1.3 绝对值（含pdf版）-2023-2024学年小升初（新七年级）数学暑假衔接教材（人教版）

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❊1.3 绝对值
课前导入


【思考】2，-4，7，0，13，-20，这些数中，哪些能够进入此门？不能进去的要怎么才能够进入？
题型精析

知识点一 绝对值的定义


内容
绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与 的距离叫做数a的绝对值，记作 .
绝对值的几何意义
的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离.
【示例】的几何意义表示到原点的距离；的几何意义表示x到5的距离；的几何意义表示x到的距离.
题型一 绝对值的定义

例1
下列说法：
①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等；⑤只有负数的绝对值是它的相反数；⑥任何一个有理数的绝对值都不是负数．
其中正确的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质进行判断即可．
【解答】解：①互为相反数的两个数的绝对值相等，故①正确；
②绝对值等于它本身的数是非负数，故②错误；
③不相等的两个数绝对值可能相等，如2与-2，故③错误；
④绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故④错误；
⑤负数和0的绝对值是它的相反数，故⑤错误；
⑥任何一个有理数的绝对值都不是负数，故⑥正确；
综上所述，①⑥正确，正确的个数为2，
故选：C．
例2
下列说法中正确的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．若|a|=|b|，则a，b互为相反数
C．a的绝对值一定是负数
D．若一个数小于它的绝对值，则这个数一定是负数
【答案】D
变1
在数轴上，下面说法中不正确的是（ ）
A．两个有理数，绝对值小的离原点近
B．大数对应的数在右边
C．两个负数，较大的数对应的点离原点近
D．两个有理数，大数离原点近
【答案】D
变2
下列说法中，正确的有（ ）
①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是0；③ 任何数的绝对值都是非负数；④互为相反数的两个数的绝对值相等.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义对各选项进行判断．
【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以（1）错误；绝对值最小的有理数是0，所以（2）正确；任何数的绝对值都是非负数，所以（3）正确；互为相反数的两个数的绝对值相等，所以（4）正确．
故选：C．
知识点二 绝对值的性质


内容
绝对值的性质
正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 .
去绝对值

【注意】去绝对值的关键在于判断绝对值内的正负性.
题型二 绝对值的性质

类型一 绝对值的计算（1）

例1
计算：______；______；______；______；______.
【答案】3.7；0；-3.3；-0.75；-0.75
变1
写出下列各数的绝对值：6，-3.5，0，，，-4，1.2，π.
【答案】6；3.5；0；；；1.2；π
例2
一个数的绝对值等于，则这个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用绝对值的定义得出答案．
【详解】
解：∵一个数的绝对值等于，
∴这个数是：±．
故选：C．
变2
相反数是2的数是______；______的绝对值是3．
【答案】     -2     ±3
【解析】
【详解】
解：-（2）=-2；
；
故答案为：-2；±3
类型二 绝对值的计算（2）

例1
已知，它的几何意义是数轴上到原点距离为3，那么数轴上到原点距离为3的数有_____个，分别是______.所以______.
【答案】两；3和-3；±3.
例2
若|x|=5，|y|=2且x<0，y>0，则x=______，y=______.
【分析】由绝对值的定义，得x=±5，y=±2，再根据x＜0，y＞0，确定x、y的具体对应值，最后代入计算x+y的值．
【解答】解：∵|x|=5，|y|=2，
∴x=±5，y=±2，
∵x＜0，y＞0，
∴x=-5，y=2，
变1
数轴上的点B到原点的距离是6，则点B表示的是为（ ）
A．12或-12
B．6
C．-6
D．6或-6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义即可求解．
【详解】
解：∵数轴上的点B到原点的距离是6，
∴点B表示的是为6或，
故选D．
变2
若，，（1）求的值；（2）若，求的值？
【答案】（1）x=±4，y=±2；（2）x=4，y=2或x=4，y=-2
变3
若，，且同号，求的值？
【答案】4或-4
例3
（1）若，则x的值是多少？
（2）若，求x的值.
【答案】（1）x=6或-2；（2）x=1或-4
变3
若，则x=______.
【答案】1或-5
变4
若，求x的值.
【答案】4或-3
类型三 绝对值的性质

例1
如果，则a一定是（ ）
A．非正数
B．负数
C．非负数
D．正数
【答案】A
【分析】直接利用绝对值的性质分别分析得出答案．
【解答】解：∵|3a|=-3a，
∴-3a≥0，
∴a≤0，
即a一定是非正数．
故选：A．
例2
若，则说明_____________.
【答案】是非正数
变1
若|a|=-a，则a的值不可以是（ ）
A．2
B．-5
C．0
D．-0.5
【答案】A
【分析】根据绝对值的性质进行判断．
【解答】解：因为|a|≥0，
所以|a|的值是非负数．
|a|=-a，-a是非负数，所以a是负数或零．
故选：A．
变2
若，则说明_____________.
题型三 利用绝对值化简
【方法点睛】1.绝对值的化简主要是看绝对值内的正负性，若为正则直接去绝对值，若为负则加上负号.
2.在数轴上，右-左>0，左-右<0.

例1
去绝对值：_______；_______；_______.（参考数据，）
【答案】；；
变1
去绝对值：_______；_______；_______.（参考数据，）
【答案】；；
例2
已知-1≤x≤2，则化简代数式3|x-2|-|x+1|的结果是（ ）
A．-4x+5
B．4x+5
C．4x-5
D．-4x-5
【答案】A
【分析】由于-1≤x≤2，根据不等式性质可得：x-2≤0，x+1≥0，再依据绝对值性质化简即可．
【解答】解：∵-1≤x≤2，
∴x-2≤0，x+1≥0，
∴3|x-2|-|x+1|=3（2-x）-（x+1）=-4x+5；
故选：A．
变2
当1 【答案】5．
【分析】先运用不等式性质得出：x-1＞0，x-6＜0，再运用绝对值性质化简即可．
【解答】解：∵1＜x＜5，
∴x-1＞0，x-6＜0，
∴|x-1|+|x-6|=x-1-（x-6）=5；
故答案为：5．
例3
有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（ ）

A．2a
B．2a+2b-2c
C．0
D．-2c
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可．
【详解】
根据数轴上点的位置得：，且，
则，，，
则．
故选A．
例4
表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（ ）

A．2a-2b-2c
B．-2a
C．2a-2b
D．-2b
【答案】B
【解析】
【分析】
判断，是负数，是正数，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，进行化简；
【详解】
解：原式=，
，
=．
变3
已知有理数 a、b表示的点在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|＋|1-b|=____．

【答案】a＋b
【解析】
【分析】
根据图示，可知有理数a，b的取值范围b＞1， a＞-1，然后根据它们的取值范围去绝对值并求出原式的值．
【详解】
】解：根据图示知：b＞1，a＞-1，
∴|a+1|+|1-b|
=a+1+b-1
=a+b．
故答案为：a+b．
变4
如图，化简代数式|b-a|-|a-1|+|b+2|的结果是_______.

【答案】3．
【分析】根据有理数a、b在数轴上的位置，可以得出b-a，a-1、b+2的符号，进而化简即可．
【解答】解：由有理数a、b、c在数轴上的位置，可得，-1＜b＜0，1＜a＜2，
所以有b-a＜0，a-1＞0，b+2＞0，
因此|b-a|-|a-1|+|b+2|=a-b-（a-1）+（b+2）=a-b-a+1+b+2=3，
故答案为：3．
变5
有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：

化简：|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|=_______.
【答案】见试题解答内容
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c＜1，
∴a+b＜0，b-1＜0，a-c＜0，1-c＞0，
则原式=-a-b+b-1+a-c-1+c=-2．
题型四 比较大小

例1
下列各数中最小的数是（ ）
A．2022
B．-2022
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出答案．
【详解】
解：∵＜2022，
∴﹣＞﹣2022，
∴﹣2022＜＜＜2022
故选：B．
例2
下列比较有理数的大小，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
例3
2020年末“霸王级”寒潮来袭，全国各地气温骤降．如图表示2021年元月某天山西省四个城市
的天气情况．这一天最高气温最低的城市为（ ）

A．大同
B．太原
C．长治
D．晋城
【分析】两个负数，其绝对值大的反而小，比较即可．
【解答】解：因为﹣10＜﹣5＜﹣3＜﹣2，
所以这一天最高气温最低的城市为大同．
故选：A．
变1
某年，一些国家商品进出口总额的增长率如下：
美国
德国
法国
中国
英国
意大利
日本
-6.4%
1.3%
-2.4%
7.5%
-3.5%
0.2%
2.4%
商品进出口总额的增长率最大的国家是（ ）
A．美国
B．英国
C．中国
D．日本
【答案】C
【解析】
【分析】
比较各国出口总额增长率得出结论．
【详解】
解：∵-6.4%＜-3.5%＜-2.4%＜0.2%＜1.3%＜2.4%＜7.5%
∴增长率最大的是中国．
故选：C．
变2
比较大小：______（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】
先化简，然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出结论．
【详解】
解：∵， ，，
∴，
，
故答案为：．
例4
已知a>0，b<0，且|a|<|b|，则下列关系正确的是（ ）
A．b<﹣a B．﹣a C．﹣a D．b 【方法总结】比较大小我们可以使用代值的方法.

【答案】A
【分析】根据：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，可得：-a＜0，-b＞0，-a＜b，据此判断出a、-a、b、-b的大小关系即可．
【解答】解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，
∴-a＜0，-b＞0，-a＜b，
∴b＜-a＜a＜-b．
故选：A．
变3
有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、-a、-b、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）

A．-a B．a<-a<0<-b C．-b D．a<0<-a 【答案】C
【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：根据数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，
则-b＜a＜0＜-a＜b．
故选：C．
变4
若0＜m＜1，m、m2、的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
知识点三 绝对值的非负性


内容
绝对值的非负性
非负数+非负数=0，那么它们分别都等于0.
题型五 绝对值的非负性

例1
已知，则______，______.
【答案】1；-2
例2
已知，则______，______.
【答案】3；6
变1
已知与互为相反数，则______.
【答案】4
变2
已知，则______，______.
【答案】1；2
知识点四 绝对值的几何意义


内容
绝对值的几何意义
的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离.
【示例】的几何意义表示到原点的距离；的几何意义表示x到5的距离；的几何意义表示x到的距离.
题型六 绝对值的几何意义

【方法点睛】1.的几何意义为数轴上数到数1和数距离之和.
2.有最小值，最小值为.

【理解】我们可以这样来理解的最小值，如上图所示，要求小明到A和B两点距离的最小值，小明应该站在A、B两点之间.即距离的最小值为A、B两点间的距离.
【思考】有最_____值？请作图分析.








例1
若a为有理数，则|a-3|+|a+4|的最小值是_______，|a+2|-|a-1|的最大值是_______．
【答案】7；3
变1
求|x-2|+|x-7|的最小值是_______；|x-2|-|x-7|的最大值是_______.
【答案】5；5
例2
我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3-1|可表示为数轴上3和1这两点的距离，而即则表示3和-1这两点的距离．式子的几何意义是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与-2所对应的点之间的距离．根据以上发现，试探索：
（1）直接写出______．
（2）结合数轴，找出所有符合条件的整数x，的所有整数的和．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)10
(2)-3，-2，-1，0，1，2，和为-3
(3)有，10
【解析】
【分析】
（1）根据有理数减法法则计算；
（2）分析得到表示x与2的距离，表示x与-3的距离，由，确定，进而解答；
（3）设-4表示点A，6表示点B，x表示点P，则，分三种情况：当P在点A左侧时，当P在点B右侧时，当P在A、B之间时，分别求出最小值解答．
(1)
10，
故答案为10；
(2)
表示x与2的距离，表示x与-3的距离，
∵，
∴，
∴整数x=-3，-2，-1，0，1，2，
和为-3-2-1+0+1+2=-3；
(3)
有最小值10，理由如下：
设-4表示点A，6表示点B，x表示点P，则，
当P在点A左侧时，，
当P在点B右侧时，，
当P在A、B之间时，，
∴的最小值为10．
变2
阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a-b|．回答下列问题：

（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是　 　，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是　 　；
（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为　 　；
（3）若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)4，
(2)或
(3)有最小值，6
【解析】
【分析】
（1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解；
（2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义，即可得解．
(1)
解：，
故答案为：4，．
(2)
解：∵
∴或，
故答案为：或．
(3)有最小值，6
变3
在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到﹣2及到4的距离之和，所以当时，它的最小值为6．
阅读下面的材料：
我们知道，在数轴上，表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．
请根据上面的材料解答下列问题：
（1）数轴上有理数对应的点到有理数3对应的点的距离是_______；
（2）表示有理数a对应的点与有理数_______对应的点的距离；如果，那么有理数a的值是_______；
（3）代数式的最小值是_______，此时有理数a可取的整数值有______个．
【答案】(1)12；
(2)5，3或7；
(3)0或7；
(4)5，6．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知，数轴上有理数对应的点到有理数3对应的点的距离是，计算即可；
（2）根据题意进行解题即可；
（3）式子代表的a对应的点到1的距离与到6的距离的和为7，找到对应的点即可；
（4）代数式的最小值在数轴上1与6之间，最小值为5，符合条件的值有6个．
(1)
解：由题意得，=12，
故答案为：12．
(2)
表示有理数a对应的点与有理数5对应的点的距离；
，表示到5所对应的点距离为2的点，即为：3或7．
故答案为：5；3或7．
(3)
表示：a对应的点到1的距离与到6的距离的和为7，从数轴上观察得出a的值为：0或7，
故答案为：0或7．
(4)
代数式表示的是a对应的点到1的距离与到6的距离的和，最小值为1到6的距离，最小值为5，符合条件的整数值在1到6之间，共6个．
故答案为：5，6．

课后强化

1.以下叙述中，正确的是（ ）
A．正数与负数互为相反数
B．表示相反意义的量的两个数互为相反数
C．任何有理数都有相反数
D．一个数的相反数是负数


【答案】C
【解析】
【分析】
根据正负数、相反数的定义与应用对各选项进行判断即可．
【详解】
A选项：1和不互为相反数，原说法错误，故不符合题意．
B选项：支出1元与收入2元是两个相反意义的量，但不互为相反数，原说法错误，故不符合题意．
C选项：任何有理数都有相反数，正确，故符合题意．
D选项：的相反数是1，是正数，原说法错误，故不符合题意．
故选C．
2.下列说法错误的个数是（ ）
①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②只有负数的绝对值是它的相反数；
③正数和零的绝对值都等于它本身；④互为相反数的两个数的绝对值相等．
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
【分析】①一个数的绝对值的相反数一定是负数．反例：当这个数是0时，结果还是0不是负数，所以错误；
②只有负数的绝对值是它的相反数．反例：当这个数是0时，结果还是0也是0的相反数，所以错误；
③正数和零的绝对值都等于它本身．由绝对值性质可知，正确；
④互为相反数的两个数的绝对值相等．正确．所以错误的有2个．
【解答】解：根据绝对值的性质和相反数的概念，得①，②错误；③，④正确．
故选：B．
3.的相反数等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
4.若|x|=1，|y|=5，且x>0，y<0，则x+y=_______.
【答案】-4
5.如果，则x一定是（ ）
A．非正数
B．负数
C．非负数
D．正数
【答案】A
6.如果，则a+1一定是（ ）
A．非正数
B．负数
C．非负数
D．正数
【答案】C
7.下表是几种液体在标准大气压下的沸点：
液体名称
液态氧
液态氢
液态氮
液态酒精
沸点/℃
-183
-253
-196
78.2
其中沸点最低的是（ ）
A．液态氧
B．液态氢
C．液态氮
D．液态酒精
【答案】B
【解析】
【分析】
分别比较几个沸点的大小，即可得到解答．　
【详解】
解：∵|-183|<|-196|<|-253|，
∴78.2>-183>-196>-253，
∴沸点最低的是液态氢，
故选B．　
8.数轴上，有理数a、b、-a、c的位置如图，则化简|a+c|+|a+b|+|c-b|的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据数轴上a、b、-a、c的位置去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【解答】解：由图可知a＜0＜b＜-a＜c，
∴a+c＞0，a+b＜0，c-b＞0，
∴|a+c|+|a+b|+|c-b|=a+c-a-b+c-b=2c-2b．
故选：C．
9.已知a、b、c的位置如图所示，化简|a+b|-|c-a|+|b+2c|=______.

【答案】见试题解答内容
【分析】由图可知：c＜a＜b，|a+b|-|c-a|+|b+2c|=b+a-（a-c）-（b+2c）=-c．
【解答】解：由图可知：c＜a＜b，
∴|a+b|-|c-a|+|b+2c|=b+a-（a-c）-（b+2c）=-c，
故答案为-c．
10.已知与互为相反数，则______.
【答案】8
11.若，则______，______．
【答案】          3
【解析】
【分析】
根据偶次方和绝对值的非负性求解即可．
【详解】
解：∵(a+1)2+|a−b+4|=0，
∴a+1=0，a-b+4=0，
解得a=-1，b=3，
故答案为：-1，3．
12.求|x-1|+|x+4|的最小值是______.
【答案】5
13.已知|a|＝2，|b|＝3，且b＜a，试求a、b的值．
【分析】根据题意可以求得a、b的值．
【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，
∴a＝±2，b＝±3，
又∵b＜a，
∴a＝2，b＝﹣3或a＝﹣2，b＝﹣3．
【点评】本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的意义．
14.回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______；
（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是______，如果∣AB∣=2， 那么x为______．
（3）当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______．
【答案】(1)3，3，4
(2)，1或-3
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据材料提供的方法进行计算数轴上两点之间的距离， 紧紧抓住在数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣解题即可．
（2）根据数轴上两点之间的距离得到，然后根据绝对值的意义求出x的值．
（3）把原题看成点x到点-1和点2的距离之和，即可得到答案．
(1)
解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离为；
故答案为：3，3，4；
(2)
解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，
根据题意得，即，所以x=1或-3，
故答案为，1或-3；
(3)
解：代数式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3，所以x的取值为，
故答案为：．