度数为 　 　时，四边形AFOM为菱形．

6．（2022•赛罕区校级一模）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：∠GAD与∠EDF互补；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，AD＝2BD，求HM的长．

7．（2022•西安模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°．连接BD，作CF⊥BD，分别交BD，⊙O于点E，F，连接BF，交AD于点M，AB＝BC．
（1）求证：BF∥CD．
（2）当AD+CD＝5时，求线段BD的长．

8．（2022•蜀山区一模）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB为直径的半⊙O于D，E．连接AE，BD，交点为F．
（1）证明：AF＝BC；
（2）当点F是BD中点时，求BE：EC值．

04 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d=r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

1．（2022秋•天山区期末）已知⊙O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（　　）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断
2．（2022秋•定西期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（　　）
A．0＜r＜4 B．3＜r＜4 C．4＜r＜5 D．r＞5
3．（2022秋•石门县期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（　　）

A．2 B． C． D．
4．（2022秋•泗阳县期末）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为AB的中点，以C为圆心，AC长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接DE，取DE的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段AF的最小值为（　　）

A． B． C． D．
05 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d=r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．

1．（2022秋•江夏区月考）已知⊙O的半径等于5，点P在直线l上，圆心O到点P的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切
2．（2021秋•福山区期末）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心坐标为（﹣3，0），半径是方程x2﹣3x+2＝0的一根，那么⊙O与直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
3．（2022•宝山区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝4，AD＝2，cotC＝，圆O是以AB为直径的圆．如果以点C为圆心作圆C与直线AD相交，与圆O没有公共点，那么圆C的半径长可以是（　　）

A．9 B． C．5 D．
4．（2022•青浦区模拟）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝4，AD＝1（如图）．点O是边CD上一点，如果以O为圆心，OD为半径的圆与边BC有交点，那么OD的取值范围是（　　）

A．2≤OD≤5 B．≤OD≤
C．≤OD≤ D．≤OD≤
06 三角形的外接圆与内切圆
1.三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
2. 三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

1．（2022秋•利川市期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，已知⊙O半径为2，那么△ABC的边长为（　　）

A．2 B． C． D．3
2．（2022秋•滨城区校级期末）如图，等腰Rt△ABC内接于圆O，直径，D是圆上一动点，连接AD，CD，BD，且CD交AB于点G．下列结论：①DC平分∠ADB；②∠DAC＝∠AGC；③当BD＝2时，四边形ADBC的周长最大；④当AD＝CD，四边形ADBC的面积为，正确的有（　　）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
3．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3，点D是△ABC的内心，则BD的长度为（　　）

A．2 B．3 C． D．
4．（2021秋•新泰市期末）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、BD、DC．下列说法中正确的有（　　）
①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
②I到△ABC三个顶点的距离相等；
③∠BID＝2∠BAD；
④DI＝DB．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021秋•微山县期末）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O经过点C，分别过点B，C作⊙O的两条切线相交于点D，OD交⊙O于点E，AE的延长线交BD于点F．下面结论中，错误的是（　　）

A．BC⊥OD B．AC∥OD
C．FD＝FE D．点E为△BCD的内心
07 切线的性质与判定
1.切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2. 切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．

1．（2022秋•惠山区期中）如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点是点D，过点A的直线与DC交于点C，
则下列结论错误的是（　　）

A．∠AOD＝2∠ADC
B．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC
C．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切线
D．如果AD＝2CD，那么AD＝AO
2．（2022秋•大渡口区校级期末）如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，⊙O的半径为2，当⊙O与PB相切时，OP的长度为（　　）

A．3 B．4 C． D．
3．（2022•百色一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，过点O，E的直线交CF于点G，则CF的长为（　　）

A．4.5 B．4 C．3.5 D．3
4．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝2．其中正确结论的序号是（　　）

A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④
5．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点D、E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若等边△ABC的边长为4，求图中阴影部分的面积．

6．（2022秋•西安期末）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于E，F为BA延长线上一点，CA恰好平分∠FCE．
（1）求证：FC与⊙O相切；
（2）连接OD，若OD∥AC，求的值．

7．（2022秋•汉阳区校级期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，BD＝2，求CE的长．

8．（2022秋•金华期末）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）若AP＝OP，tanA＝，AP＝8，求BF的长．

08 切线长定理
切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．

1．（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）

A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
2．（2022秋•金东区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．16
3．（2022秋•红旗区校级期末）以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15
4．（2022秋•平泉市校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．
（1）若△PDE的周长为10，则PA的长为　 　；
（2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为　 　度．

09 正多边形与圆
正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

1．（2022秋•天河区校级期末）一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为（　　）
A．2 B． C． D．8
2．（2022秋•山西期末）已知过m边形的一个顶点有3条对角线，正n边形的边长为5，周长为40，则n﹣m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022秋•明水县校级期末）正六边形ABCDEF在平面直角坐标系内的位置如图所示，点A的坐标为（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴无滑动地连续翻转，每次翻转60°，经过2022次翻转之后，点B的坐标是 　 　．

4．（2022秋•新华区校级期末）小明要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其能在正方形内自由旋转．
（1）如图1，若这个正多边形为边长最大的正六边形，EF＝　 　；
（2）如图2，若这个正多边形为正△EFG，则EF的取值范围为 　 　．

10 弧长与扇形面积
1．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝．
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR.
2．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长和宽分别是底面圆的周长和圆柱的高．
圆柱侧面积公式：S圆柱侧＝2πrh；圆柱全面积公式：S圆柱全＝2πrh＋2πr2(其中圆柱的底面半径为r，高为h)．
3．圆锥的侧面积和全面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的母线长为l，底面半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr．
(1)圆锥的侧面积公式：S圆锥侧＝πrl．
(2)圆锥的全面积公式：S圆锥全＝πr2＋πrl．
(3)圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：θ＝·360°．

1．（2022•峄城区校级模拟）若扇形的圆心角为75°，半径为12，则该扇形的弧长为（　　）
A．2π B．4π C．5π D．6π
2．（2022•台山市校级一模）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2﹣ B．1﹣ C．2﹣ D．﹣1
3．（2022•金凤区校级二模）如图，在矩形ABCD中，，BC＝1，以点B为圆心，BC为半径画弧交矩形的边AB于点E，交对角线AC于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
4．（2022•香洲区校级三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（　　）

A． B．
C． D．
5．（2022秋•江北区校级期末）如图，矩形ABCD的边AB＝1，对角线AC、BD交于O，∠ACB＝30°，以点O为圆心，AC为直径画圆，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
6．（2022秋•丰宁县校级期末）如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．
（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；
（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．

7．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆，分别交边AC，BC于点D，E，点O为圆心，连结AE，OE．已知点E是弧DB的中点，∠C＝75°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若直径AB＝8，求阴影部分的面积．

8．（2022秋•拱墅区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）求的长度．