江西省九江市2023届高三第一次模拟考试文科数学试卷+答案

九江市2023年第一次高考模拟统一考试
数 学 试 题（文科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则(A)

A. B. C. D.

解：，，故选A.

2.复数满足，则的虚部为（A）

A. B. C. D.

解:，虚部为，故选A.

3.若实数满足约束条件，则的最大值为(D)

A. B. C. D.

解：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.易知目标函数的

最大值在处取得，.故选D.

4.已知等差数列的前项和为，若，，则(C)

A. B. C. D.

解：依题意得，解得，，故选C.

5.为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，则该班成绩的平均分是（D）

 A. B. C. D.

解：该班成绩的平均分是，故选D.

6.在几何学中，单叶双曲面是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面.由于有良好的稳定性和漂亮的外观，单叶双曲面常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔.已知某发电

厂的冷却塔的立体图如图所示，塔的总高度为150m，塔顶直径为80m,塔的最小

直径（喉部直径）为60 m，喉部标高（标高是地面或建筑物上的一点和作为基准

的水平面之间的垂直距离）为110 m，则该双曲线的离心率约为（精确到0.01）(B) 

A. B. 

C. D.

解：设双曲线标准方程为(，)，依题意知，

点在该双曲线上，，，，，，故选B.                    

7.已知，则(C)

A. B. C. D.

解：，，即，.故选C.

8.三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（B）

A. B. C. D.

解:分别过与外接圆圆心作平面与平面的垂线，

交于点，即为球心.易得，，

，.故选B.

9.已知，，，则的大小关系是(B)

A.         B.        C.          D.

解：，，由指数函数单调递减，可知，，故选B.

10.已知椭圆()的左右焦点分别为，过的直线交于两点，直线交轴于点，若，，则椭圆的焦距为（A）

A. B. C. D.

解：如图，，，为的中点，又为的中点，轴，轴，为等边三角形，，，，故选A.

11.已知函数的定义域为，若为偶函数，且，

，则(A)

A.            B.           C.             D.

解：由，令，得.令，得，，.

为偶函数，，即，曲线关于直线对称.又，曲线关于点中心对称，的周期. ，，.故选A.

12.已知函数()，点位于曲线的下方，且过点可以作3条直线与曲线相切，则的取值范围是(D)

A. B. C. D.

解：，设切点为，切线方程为，由于切线过点，，整理得.构造函数，有三个不同的零点，，易知，，即，即，又因为点在曲线下方，，即，，故选D.

第Ⅱ卷（非选择题90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，，若，则.

解：，，，解得.

14.2022年11月第十四届中国国际航空航天博览会在珠海举办.在此次航展上，国产大飞机“三兄弟”运油-20、C919、AG600M震撼亮相，先后进行飞行表演.大飞机是大国的象征、强国的标志.国产大飞机“三兄弟”比翼齐飞的梦想，在航空人的接续奋斗中成为现实.甲乙两位同学参观航展后各自从“三兄弟”模型中购买一架，则两位同学购买的飞机模型不同的概率是.

解：设三架飞机模型分别为A,B,C.甲乙各购买一架的可能情况有9种：AA,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC，其中两位同学购买的飞机模型不同有6种情况：AB,AC,BA,BC,CA,CB，所以两

位同学购买的飞机模型不同的概率是.

15.如图，在正三棱柱中，，为的中点，

为线段上的点.则的最小值为. 

解：将矩形沿翻折，使得六点共面，连接交于，则此时的值最小为.

16.中，三内角所对边分别为，已知，，则角的最大值是.

解法一：，由正弦定理得，由余弦定理得.

而，消去可得，当且仅当时取等号.

在上单调递减，.

解法二：，又，，为锐角，且，即，为钝角，为锐角，

而，

在上单调递增，.

三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

某IT公司在A，B两地区各开设了一家分公司，为了解两家分公司员工的业务水平，对员工们进行了业务水平测试，满分为100分，80分及以上为优秀. A地区分公司的测试

成绩分布情况如下：

(1)完成A地区分公司的频率分布直方图，并求出该公司员工测试

成绩的中位数；

(2)补充完成下列列联表，并判断是否有的把握认为两家

分公司员工业务水平有差异.

解：(1) A地区分公司的频率分布直方图如右：………3分

由图知A地区分公司员工成绩在[50，70)的频率为

………4分

设该公司员工成绩的中位数为，

则………5分

解得………6分

(2)补充完成列联表如下：

………8分

………10分

故有的把握认为这两家分公司员工业务水平有差异………12分

18.(本小题满分12分)

已知数列的前项和为，且满足，，数列的前项积.

(1)求数列和的通项公式；

(2)求数列的前项和.

解:(1)当时，，………1分

当时，，

化简得………2分

，，数列是首项为2，公差为2的等差数列，

………3分

当时，………4分

当时，………5分

综上………6分

(2)，

设  ①

则   ②………8分

①-②得………9分

………11分

………12分

19.(本小题满分12分)

如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得.

(1)求证：平面平面；

(2)若，分别为，的中点，求三棱锥的体积.

解:(1)，，，平面，

平面………1分

又平面，………2分

由直角梯形，，，，，得

………3分

又，平面，平面………4分

又平面，平面平面………5分

(2)取的中点，连接，

，，又平面平面，

平面………6分

直角梯形中，，，，,

，………7分

………9分

………10分

………11分

，

即三棱锥的体积为………12分

20.(本小题满分12分)

已知函数().

(1)当时，求的最大值；

(2)若，，求的取值范围.

解:(1)当时，，………1分

当时，；当时，………2分

在上单调递增，在上单调递减………3分

………4分

(2)，易知在上单调递减………5分

①由(1)知，当时，，符合题意………6分

②当时，，，

存在，使得………7分

故当时，，单调递减，，不符题意，舍去………8分

③解法一：当时，，，

存在，使得………9分

故当时，，单调递减，………10分

令()，则，故在上单调递减，

，，符合题意………11分

综上所述，的取值范围是………12分

解法二：当时，………9分

，，

故当时，，单调递减，………10分

令()，则，故在上单调递减，

，，符合题意………11分

综上所述，的取值范围是………12分

21.(本小题满分12分)

已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点.

解:(1)由题意，可设直线的方程为.

将代入，消去得………1分

设，，则，………2分

是线段的中点，，，

即， 又轴，垂足的坐标为………3分

则，，

，对任意的恒成立………4分

，解得，

故抛物线的方程为………5分

(2)设，由(1)可知，，，

，………6分

则，直线的方程为………7分

令，则，，同理………9分

由抛物线的对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则定点必在轴上，设该点坐标为，

则，，且，

………10分

，

或………11分

以线段为直径的圆过定点和………12分

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(为直线的倾斜角).

(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

(2)设，直线与曲线相交于两点，求的最大值.

解:(1)由，得………1分

由，，得直线的直角坐标方程为………2分

由(为参数)，两式相除得………3分

，整理得曲线的普通方程为()………4分

(2)解法一：直线经过点，的参数方程为(为参数)，

代入中，得………5分

由，得………6分

，………7分

………8分

,，，，

当且仅当时，等号成立………9分

故的最大值为………10分

解法二：直线经过点，………5分

由切割线定理得………7分

，当且仅当为圆的直径时，等号成立………9分

故的最大值为………10分

23.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知均为正实数，且.

(1)求的最大值；

(2)求的最小值.

解:(1)，

又，，………1分

………2分

，当且仅当时，等式成立………3分

即的最大值为………4分

(2)令，，，则

………5分

，，，，

当且仅当，即时，等式成立………6分

由(1)知，………7分

，………8分

即，当且仅当时，等式成立………9分

故的最小值为………10分