知识必备07 四边形（公式、定理、结论图表）-【口袋书】2023年中考数学必背知识手册

知识必备07 四边形（公式、定理、结论图表）

考点一、四边形的相关概念

1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；
　　            (2)推论：多边形的外角和是360°；
　              (3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；
　　            (4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.
4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°； (2)推论：四边形的外角和是360°.

典例1：2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（　　）

A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm

【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．

【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，

∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，

∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，

∴AF约为4mm，

故选：D．

【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．

典例2：（2022•柳州）如图，四边形ABCD的内角和等于（　　）

A．180° B．270° C．360° D．540°

【分析】根据四边形的内角和等于360°解答即可．

【解答】解：四边形ABCD的内角和为360°．

故选：C．

【点评】本题考查了四边形的内角和，四边形的内角和等于360°．

考点二、特殊的四边形

1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质

2. 平行四边形及特殊的平行四边形的判定

【要点诠释】

面积公式：S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高）

S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）

典例3：（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（　　）

A．100° B．80° C．70° D．60°

【分析】由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC的度数．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠AEG＝∠EGC，

∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，

∴∠GEF＝30°，

∴∠GEA＝80°，

∴∠EGC＝80°．

故选：B．

【点评】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．

典例4：（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．

【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．

【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，

∴AB∥CD．

∴∠BAE＝∠DCF．

在△ABE与△CDF中，

．

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

∴AB＝CD．

∴四边形ABCD是平行四边形．

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

典例5：（2022•内江）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．

求证：（1）△ABE≌△CDF；

（2）四边形AECF是平行四边形．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；

（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，

∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，

∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，

∴AE∥CF，

∵AE＝CF，AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．

典例6：（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝（　　）

A．4 B．2 C．2 D．

【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，

∴BO＝2，

∴AO＝＝2，

∴AB＝2AO＝4，

∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，

∴OE＝AD＝2，

故选：C．

【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

典例7：（2022•聊城）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．

（1）求证：AD＝CF；

（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．

【分析】（1）由CF∥AB，得∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，又AE＝CE，可证△ADE≌△CFE（AAS），即得AD＝CF；

（2）由AD＝CF，AD∥CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，可得CD＝AB＝AD，即得四边形ADCF是菱形．

【解答】（1）证明：∵CF∥AB，

∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，

∵点E是AC的中点，

∴AE＝CE，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴AD＝CF；

（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：

由（1）知，AD＝CF，

∵AD∥CF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AC⊥BC，

∴△ABC是直角三角形，

∵点D是AB的中点，

∴CD＝AB＝AD，

∴四边形ADCF是菱形．

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．

典例8：（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．

（1）求证：四边形AECD为菱形；

（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．

【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证AD＝CD，可得结论；

（2）由菱形的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解．

【解答】（1）证明：∵E为AB中点，

∴AB＝2AE＝2BE，

∵AB＝2CD，

∴CD＝AE，

又∵AE∥CD，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC＝∠EAC，

∵AB∥CD，

∴∠DCA＝∠CAB，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴AD＝CD，

∴平行四边形AECD是菱形；

（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，

∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，

∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，

∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，

∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝BC＝2，

∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．

【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

典例9：（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 　6　．

【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，

∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，

∴∠AEO＝∠CFO；

又∵∠AOE＝∠COF，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF，

∴S△AOE＝S△COF，

∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，

∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，

∴S阴影＝6．

故答案为6．

【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．

典例10：（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．

（1）求证：△ABE≌△FCE；

（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．

【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；

（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG是矩形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠EAB＝∠CFE，

又∵E为BC的中点，

∴EC＝EB，

在△ABE和△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（AAS）；

（2）∵△ABE≌△FCE，

∴AB＝CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝DC，

∴DC＝CF，

又∵CE＝CG，

∴四边形DEFG是平行四边形，

∵E为BC的中点，CE＝CG，

∴BC＝EG，

又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，

∴DF＝EG，

∴平行四边形DEFG是矩形．

【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．

典例11：（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．

（1）求证：四边形ABDF是矩形；

（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．

【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF是矩形；

（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF•AF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF的面积S为18．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BA∥CD，

∴∠BAE＝∠FDE，

∵点E是AD的中点，

∴AE＝DE，

在△BEA和△FED中，

，

∴△BEA≌△FED（ASA），

∴EF＝EB，

又∵AE＝DE，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∵∠BDF＝90°．

∴四边形ABDF是矩形；

（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，

∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，

∴AF＝＝＝4，

∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝3，

∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，

∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，

答：四边形ABCF的面积S为18．

【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．

典例12：（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（　　）

A．50° B．55° C．65° D．70°

【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．

∵OE＝OF，

∴△OEF为等腰直角三角形，

∴∠OEF＝∠OFE＝45°，

∵∠AFE＝25°，

∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，

∴∠FAO＝20°．

在△AOF和△BOE中，

，

∴△AOF≌△BOE（SAS）．

∴∠FAO＝∠EBO＝20°，

∵OB＝OC，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．

故选：C．

【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．

典例13：（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．

求证：四边形AECF是正方形．

【分析】先证明四边形AECF是菱形，再证明EF＝AC，即可得出结论

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，

∵BE＝DF，

∴OE＝OF，

∴四边形AECF是菱形；

∵OE＝OA＝OF，

∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，

∴菱形AECF是正方形．

【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的判定，掌握相关定理是解题基础

考点三、梯形

1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
　　(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.
　　(2)不平行的两边叫做梯形的腰.
　　(3)梯形的四个角都叫做底角.
2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.
3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
4.等腰梯形的性质：

　 (1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等.
5.等腰梯形的判定方法：
　　(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；
　　(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
　　(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.
6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
7.面积公式： S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).

【要点诠释】

解决四边形问题常用的方法

（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．

（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决．

（3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题.

典例14：（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（　　）

A．6m B．8m C．4m D．8m

【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则AE＝DF，在Rt△DCF中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE，在Rt△ABE中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE．

【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，

∴AE∥DF，

∵AD∥BC，

∴AE＝DF，

在Rt△ABE中，

AE＝ABsin45°＝4，

在Rt△DCF中，

∵∠DCB＝30°，

∴DF＝CD，

∴CD＝2DF＝2×4＝8，

故选：B．

【点评】本题考查了梯形，解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．

考点四、平面图形

1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.

2.平面图形镶嵌的条件：
(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.
(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：
①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；

②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.

典例15：（2022•资阳）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是 　4答案不唯一　．（填一种即可）

【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．

【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，

∵3×60°+2×90°＝360°，

∴正四边形可以，

正六边形的每个内角是120°，

∵2×60°+2×120°＝360°，

∴正六边形可以，

正十二边形的每个内角是150°，

∵1×60°+2×150°＝360°，

∴正十二边形可以，

故答案为：4答案不唯一．

【点评】本题考查了平面镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．