2023年北京高考数学真题(无答案)

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷共5页，150分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合，则（    ）

A．     B．    C．     D．

2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（    ）

A．       B．      C．    D．

3．已知向量满足，则（    ）

A．          B．         C．0             D．1

4．下列函数在区间上单调递增的是（    ）

A．       B．      C．    D．

5．在的展开式中，x的系数为（    ）

A．         B．40        C．         D．80

6．已知抛物线的焦点为F，点M在C上．若M到直线的距离为5，则（    ）

A．7        B．6         C．5          D．4

7．在中，，则（    ）

A．       B．      C．    D．

8．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

9．刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，和是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为，某学习小组为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（    ）

A．       B．         C．        D．

10．已知数列满足，则（    ）

A．当时，为递减数列，，使得时，

B．当时，为递增数列，，使得时，

C．当时，为递减数列，，使得时，

D．当时，为递增数列，，使得时，

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知函数，则____________．

12．已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．

13．已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．

14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．

已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．

15．设，函数，给出下列四个结论：

①在区间上单调递减；

②当时，存在最大值；

③设，则；

④设．若存在最小值，则a的取值范围是．

其中所有正确结论的序号是____________．

三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（14分）如图，在三棱锥中，平面ABC，．

（I）求证：平面PAB；

（Ⅱ）求二面角的大小．

17．（13分）

设函数．

（I）若，求的值．

（Ⅱ）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．

条件①：；

条件②：；

条件③：在区间上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（13分）

为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．

用频率估计概率．

（I）试估计该农产品价格“上涨”的概率；

（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

（Ⅲ）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）

19．（15分）

椭圆的离心率为，点A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，．

（I）求E的方程；

（Ⅱ）设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线交于点N．求证：．

20．（15分）

设函数，曲线在点处的切线方程为．

（I）求a，b的值；

（Ⅱ）设函数，求的单调区间；

（Ⅲ）求的极值点个数．

21．（15分）

数列是两个m项的有穷数列，且．记分别为数列的前n项和，且．另记，

（I）若，求的值；

（Ⅱ）若，且，求；

（Ⅲ）证明：存在，使得．