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2022-2023学年湖北省襄阳市南漳县九年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖北省襄阳市南漳县九年级（下）期中数学试卷（含解析），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省襄阳市南漳县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是( )
A. sinB=23 B. cosB=23 C. tanB=23 D. tanB=−2 1313
2. 由一些完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数最少和最多分别是( )
A. 5，10 B. 6，10 C. 6，9 D. 5，9
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则cosA的值是( )
A. 32 B. 12 C. 2 55 D. 55
4. 小明在星期天上午8：30测得某树的影长为9m，下午13：00他又测得该树的影长为4m(如图所示)，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为( )
A. 8m B. 6m C. 4.5m D. 4m
5. 在平面直角坐标系中，A(2,n−1)是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点，已知点B(2,n)，点C(n−1,n)，连接BC，则下列说法正确的是( )
A. n的值可能为1
B. 点C不可能在反比例函数 y=kx的图象上
C. 在反比例函数 y=kx的图象的一个分支上，可能存在y随x的增大而增大
D. 直线BC与反比例函数y=kx的图象必有一个交点
6. 如图，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)经过△ABO边AB的中点C，与边AO交于点D，且OD=2AD，连接OC，若△AOC的面积为78，则k=( )
A. 74
B. 2
C. 94
D. 52
7. 如图，⊙O直径AB，DC⊥平分OA，AB延长线上一点E，DE交圆O于F，且EF=OA.弦DH交OC于G，满足GD2=GO×GE，S△DHF−S△DCE=2 3，AC长为( )
A. 3 B. 43 3 C. 2 D. 2 3
8. 如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF=EC；②CF2=CG⋅CA；③BE⋅DH=16；④若BF=1，则DE=32 2，正确的是( )
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
9. 如图，点A是反比例函数y=kx(x>0)图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8.若点P(a,4)也在此函数的图象上，则a的值是( )
A. 2
B. −2
C. 4
D. −4
10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA=45°；③AP−BP= 2OP；④若BE：CF=2，3，则tan∠CAE=47；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14.其中正确的结论是( )
A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，DE= 13，则AF的长为______ ．
12. 如图，矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E.若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD=34，则k的值为 ．
13. 如图，已知函数y=kx(k≠0)经过点A(2,3)，延长AO交双曲线另一分支于点C，过点A作直线AB交y轴正半轴于点D，交x轴负半轴于点E，交双曲线另一分支于点B，且DE=2AD.则△ABC的面积 ．
14. 如图，正方形ABCD由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形A′B′C′D′，△AEF(E、F是小正方形的顶点)同时形变为△A′E′F′.当△AEF与△A′E′F′的面积之比等于2： 3时，则A′C′= ．
15. 如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示，其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转.压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，PG⊥BC，DF=8厘米，不使用时，EF//AB，G是PF中点，tan∠PMG=34，且点D在NM的延长线上，则GF的长为______ 厘米；使用时如图3，按压MN使得MN//AB，此时点F落在AB上，若CD=2厘米，则压杆MN到底座AB的距离为______ 厘米．
三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
数学社团的同学运用自己所学的知识进行区间测速，他们将观测点设在距金水大道50米的点P处，如图所示，直线l表示金水大道.这时一辆小汽车由金水大道上的A处向B处匀速行驶，用时2秒.经测量点A在点P的南偏西30°方向上，点B在点P的南偏西53°方向上．
(1)求A、B之间的路程(精确到0.1米)；
(2)请判断此车是否超过了金水大道60千米/时的限制A速度？(参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3≈1.732)
17. (本小题8.0分)
°°°如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN//AB，小明在A处测得点B处小树的顶端C的仰角为14°，已知小树的高为1.75米．
(1)求直径AB的长；
(2)如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度MN约为多少米.(结果精确到0.1米，参考数据：tan76°=4， 6=2.4)
18. (本小题8.0分)
如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，∠PCB=∠BDC．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求证：PE2=PB⋅PA．
19. (本小题8.0分)
如图，曲线y1=k1x(x>0)与直线y2=k2x+b交于A(1,3)，B(m,1)两点．
(1)求曲线y1=k1x(x>0)和直线y2=k2x+b的解析式；
(2)根据第一象限图象观察，当y1
20. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与函数y=kx(x>0)的图象交于点A(1,m)，与x轴x交于点B．
(1)求m，k的值；
(2)过动点P(0,n)(n>0)作平行于x轴的直线，交函数y=kx(x>0)的图象于点C，交直线y=x+3于点D．
①当n=2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
21. (本小题9.0分)
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D，交AB于点E，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AF=12，CF=3，求CD的长；
(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积．
22. (本小题9.0分)
问题探究：
(1)如图①，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE//BC，AD=13BD，则△ADE与△ABC的高之比为______ ；
(2)如图②，在△ABC中，BC=10，S△ABC=50，矩形DEFG的顶点D，E分别在边AB、AC上，顶点F、G在边BC上，若设DG=x，求当x取何值时，矩形DEFG面积最大．
问题解决：
(3)某市进行绿化改造，美化生态环境.如图③，现有一块四边形的空地ABCD计划改造公园，经测量AB=50m，BC=100m，CD=72m，且∠B=∠C=60°，按设计要求，要在四边形公园ABCD内建造一个矩形活动场所PQMN，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉.已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？(结果保留根号)
23. (本小题10.0分)
如图，有一个人站在球台EF(水平)上去打高尔夫球，球台到x轴的距离为8米，与y轴相交于点E，弯道FA：y=kx与球台交于点F，且EF=3米，弯道末端AB垂直x轴于B，且AB=1.5米，从点E处飞出的红色高尔夫球沿抛物线L：y=−x2+bx+8运动，落在弯道FA的D处，且D到x轴的距离为4米；
(1)k的值为______ ；点D的坐标为______ ；b= ______ ；
(2)红色球落在D处后立即弹起，沿另外一条抛物线G运动，若G的最高点坐标为P(10,5)．
①求G的解析式，并说明小球能否落在弯道FA上？
②在x轴上有托盘BC=2，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为d，则d的取值范围是什么？
(3)若在红色球从E处飞出的同时，一黄色球从点E的正上方M(0,m)飞出，它所运行轨迹与抛物线L形状相同，且黄色球始终在红色球的正上方，当红色球到y轴的距离为4米，且黄球位于红球正上方超过6米的位置时，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，
∴AB= 22+32= 13，
∴sinB=ACAB=2 13=2 1313，
cosB=BCAB=3 13=3 1313，
tanB=ACBC=23，
故选：C．
利用锐角三角函数定义判断即可．
此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共3行，且正方体在搭建过程中在底层必须能棱与棱一起，
所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列2个小正方体，第二列3个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：x=2+3=5(个)．
小正方体的个数最多的几何体为：第一列5个小正方体，第二列5个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最多为：y=5+5=10(个)．
故选：A．
由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少和最多的正方体的个数．
本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
3.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=2BC，
∴AC= AB2−BC2= (2BC)2−BC2= 3BC，
∴cosA=ACAB= 3BC2BC= 32．
故选：A．
先利用勾股定理得到AC= 3BC，然后根据余弦的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解锐角的余弦的定义是解决问题的关键．也考查了勾股定理．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4，FD=9，
∵∠ECD+∠FCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，
∴∠CED=∠FCD，
又∵∠EDC=∠FDC=90°，
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴EDEC=DCFD；
即DC2=ED⋅FD，
代入数据可得DC2=36，
解得DC=6．
故选：B．
根据题意，画出示意图，易得Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EDEC=DCFD；即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
5.【答案】C
【解析】解：∵A(2,n−1)是上一点，
∴n−1≠0，
∴n≠1，
故A选项不符合题意，
∵点A(2,n−1)是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点，
∴k=2(n−1)，且n−1≠0，
当点C在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上时，可得(n−1)n=2(n−1)，
∵n−1≠0，
∴n=2，
∴k=2×(2−1)=2，点C的坐标为(1,2)，
∴点C可能在反比例函数 y=kx的图象上，
故B选项不符合题意；
当n−1<0时，k<0，
在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上的一个分支上，y随x的增大而增大，
故C选项符合题意；
当n=0时，直线BC在x轴上，
∴直线BC与反比例函数y=kx(k≠0)的图象没有交点，
故D选项不符合题意；
故选：C．
根据反比例函数的图象与性质即可进行判断．
本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：过D作DM⊥x轴于M，过A作AN⊥x轴于N，如图：
设D(x,kx)，
∵DM⊥x轴，AN⊥x轴，
∴DM//AN，
∴△DOM∽△AON，
∵OD=2AD，
∴OD：OA=2：3，
∴A(3x2,3k2x)，
∵C是AB的中点，
∴点C的纵坐标为12×3k2x=3k4x，
∵点C在反比例函数y=kx图象上，
∴点C的横坐标为k3k4x=4x3，
∴点B的横坐标为4x3×2−3x2=7x6，
∵△AOC的面积为78，OC是△AOB的中线，
∴△BOC的面积为78，
∴12×7x6×3k4x=78，
解得k=2，
故选：B．
过D作DM⊥x轴于M，过A作AN⊥x轴于N，设D(x,kx)，根据OD=2AD，可得A(3x2,3k2x)，又C是AB的中点，故点C的纵坐标为12×3k2x=3k4x，可知点C的横坐标为k3k4x=4x3，从而点B的横坐标为4x3×2−3x2=7x6，根据△AOC的面积为78，OC是△AOB的中线，可列出12×7x6×3k4x=78，即可解得答案．
本题考查反比例函数的应用，涉及三角形面积，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
7.【答案】C
【解析】解：连接AD，OD，OH，OF，过点O作OM⊥HF于点M，如图，
∵DC⊥平分OA，
∴AD=OD，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠A=∠AOD=60°．
设AC=x，则OC=x，OD=OH=OF=OA=EF=2x，
∴CD= 3x.
∵GD2=GO×GE，
∴GOGD=GDGE，
∵∠DGO=∠EGD，
∴△GDO∽△GED，
∴∠ODG=∠E，∠GOD=∠GDE=60°．
∴∠HOF=2∠HDF=120°．
∵OH=OF，OM⊥HF，
∴∠HOM=12∠HOF=60°，
∴OM=12OH=x，HM= 3x.
∴HF=2HM=2 3x．
∵OA=EF，OF=OA，
∴OF=EF，
∴∠FOE=∠E，
∴∠E=∠FOE=∠ODH．
∵OD=OH，
∴∠ODH=∠OHD，
∴∠∠OHD=∠E=∠FOE．
在△ODH和△FOE中，
∠ODH=∠FOE∠OHD=∠EOD=OF，
∴△ODH≌△FOE(AAS)，
∴S△ODH=S△FOE．
∵S△DHF=S△DOH+S△ODF+S△OHF，S△DCE=S△FOE+S△ODF+S△OCD，
∴S△DHF−S△DCE=S△OHF−S△ODC．
∵S△DHF−S△DCE=2 3，
∴S△OHF−S△ODC=2 3．
∴12×HF⋅OM−12×OC⋅CD=2 3．
∴12×2 3x⋅x−12×x⋅ 3x=2 3，
∵x>0，
∴x=2．
∴AC=2．
故选：C．
连接AD，OD，OH，OF，过点O作OM⊥HF于点M，利用线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定得到△OAD为等边三角形，设AC=x，则OC=x，OD=OH=OF=OA=EF=2x，利用相似三角形的判定得到△GDO∽△GED，进而得到∠ODG=∠E，∠GOD=∠GDE=60°；利用圆周角定理得到∠HOM=12∠HOF=60°，利用等腰三角形的性质得到OM=12OH=x，HM= 3x，HF=2HM=2 3x；利用全等三角形的判定与性质得到S△ODH=S△FOE，从而S△DHF−S△DCE=S△OHF−S△ODC=2 3，最后利用三角形的面积公式得到关于x的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=∠BAC=∠DAC=45°，
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=EC，∠DAE=∠DCE，
∴∠EAF=∠BCE，
∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE=360°，
∴∠BCE+∠EFB=180°，
又∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠AFE=∠BCE=∠EAF，
∴AE=EF，
∴EF=EC，故①正确；
∵EF=EC，∠FEC=90°，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴∠FAC=∠EFC=45°，
又∵∠ACF=∠FCG，
∴△FCG∽△ACF，
∴CFCG=CACF，
∴CF2=CG⋅CA，故②正确；
∵∠ECH=∠CDB，∠EHC=∠DHC，
∴△ECH∽△CDH，
∴CHDH=ECCD，
∴CHEC=DHCD，
∵∠ECH=∠DBC，∠BEC=∠CEH，
∴△ECH∽△EBC，
∴CHBC=ECBE，
∴CHEC=BCBE，
∴DHCD=BCBE，
∴BC⋅CD=DH⋅BE=16，故③正确；
∵BF=1，AB=4，
∴AF=3，AC=4 2，
∵∠ECF=∠ACD=45°，
∴∠ACF=∠DCE，
又∵∠FAC=∠CDE=45°，
∴△AFC∽△DEC，
∴AFDE=ACCD，
∴3DE= 2，
∴DE=3 22，故④正确，
故选：D．
①由“SAS”可证△ADE≌△CDE，可得AE=EC，∠DAE=∠DCE，由四边形的内角和定理可证∠AFE=∠BCE=∠EAF，可得AE=EF=EC；
②通过证明△FCG∽△ACF，可得CF2=CG⋅CA；
③通过证明△ECH∽△CDH，可得CHEC=DHCD，通过证明△ECH∽△EBC，可得CHEC=BCBE，可得结论；
④通过证明△AFC∽△DEC，可得AFDE=ACCD，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB垂直于x轴，△OAB的面积为8，k>0，
∴k=2×8=16，
∴y=16x，
∵点P(a,4)也在此函数的图象上，
∴4=16a，
∴a=4，
故选：C．
根据k的几何含义可得k的值，从而得出反比例函数的解析式，进而把点P的坐标代入，从而得出a的值．
本题考查了反比例函数的“k“的几何函数，点和函数图象的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
10.【答案】B
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，AC⊥BD，∠ABD=∠DBC=∠ACD=45°．
∴∠BOE+∠EOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC=90°．
∴∠BOE=∠COF．
在△BOE和△COF中，
∠OBE=∠OCF=45°OB=OC∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴BE=CF．
在△BAE和△CBF中，
AB=BC∠ABC=∠BCF=90°BE=CF，
∴△BAE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF=90°，
∴∠ABP+∠BAE=90°，
∴∠APB=90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB=90°，∠AOB=90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO=∠ABO=45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO=45°，OH⊥OP，
∴OH=OP= 22HP，
∴HP= 2OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB=90°．
∴∠AOH=∠BOP．
∵∠OAH+BAE=45°，∠OBP+∠CBF=45°，∠BAE=∠CBF，
∴∠OAH=∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
∠OAH=∠OBPOA=OB∠AOH=∠BOP，
∴△AOH≌△BOP(ASA)，
∴AH=BP．
∴AP−BP=AP−AH=HP= 2OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE=2：3，
∴设BE=2x，则CE=3x，
∴AB=BC=5x，
∴AE= AB2+BE2= 29x.
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB=45°，
∴EG=GC= 22EC=3 22x，
∴AG= AE2−GE2=7 22x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE=EGAG，
∴tan∠CAE==3 22x7 22x=37．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA(SAS)．
∴S△OBC=14S正方形ABCD．
∴S△BOE+S△OEC=14S正方形ABCD．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE=S△OFC，
∴S△OEC+S△OFC=14S正方形ABCD．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故选：B．
利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
11.【答案】53
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=4，
∴AB=CD=4，AB//CD，∠ADC=∠DAB=90°，
∵E是边AB的中点，
∴AE=BE=12AB=2，
在Rt△DAE中，DE= 13，AE=2，
∴AD= DE2−AE2= ( 13)2−22=3，
在Rt△ADC中，AD=3，CD=4，
∴AC= AD2+CD2= 32+42=5，
∵AB//CD，
∴∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，
∴△AEF∽△CDF，
∴AFCD=AECD=12，
∴AFAC=13，
∴AF=13AC=53．
故答案为：53．
根据题意和矩形的性质可得AB=CD=4，AB//CD，∠ADC=∠DAB=90°，AE=2，根据勾股定理求得AD=3，AC=5，易证△AEF∽△CDF，则AFCD=AECD=12，AFAC=13，以此即可求解．
本题主要考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
12.【答案】3
【解析】解：∵tan∠AOD=ADOA=34，
∴设AD=3a、OA=4a，
则BC=AD=3a，点D坐标为(4a,3a)，
∵CE=2BE，
∴BE=13BC=a，
∵AB=4，
∴点E(4+4a,a)，
∵反比例函数y=kx经过点D、E，
∴k=12a2=(4+4a)a，
解得：a=12或a=0(舍)，
则k=12×14=3，
故答案为：3．
由tan∠AOD=ADOA=34可设AD=3a、OA=4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．
13.【答案】16
【解析】解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，连接OB，
则∠AFE=90°=∠DOE，
∴OD//AF，
∴△EDO∽△EAF，
∴ODAF=EDEA，
∵DE=2AD，
∴AE=3AD，
∵A(2,3)，
∴k=6，AF=3，
∴OD3=2AD3AD，
∴OD=2，
∴D(0,2)，
设直线AB的解析式为y=mx+n，则2m+n=3n=2，
解得：m=12n=2，
∴直线AB的解析式为y=12x+2，
与反比例函数y=6x联立，得12x+2=6x，
解得：x1=2，x2=−6，
∴点B的横坐标为−6，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=12×2×2+12×2×6=8，
∵延长AO交双曲线另一分支于点C，
∴点C与点A关于原点对称，即点O是AC的中点，
∴S△ABC=2S△AOB=2×8=16．
故答案为：16．
过点A作AF⊥x轴于点F，连接OB，可证得△EDO∽△EAF，求得OD=2，即D(0,2)，利用待定系数法可得直线AB的解析式为y=12x+2，与反比例函数y=6x联立，可求得点B的横坐标为−6，根据S△AOB=S△AOD+S△BOD，S△ABC=2S△AOB，即可求得答案．
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数y=kx中k的几何意义，相似三角形的判定和性质，中心对称的性质，三角形面积等，求出点D的坐标是解题的关键；本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
14.【答案】4 3
【解析】解：△AEF的面积=△AGE的面积+△FGE的面积=12GE⋅AB=12×2×4=4，
∵△AEF与△A′E′F′的面积之比等于2： 3，
∴△A′E′F′的面积=2 3，
△AEF变成菱形A′B′C′D′时的△A′E′F′，G′E′的长度没有变化，
A′B′的长度也没有变化，
过点B′作B′H⊥A′D′，垂足为H，
∴△A′E′F′面积=12G′E′⋅B′H=12×2×B′H=2 3，
∴B′H=2 3，
∵sin∠B′A′H=B′HA′B′=2 34= 32，
∴∠B′A′H=60°，
∴∠A′B′C′=120°，
又∵A′B′=B′C′=4，
∴A′C′= 3A′B′=4 3．
故答案为：4 3．
先求出△AEF的面积，再根据面积关系求出∠B′A′H=60°，得出A′C′= 3A′B′，即可得到答案．
本题考查了正方形的性质、菱形的性质、三角形面积的计算；关键是根据面积关系求出∠B′A′H．
15.【答案】3；3 152
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
延长NM，则NM过点D，根据tan∠PMG=34和DF=8厘米.可得GF的长；过点P作PK⊥AB于K，可得∠PFK=∠CDF，利用勾股定理可得CF的长，最后利用三角函数可得答案．
【解答】
解：如图2，延长NM，则NM过点D，
∵四边形EFGH是矩形，HG//EF，
∴∠PMG=∠PDF，
∴tan∠PDF=tan∠PMG=PFDF=34，
即PF8=34，
∴PF=6，
∵G是PF中点，
∴GF=3厘米，
如图3，过点P作PK⊥AB于K，
∴∠DFP=∠DCF=∠PKF=90°，
∴∠CDF+∠DFC=∠PFK+∠DFC=90°，
∴∠PFK=∠CDF，
在Rt△DCF中，CF= 82−22=2 15厘米，
∴sin∠CDF=sin∠PFK，
∴CFDF=PKPF，
即2 158=PK6，
∴PK=3 152厘米．
故答案为：3；3 152．
16.【答案】解：(1)过P作PC⊥BA于C，
在Rt△APC中，∵∠ACP=90°，∠PAC=30°，PC=50米，
∴AC= 3PC=50 3(米)，
在Rt△PBC中，∵∠PCB=90°，∠BPC=37°，PC=50米，
∴BC=PC⋅tan37°≈50×0.75=37.5(米)，
∴AB=AC−BC=50 3−37.5≈48.1(米)，
答：A、B之间的路程为48.1米；
(2)此车超过金水大道每小时60千米的限制速度，理由如下：
∵AB=48.1(米)，
∴此车的速度=48.12=24.05(米/秒)，
又60千米/小时=600003600=1006(米/秒)，
而24.05米/秒>1006米/秒，
∴此车超过中山路每小时60千米的限制速度．
【解析】(1)分别在Rt△APC，Rt△BCP中，求得AC、BC的长，从而求得AB的长．已知时间则可以根据路程公式求得其速度；
(2)将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．此时注意单位的换算．
此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是特殊角的三角函数值、锐角三角函数，注意时间之间的换算．
17.【答案】解：(1)∵小明在A处测得点B处小树的顶端C的仰角为14°，
∴∠CAB=14°，∠CBA=90°，
∴∠C=180°−∠CAB−∠CBA=76°，
∵tanC=ABBC，BC=1.75米，
∴tan76°=AB1.75，
∴AB=1.75⋅tan76°=7(米)，
答：直径AB的长为7米；
(2)过点O作OD⊥MN于D，并延长OD交⊙O于H，连接OM，如图：
∴MD=DN，DH=2.8米，
∵⊙O的直径为7米，
∴OM=OH=3.5米
∴OD=OH−DH=0.7米，
在Rt△ODM中，
MD= OM2−OD2= 3．52−0．72=1，4 6=1.4×2.4=3.36(米)，
∴MN=2MD=2×3.36=6.72≈6.7(米)．
答：水面的宽度MN约为6.7米．
【解析】(1)由∠CAB=14°，∠CBA=90°，得∠C=76°，利用锐角三角形的正切值即可求解；
(2)过点O作OH⊥MN，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，在Rt△ODM中，利用勾股定理即可求得MD的值，从而可求解．
本题考查解直角三角形及应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义、勾股定理并能应用．
18.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠BDC=∠CAB，∠PCB=∠BDC，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
(2)证明：∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴PC2=PB⋅PA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠CEB=∠CAB+45°，∠PCE=45°+∠PCB，
∴∠CEB=∠PCE，
∴PC=PE，
∴PE2=PB⋅PA．
【解析】(1)连接OC，根据∠ACB=90°，可证∠PCB+∠OCB=90°，则OC⊥PC，且OC是半径，即可证明；
(2)首先证明△PCB∽△PAC，得PC2=PB⋅PA，再由∠CEB=∠CAB+45°，∠PCE=45°+∠PCB，得∠CEB=∠PCE，则有PC=PE，从而证明结论．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】1
得：3=k11，
解得：k1=3，
∴曲线的解析式为y1=3x(x>0)，
把点B(m,1)代入y1=3x(x>0)得：1=3m，
解得：m=3，
∴B(3,1)，
把A(1,3)、B(3,1)代入y2=k2x+b得：3=k2+b1=3k2+b，
解得：k2=−1b=4，
∴直线的解析式为：y2=−x+4．
(2)由图可知：当y1
(2)根据图象即可进行解答．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，会根据图象和不等式求函数值的取值范围．
20.【答案】解：(1)∵直线y=x+3经过点A(1,m)，
∴m=1+3=4，
∵反比例函数y=kx的图象经过点A(1,4)，
∴k=1×4=4；
(2)①当n=2时，点P的坐标为(0,2)，
当y=2时，2=4x，解得x=2，
∴点C的坐标为(2,2)，
当y=2时，x+3=2，解得x=−1，
∴点D的坐标为(−1,2)，
∴CD=2−(−1)=3；
②当y=0时，x+3=0，解得x=−3，则B(−3,0)，
当y=n时，n=4x，解得x=4n，
∴点C的坐标为(4n,n)，
当y=n时，x+3=n，解得x=n−3，
∴点D的坐标为(n−3,n)，
当点C在点D的右侧时，
若CD=OB，即4n−(n−3)=3，解得n1=2，n2=−2(舍去)，
∴当0
若CD=OB，即n−3−4n=3，解得n1=3+ 13，n2=3− 13(舍去)，
∴当n≥3+ 13时，CD≥OB，
综上所述，n的取值范围为0
(2)①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；
②先确定(−3,0)，由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C(4n,n)，D(n−3,n)，讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD=OB得到4n−(n−3)=3，解得n1=2，n2=−2(舍去)，再结合图象可判断当0
21.【答案】(1)证明：直线BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD//AC，
∵∠ACB=90°，
∵∠ODB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：∵AE是⊙O直径，
∴∠ADE=90°，
∴AD⊥EF，
∵AD平分∠BAC，AE=12，
∴AE=AF=12，
∵CF=3，
∴AC=9，
在Rt△ADF中，∠ACD=90°，
∴∠FDC+∠ADC=∠CAD+∠ADC，
∴∠FDC=∠CAD，
∵∠DCF=∠ACD=90°，
∴△DCF∽△ACD，
∴CDAC=CFCD，
∴CD2=AC⋅CF，
∴CD=3 3；
(3)解：∵OD⊥BC，∠B=30°，OD=12AE=6，
∴BD=6 3，
∴S△BOD=12×6×6 3=18 3，
∵∠BAD=30°，
∴∠BOD=60°，
∴S扇形EOD=60π×62360=6π，
∴S阴影=18 3−6π．
【解析】(1)连接OD，根据角平分线的定义得出∠BAD=∠CAD，由等边对等角得出∠BAD=∠ODA，即可得出∠ODA=∠CAD，进而判定OD//AC，根据平行线的性质得到∠ODB=90°，即OD⊥BC，即可得解；
(2)由AE是⊙O直径得出AD⊥EF，进而得到AE=AF=12，AC=9，根据两角相等的两个三角形相似得到△DCF∽△ACD，即可得出CD2=AC⋅CF，求出CD，在根据锐角三角函数定义求出∠CAD=30°，即得∠B=30°，再根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半得出AB=18，即可根据求解BE；
(3)根据阴影部分面积等于△BOD的面积减去扇形EOD的面积求解即可．
本题考查了切线的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记相关的定理及证明直线BC与⊙O相切是解题的关键．
22.【答案】14
【解析】解：(1)∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD=13BD，
∴AD：AB=1：4，
∴△ADE和△ABC的相似比是14，
∴△ADE与△ABC的高之比等于相似比是14．
故答案为：14．
(2)作AN⊥BC于N，交DE于M，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AM：AN，
∵△ABC的面积=12BC⋅AN=50，BC=10，
∴AN=10，
∵DG=x，
∴MN=x，AM=10−x，
∴DE：10=(10−x)：10，
∴DE=10−x，
∴矩形DEFG的表面积=DE⋅DG=(10−x)⋅x=−(x−5)2+25，
∴当x=5时，矩形DEFG的面积最大；
(3)延长BA，CD交于O，作DH⊥AO于H，
当矩形PQMN的面积最大时，费用最小，
∵PQ//BC，
∴△OQP是等边三角形，
∴OA=OB−AB=100−50=50(m)，OD=OC−CD=100−72=28(m)，
令PQ=x m，则OQ=PQ=PO=x m，
∴BQ=(100−x)m，
∵sin∠B=QMBQ，
∴QM= 32(100−x)，
∴矩形PQMN的面积=PQ⋅MQ= 32(100−x)x=− 32(x−50)2+1250 3，
∴矩形PQMN面积的最大值是1250 3m2，
∵DH= 32OD=14 3m，
∴△OAD的面积=12OA⋅DH=12×50×14 3=350 3(m2)，
∵△OBC的面积= 34BC2= 34×1002=2500 3(m2)，
∴四边形ABCD的面积=△OBC的面积−△OAD的面积=2500 3−350 3=2150 3(m2)，
∴种植花卉的面积=2150 3−1250 3=900 3(m2)，
∴此时绿化改造所需费200×900 3+80×1250 3=280000 3(元)，
∴绿化改造所需费用至少为280000 3元．
(1)由相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得到答案；
(2)由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到矩形的面积关于x的二次函数关系，即可解决问题；
(3)由二次函数的性质求出矩形PQMN面积的最大值即可解决问题；
本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质，二次函数的性质及类比思想是解题的关键．
23.【答案】24 (6,4) 163
【解析】解：(1)∵球台EF与x轴距离为8，EF=3，
∴F(3,8)代入y=kx，解得k=24，
∴y=24x，
∵D到x轴的距离为4米，
∴当y=4时，x=6，
∴点D(6,4)，将点D(6,4)代入y=−x2+bx+8，解得b=163，
故答案为：24，(6,4)，163．
(2)解：①∵抛物线顶点(10,5)，设抛物线解析式为y=a(x−10)2+5，把D(6,4)代入，解得a=−116，
∴G的表达式为y=−116(x−10)2+5，即y=−116x2+54x−54，
∵点A在反比例函数y=24x，且AB=1.5米，
∴点A的坐标为(16,1.5)，当x=16时，y=2.75>1.5，
∴G与滑道FA不相交，
∴小球不能落在滑道FA上．
②当x=16时，y(16)≥d；当x=18时，y(18)≤d，
即−116×162+54×16−54≥d−116×182+54×18−54≤d，解得1≤d≤2.75，
∴d的取值范围是1≤d≤2.75．
(3)解：一号球的轨迹为y1=−x2+163x+8，向上平移到经过M(0,m)得二号球轨迹，
∴二号球抛物线表达式为y1=−x2+163x+m，且y2−y1>6，
当x=4时，y2−y1>6，即−42+163×4+m−(−42+163×4+8)>6，解得m>14，
∴m的取值范围是m>14．
(1)球台到x轴的距离为8米，EF=3米，可知点F的坐标，弯道FA：y=kx与球台交于点F，可求出反比例函数解析式，D到x轴的距离为4米，且在反比例函数图象上，可求出点D的坐标，把点D代入二次函数即可求解；
(2)①G的最高点坐标为P(10,5)，根据二次函数的顶点式设二次函数的解析式，把点D代入二次函数，即可求解G的解析式，再计算G与x轴的交点，根据AB=1.5米，计算出点A的坐标，两者进行比较即可；②在x轴上有托盘BC=2，小球恰好能被托盘接住，则托盘在G函数的图象上，由此即可求解；
(3)根据题意求出一号球的轨迹函数，向上平移到经过M(0,m)得二号球轨迹，可求出二号球的轨迹函数，当x=4时，y2−y1>6，由此即可求解．
本题主要考查二次函数，反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法是解题的关键．
2022-2023学年湖北省襄阳市南漳县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是( )
A. sinB=23 B. cosB=23 C. tanB=23 D. tanB=−2 1313
2. 由一些完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数最少和最多分别是( )
A. 5，10 B. 6，10 C. 6，9 D. 5，9
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则cosA的值是( )
A. 32 B. 12 C. 2 55 D. 55
4. 小明在星期天上午8：30测得某树的影长为9m，下午13：00他又测得该树的影长为4m(如图所示)，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为( )
A. 8m B. 6m C. 4.5m D. 4m
5. 在平面直角坐标系中，A(2,n−1)是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点，已知点B(2,n)，点C(n−1,n)，连接BC，则下列说法正确的是( )
A. n的值可能为1
B. 点C不可能在反比例函数 y=kx的图象上
C. 在反比例函数 y=kx的图象的一个分支上，可能存在y随x的增大而增大
D. 直线BC与反比例函数y=kx的图象必有一个交点
6. 如图，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)经过△ABO边AB的中点C，与边AO交于点D，且OD=2AD，连接OC，若△AOC的面积为78，则k=( )
A. 74
B. 2
C. 94
D. 52
7. 如图，⊙O直径AB，DC⊥平分OA，AB延长线上一点E，DE交圆O于F，且EF=OA.弦DH交OC于G，满足GD2=GO×GE，S△DHF−S△DCE=2 3，AC长为( )
A. 3 B. 43 3 C. 2 D. 2 3
8. 如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF=EC；②CF2=CG⋅CA；③BE⋅DH=16；④若BF=1，则DE=32 2，正确的是( )
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
9. 如图，点A是反比例函数y=kx(x>0)图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8.若点P(a,4)也在此函数的图象上，则a的值是( )
A. 2
B. −2
C. 4
D. −4
10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA=45°；③AP−BP= 2OP；④若BE：CF=2，3，则tan∠CAE=47；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14.其中正确的结论是( )
A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，DE= 13，则AF的长为______ ．
12. 如图，矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E.若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD=34，则k的值为 ．
13. 如图，已知函数y=kx(k≠0)经过点A(2,3)，延长AO交双曲线另一分支于点C，过点A作直线AB交y轴正半轴于点D，交x轴负半轴于点E，交双曲线另一分支于点B，且DE=2AD.则△ABC的面积 ．
14. 如图，正方形ABCD由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形A′B′C′D′，△AEF(E、F是小正方形的顶点)同时形变为△A′E′F′.当△AEF与△A′E′F′的面积之比等于2： 3时，则A′C′= ．
15. 如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示，其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转.压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，PG⊥BC，DF=8厘米，不使用时，EF//AB，G是PF中点，tan∠PMG=34，且点D在NM的延长线上，则GF的长为______ 厘米；使用时如图3，按压MN使得MN//AB，此时点F落在AB上，若CD=2厘米，则压杆MN到底座AB的距离为______ 厘米．
三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
数学社团的同学运用自己所学的知识进行区间测速，他们将观测点设在距金水大道50米的点P处，如图所示，直线l表示金水大道.这时一辆小汽车由金水大道上的A处向B处匀速行驶，用时2秒.经测量点A在点P的南偏西30°方向上，点B在点P的南偏西53°方向上．
(1)求A、B之间的路程(精确到0.1米)；
(2)请判断此车是否超过了金水大道60千米/时的限制A速度？(参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3≈1.732)
17. (本小题8.0分)
°°°如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN//AB，小明在A处测得点B处小树的顶端C的仰角为14°，已知小树的高为1.75米．
(1)求直径AB的长；
(2)如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度MN约为多少米.(结果精确到0.1米，参考数据：tan76°=4， 6=2.4)
18. (本小题8.0分)
如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，∠PCB=∠BDC．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求证：PE2=PB⋅PA．
19. (本小题8.0分)
如图，曲线y1=k1x(x>0)与直线y2=k2x+b交于A(1,3)，B(m,1)两点．
(1)求曲线y1=k1x(x>0)和直线y2=k2x+b的解析式；
(2)根据第一象限图象观察，当y1
20. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与函数y=kx(x>0)的图象交于点A(1,m)，与x轴x交于点B．
(1)求m，k的值；
(2)过动点P(0,n)(n>0)作平行于x轴的直线，交函数y=kx(x>0)的图象于点C，交直线y=x+3于点D．
①当n=2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
21. (本小题9.0分)
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D，交AB于点E，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AF=12，CF=3，求CD的长；
(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积．
22. (本小题9.0分)
问题探究：
(1)如图①，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE//BC，AD=13BD，则△ADE与△ABC的高之比为______ ；
(2)如图②，在△ABC中，BC=10，S△ABC=50，矩形DEFG的顶点D，E分别在边AB、AC上，顶点F、G在边BC上，若设DG=x，求当x取何值时，矩形DEFG面积最大．
问题解决：
(3)某市进行绿化改造，美化生态环境.如图③，现有一块四边形的空地ABCD计划改造公园，经测量AB=50m，BC=100m，CD=72m，且∠B=∠C=60°，按设计要求，要在四边形公园ABCD内建造一个矩形活动场所PQMN，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉.已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？(结果保留根号)
23. (本小题10.0分)
如图，有一个人站在球台EF(水平)上去打高尔夫球，球台到x轴的距离为8米，与y轴相交于点E，弯道FA：y=kx与球台交于点F，且EF=3米，弯道末端AB垂直x轴于B，且AB=1.5米，从点E处飞出的红色高尔夫球沿抛物线L：y=−x2+bx+8运动，落在弯道FA的D处，且D到x轴的距离为4米；
(1)k的值为______ ；点D的坐标为______ ；b= ______ ；
(2)红色球落在D处后立即弹起，沿另外一条抛物线G运动，若G的最高点坐标为P(10,5)．
①求G的解析式，并说明小球能否落在弯道FA上？
②在x轴上有托盘BC=2，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为d，则d的取值范围是什么？
(3)若在红色球从E处飞出的同时，一黄色球从点E的正上方M(0,m)飞出，它所运行轨迹与抛物线L形状相同，且黄色球始终在红色球的正上方，当红色球到y轴的距离为4米，且黄球位于红球正上方超过6米的位置时，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，
∴AB= 22+32= 13，
∴sinB=ACAB=2 13=2 1313，
cosB=BCAB=3 13=3 1313，
tanB=ACBC=23，
故选：C．
利用锐角三角函数定义判断即可．
此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共3行，且正方体在搭建过程中在底层必须能棱与棱一起，
所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列2个小正方体，第二列3个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：x=2+3=5(个)．
小正方体的个数最多的几何体为：第一列5个小正方体，第二列5个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最多为：y=5+5=10(个)．
故选：A．
由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少和最多的正方体的个数．
本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
3.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=2BC，
∴AC= AB2−BC2= (2BC)2−BC2= 3BC，
∴cosA=ACAB= 3BC2BC= 32．
故选：A．
先利用勾股定理得到AC= 3BC，然后根据余弦的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解锐角的余弦的定义是解决问题的关键．也考查了勾股定理．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4，FD=9，
∵∠ECD+∠FCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，
∴∠CED=∠FCD，
又∵∠EDC=∠FDC=90°，
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴EDEC=DCFD；
即DC2=ED⋅FD，
代入数据可得DC2=36，
解得DC=6．
故选：B．
根据题意，画出示意图，易得Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EDEC=DCFD；即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
5.【答案】C
【解析】解：∵A(2,n−1)是上一点，
∴n−1≠0，
∴n≠1，
故A选项不符合题意，
∵点A(2,n−1)是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点，
∴k=2(n−1)，且n−1≠0，
当点C在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上时，可得(n−1)n=2(n−1)，
∵n−1≠0，
∴n=2，
∴k=2×(2−1)=2，点C的坐标为(1,2)，
∴点C可能在反比例函数 y=kx的图象上，
故B选项不符合题意；
当n−1<0时，k<0，
在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上的一个分支上，y随x的增大而增大，
故C选项符合题意；
当n=0时，直线BC在x轴上，
∴直线BC与反比例函数y=kx(k≠0)的图象没有交点，
故D选项不符合题意；
故选：C．
根据反比例函数的图象与性质即可进行判断．
本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：过D作DM⊥x轴于M，过A作AN⊥x轴于N，如图：
设D(x,kx)，
∵DM⊥x轴，AN⊥x轴，
∴DM//AN，
∴△DOM∽△AON，
∵OD=2AD，
∴OD：OA=2：3，
∴A(3x2,3k2x)，
∵C是AB的中点，
∴点C的纵坐标为12×3k2x=3k4x，
∵点C在反比例函数y=kx图象上，
∴点C的横坐标为k3k4x=4x3，
∴点B的横坐标为4x3×2−3x2=7x6，
∵△AOC的面积为78，OC是△AOB的中线，
∴△BOC的面积为78，
∴12×7x6×3k4x=78，
解得k=2，
故选：B．
过D作DM⊥x轴于M，过A作AN⊥x轴于N，设D(x,kx)，根据OD=2AD，可得A(3x2,3k2x)，又C是AB的中点，故点C的纵坐标为12×3k2x=3k4x，可知点C的横坐标为k3k4x=4x3，从而点B的横坐标为4x3×2−3x2=7x6，根据△AOC的面积为78，OC是△AOB的中线，可列出12×7x6×3k4x=78，即可解得答案．
本题考查反比例函数的应用，涉及三角形面积，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
7.【答案】C
【解析】解：连接AD，OD，OH，OF，过点O作OM⊥HF于点M，如图，
∵DC⊥平分OA，
∴AD=OD，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠A=∠AOD=60°．
设AC=x，则OC=x，OD=OH=OF=OA=EF=2x，
∴CD= 3x.
∵GD2=GO×GE，
∴GOGD=GDGE，
∵∠DGO=∠EGD，
∴△GDO∽△GED，
∴∠ODG=∠E，∠GOD=∠GDE=60°．
∴∠HOF=2∠HDF=120°．
∵OH=OF，OM⊥HF，
∴∠HOM=12∠HOF=60°，
∴OM=12OH=x，HM= 3x.
∴HF=2HM=2 3x．
∵OA=EF，OF=OA，
∴OF=EF，
∴∠FOE=∠E，
∴∠E=∠FOE=∠ODH．
∵OD=OH，
∴∠ODH=∠OHD，
∴∠∠OHD=∠E=∠FOE．
在△ODH和△FOE中，
∠ODH=∠FOE∠OHD=∠EOD=OF，
∴△ODH≌△FOE(AAS)，
∴S△ODH=S△FOE．
∵S△DHF=S△DOH+S△ODF+S△OHF，S△DCE=S△FOE+S△ODF+S△OCD，
∴S△DHF−S△DCE=S△OHF−S△ODC．
∵S△DHF−S△DCE=2 3，
∴S△OHF−S△ODC=2 3．
∴12×HF⋅OM−12×OC⋅CD=2 3．
∴12×2 3x⋅x−12×x⋅ 3x=2 3，
∵x>0，
∴x=2．
∴AC=2．
故选：C．
连接AD，OD，OH，OF，过点O作OM⊥HF于点M，利用线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定得到△OAD为等边三角形，设AC=x，则OC=x，OD=OH=OF=OA=EF=2x，利用相似三角形的判定得到△GDO∽△GED，进而得到∠ODG=∠E，∠GOD=∠GDE=60°；利用圆周角定理得到∠HOM=12∠HOF=60°，利用等腰三角形的性质得到OM=12OH=x，HM= 3x，HF=2HM=2 3x；利用全等三角形的判定与性质得到S△ODH=S△FOE，从而S△DHF−S△DCE=S△OHF−S△ODC=2 3，最后利用三角形的面积公式得到关于x的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=∠BAC=∠DAC=45°，
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=EC，∠DAE=∠DCE，
∴∠EAF=∠BCE，
∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE=360°，
∴∠BCE+∠EFB=180°，
又∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠AFE=∠BCE=∠EAF，
∴AE=EF，
∴EF=EC，故①正确；
∵EF=EC，∠FEC=90°，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴∠FAC=∠EFC=45°，
又∵∠ACF=∠FCG，
∴△FCG∽△ACF，
∴CFCG=CACF，
∴CF2=CG⋅CA，故②正确；
∵∠ECH=∠CDB，∠EHC=∠DHC，
∴△ECH∽△CDH，
∴CHDH=ECCD，
∴CHEC=DHCD，
∵∠ECH=∠DBC，∠BEC=∠CEH，
∴△ECH∽△EBC，
∴CHBC=ECBE，
∴CHEC=BCBE，
∴DHCD=BCBE，
∴BC⋅CD=DH⋅BE=16，故③正确；
∵BF=1，AB=4，
∴AF=3，AC=4 2，
∵∠ECF=∠ACD=45°，
∴∠ACF=∠DCE，
又∵∠FAC=∠CDE=45°，
∴△AFC∽△DEC，
∴AFDE=ACCD，
∴3DE= 2，
∴DE=3 22，故④正确，
故选：D．
①由“SAS”可证△ADE≌△CDE，可得AE=EC，∠DAE=∠DCE，由四边形的内角和定理可证∠AFE=∠BCE=∠EAF，可得AE=EF=EC；
②通过证明△FCG∽△ACF，可得CF2=CG⋅CA；
③通过证明△ECH∽△CDH，可得CHEC=DHCD，通过证明△ECH∽△EBC，可得CHEC=BCBE，可得结论；
④通过证明△AFC∽△DEC，可得AFDE=ACCD，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB垂直于x轴，△OAB的面积为8，k>0，
∴k=2×8=16，
∴y=16x，
∵点P(a,4)也在此函数的图象上，
∴4=16a，
∴a=4，
故选：C．
根据k的几何含义可得k的值，从而得出反比例函数的解析式，进而把点P的坐标代入，从而得出a的值．
本题考查了反比例函数的“k“的几何函数，点和函数图象的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
10.【答案】B
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，AC⊥BD，∠ABD=∠DBC=∠ACD=45°．
∴∠BOE+∠EOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC=90°．
∴∠BOE=∠COF．
在△BOE和△COF中，
∠OBE=∠OCF=45°OB=OC∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴BE=CF．
在△BAE和△CBF中，
AB=BC∠ABC=∠BCF=90°BE=CF，
∴△BAE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF=90°，
∴∠ABP+∠BAE=90°，
∴∠APB=90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB=90°，∠AOB=90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO=∠ABO=45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO=45°，OH⊥OP，
∴OH=OP= 22HP，
∴HP= 2OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB=90°．
∴∠AOH=∠BOP．
∵∠OAH+BAE=45°，∠OBP+∠CBF=45°，∠BAE=∠CBF，
∴∠OAH=∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
∠OAH=∠OBPOA=OB∠AOH=∠BOP，
∴△AOH≌△BOP(ASA)，
∴AH=BP．
∴AP−BP=AP−AH=HP= 2OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE=2：3，
∴设BE=2x，则CE=3x，
∴AB=BC=5x，
∴AE= AB2+BE2= 29x.
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB=45°，
∴EG=GC= 22EC=3 22x，
∴AG= AE2−GE2=7 22x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE=EGAG，
∴tan∠CAE==3 22x7 22x=37．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA(SAS)．
∴S△OBC=14S正方形ABCD．
∴S△BOE+S△OEC=14S正方形ABCD．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE=S△OFC，
∴S△OEC+S△OFC=14S正方形ABCD．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故选：B．
利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
11.【答案】53
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=4，
∴AB=CD=4，AB//CD，∠ADC=∠DAB=90°，
∵E是边AB的中点，
∴AE=BE=12AB=2，
在Rt△DAE中，DE= 13，AE=2，
∴AD= DE2−AE2= ( 13)2−22=3，
在Rt△ADC中，AD=3，CD=4，
∴AC= AD2+CD2= 32+42=5，
∵AB//CD，
∴∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，
∴△AEF∽△CDF，
∴AFCD=AECD=12，
∴AFAC=13，
∴AF=13AC=53．
故答案为：53．
根据题意和矩形的性质可得AB=CD=4，AB//CD，∠ADC=∠DAB=90°，AE=2，根据勾股定理求得AD=3，AC=5，易证△AEF∽△CDF，则AFCD=AECD=12，AFAC=13，以此即可求解．
本题主要考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
12.【答案】3
【解析】解：∵tan∠AOD=ADOA=34，
∴设AD=3a、OA=4a，
则BC=AD=3a，点D坐标为(4a,3a)，
∵CE=2BE，
∴BE=13BC=a，
∵AB=4，
∴点E(4+4a,a)，
∵反比例函数y=kx经过点D、E，
∴k=12a2=(4+4a)a，
解得：a=12或a=0(舍)，
则k=12×14=3，
故答案为：3．
由tan∠AOD=ADOA=34可设AD=3a、OA=4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．
13.【答案】16
【解析】解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，连接OB，
则∠AFE=90°=∠DOE，
∴OD//AF，
∴△EDO∽△EAF，
∴ODAF=EDEA，
∵DE=2AD，
∴AE=3AD，
∵A(2,3)，
∴k=6，AF=3，
∴OD3=2AD3AD，
∴OD=2，
∴D(0,2)，
设直线AB的解析式为y=mx+n，则2m+n=3n=2，
解得：m=12n=2，
∴直线AB的解析式为y=12x+2，
与反比例函数y=6x联立，得12x+2=6x，
解得：x1=2，x2=−6，
∴点B的横坐标为−6，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=12×2×2+12×2×6=8，
∵延长AO交双曲线另一分支于点C，
∴点C与点A关于原点对称，即点O是AC的中点，
∴S△ABC=2S△AOB=2×8=16．
故答案为：16．
过点A作AF⊥x轴于点F，连接OB，可证得△EDO∽△EAF，求得OD=2，即D(0,2)，利用待定系数法可得直线AB的解析式为y=12x+2，与反比例函数y=6x联立，可求得点B的横坐标为−6，根据S△AOB=S△AOD+S△BOD，S△ABC=2S△AOB，即可求得答案．
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数y=kx中k的几何意义，相似三角形的判定和性质，中心对称的性质，三角形面积等，求出点D的坐标是解题的关键；本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
14.【答案】4 3
【解析】解：△AEF的面积=△AGE的面积+△FGE的面积=12GE⋅AB=12×2×4=4，
∵△AEF与△A′E′F′的面积之比等于2： 3，
∴△A′E′F′的面积=2 3，
△AEF变成菱形A′B′C′D′时的△A′E′F′，G′E′的长度没有变化，
A′B′的长度也没有变化，
过点B′作B′H⊥A′D′，垂足为H，
∴△A′E′F′面积=12G′E′⋅B′H=12×2×B′H=2 3，
∴B′H=2 3，
∵sin∠B′A′H=B′HA′B′=2 34= 32，
∴∠B′A′H=60°，
∴∠A′B′C′=120°，
又∵A′B′=B′C′=4，
∴A′C′= 3A′B′=4 3．
故答案为：4 3．
先求出△AEF的面积，再根据面积关系求出∠B′A′H=60°，得出A′C′= 3A′B′，即可得到答案．
本题考查了正方形的性质、菱形的性质、三角形面积的计算；关键是根据面积关系求出∠B′A′H．
15.【答案】3；3 152
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
延长NM，则NM过点D，根据tan∠PMG=34和DF=8厘米.可得GF的长；过点P作PK⊥AB于K，可得∠PFK=∠CDF，利用勾股定理可得CF的长，最后利用三角函数可得答案．
【解答】
解：如图2，延长NM，则NM过点D，
∵四边形EFGH是矩形，HG//EF，
∴∠PMG=∠PDF，
∴tan∠PDF=tan∠PMG=PFDF=34，
即PF8=34，
∴PF=6，
∵G是PF中点，
∴GF=3厘米，
如图3，过点P作PK⊥AB于K，
∴∠DFP=∠DCF=∠PKF=90°，
∴∠CDF+∠DFC=∠PFK+∠DFC=90°，
∴∠PFK=∠CDF，
在Rt△DCF中，CF= 82−22=2 15厘米，
∴sin∠CDF=sin∠PFK，
∴CFDF=PKPF，
即2 158=PK6，
∴PK=3 152厘米．
故答案为：3；3 152．
16.【答案】解：(1)过P作PC⊥BA于C，
在Rt△APC中，∵∠ACP=90°，∠PAC=30°，PC=50米，
∴AC= 3PC=50 3(米)，
在Rt△PBC中，∵∠PCB=90°，∠BPC=37°，PC=50米，
∴BC=PC⋅tan37°≈50×0.75=37.5(米)，
∴AB=AC−BC=50 3−37.5≈48.1(米)，
答：A、B之间的路程为48.1米；
(2)此车超过金水大道每小时60千米的限制速度，理由如下：
∵AB=48.1(米)，
∴此车的速度=48.12=24.05(米/秒)，
又60千米/小时=600003600=1006(米/秒)，
而24.05米/秒>1006米/秒，
∴此车超过中山路每小时60千米的限制速度．
【解析】(1)分别在Rt△APC，Rt△BCP中，求得AC、BC的长，从而求得AB的长．已知时间则可以根据路程公式求得其速度；
(2)将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．此时注意单位的换算．
此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是特殊角的三角函数值、锐角三角函数，注意时间之间的换算．
17.【答案】解：(1)∵小明在A处测得点B处小树的顶端C的仰角为14°，
∴∠CAB=14°，∠CBA=90°，
∴∠C=180°−∠CAB−∠CBA=76°，
∵tanC=ABBC，BC=1.75米，
∴tan76°=AB1.75，
∴AB=1.75⋅tan76°=7(米)，
答：直径AB的长为7米；
(2)过点O作OD⊥MN于D，并延长OD交⊙O于H，连接OM，如图：
∴MD=DN，DH=2.8米，
∵⊙O的直径为7米，
∴OM=OH=3.5米
∴OD=OH−DH=0.7米，
在Rt△ODM中，
MD= OM2−OD2= 3．52−0．72=1，4 6=1.4×2.4=3.36(米)，
∴MN=2MD=2×3.36=6.72≈6.7(米)．
答：水面的宽度MN约为6.7米．
【解析】(1)由∠CAB=14°，∠CBA=90°，得∠C=76°，利用锐角三角形的正切值即可求解；
(2)过点O作OH⊥MN，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，在Rt△ODM中，利用勾股定理即可求得MD的值，从而可求解．
本题考查解直角三角形及应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义、勾股定理并能应用．
18.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠BDC=∠CAB，∠PCB=∠BDC，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
(2)证明：∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴PC2=PB⋅PA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠CEB=∠CAB+45°，∠PCE=45°+∠PCB，
∴∠CEB=∠PCE，
∴PC=PE，
∴PE2=PB⋅PA．
【解析】(1)连接OC，根据∠ACB=90°，可证∠PCB+∠OCB=90°，则OC⊥PC，且OC是半径，即可证明；
(2)首先证明△PCB∽△PAC，得PC2=PB⋅PA，再由∠CEB=∠CAB+45°，∠PCE=45°+∠PCB，得∠CEB=∠PCE，则有PC=PE，从而证明结论．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】1
得：3=k11，
解得：k1=3，
∴曲线的解析式为y1=3x(x>0)，
把点B(m,1)代入y1=3x(x>0)得：1=3m，
解得：m=3，
∴B(3,1)，
把A(1,3)、B(3,1)代入y2=k2x+b得：3=k2+b1=3k2+b，
解得：k2=−1b=4，
∴直线的解析式为：y2=−x+4．
(2)由图可知：当y1
(2)根据图象即可进行解答．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，会根据图象和不等式求函数值的取值范围．
20.【答案】解：(1)∵直线y=x+3经过点A(1,m)，
∴m=1+3=4，
∵反比例函数y=kx的图象经过点A(1,4)，
∴k=1×4=4；
(2)①当n=2时，点P的坐标为(0,2)，
当y=2时，2=4x，解得x=2，
∴点C的坐标为(2,2)，
当y=2时，x+3=2，解得x=−1，
∴点D的坐标为(−1,2)，
∴CD=2−(−1)=3；
②当y=0时，x+3=0，解得x=−3，则B(−3,0)，
当y=n时，n=4x，解得x=4n，
∴点C的坐标为(4n,n)，
当y=n时，x+3=n，解得x=n−3，
∴点D的坐标为(n−3,n)，
当点C在点D的右侧时，
若CD=OB，即4n−(n−3)=3，解得n1=2，n2=−2(舍去)，
∴当0
若CD=OB，即n−3−4n=3，解得n1=3+ 13，n2=3− 13(舍去)，
∴当n≥3+ 13时，CD≥OB，
综上所述，n的取值范围为0
(2)①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；
②先确定(−3,0)，由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C(4n,n)，D(n−3,n)，讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD=OB得到4n−(n−3)=3，解得n1=2，n2=−2(舍去)，再结合图象可判断当0
21.【答案】(1)证明：直线BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD//AC，
∵∠ACB=90°，
∵∠ODB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：∵AE是⊙O直径，
∴∠ADE=90°，
∴AD⊥EF，
∵AD平分∠BAC，AE=12，
∴AE=AF=12，
∵CF=3，
∴AC=9，
在Rt△ADF中，∠ACD=90°，
∴∠FDC+∠ADC=∠CAD+∠ADC，
∴∠FDC=∠CAD，
∵∠DCF=∠ACD=90°，
∴△DCF∽△ACD，
∴CDAC=CFCD，
∴CD2=AC⋅CF，
∴CD=3 3；
(3)解：∵OD⊥BC，∠B=30°，OD=12AE=6，
∴BD=6 3，
∴S△BOD=12×6×6 3=18 3，
∵∠BAD=30°，
∴∠BOD=60°，
∴S扇形EOD=60π×62360=6π，
∴S阴影=18 3−6π．
【解析】(1)连接OD，根据角平分线的定义得出∠BAD=∠CAD，由等边对等角得出∠BAD=∠ODA，即可得出∠ODA=∠CAD，进而判定OD//AC，根据平行线的性质得到∠ODB=90°，即OD⊥BC，即可得解；
(2)由AE是⊙O直径得出AD⊥EF，进而得到AE=AF=12，AC=9，根据两角相等的两个三角形相似得到△DCF∽△ACD，即可得出CD2=AC⋅CF，求出CD，在根据锐角三角函数定义求出∠CAD=30°，即得∠B=30°，再根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半得出AB=18，即可根据求解BE；
(3)根据阴影部分面积等于△BOD的面积减去扇形EOD的面积求解即可．
本题考查了切线的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记相关的定理及证明直线BC与⊙O相切是解题的关键．
22.【答案】14
【解析】解：(1)∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD=13BD，
∴AD：AB=1：4，
∴△ADE和△ABC的相似比是14，
∴△ADE与△ABC的高之比等于相似比是14．
故答案为：14．
(2)作AN⊥BC于N，交DE于M，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AM：AN，
∵△ABC的面积=12BC⋅AN=50，BC=10，
∴AN=10，
∵DG=x，
∴MN=x，AM=10−x，
∴DE：10=(10−x)：10，
∴DE=10−x，
∴矩形DEFG的表面积=DE⋅DG=(10−x)⋅x=−(x−5)2+25，
∴当x=5时，矩形DEFG的面积最大；
(3)延长BA，CD交于O，作DH⊥AO于H，
当矩形PQMN的面积最大时，费用最小，
∵PQ//BC，
∴△OQP是等边三角形，
∴OA=OB−AB=100−50=50(m)，OD=OC−CD=100−72=28(m)，
令PQ=x m，则OQ=PQ=PO=x m，
∴BQ=(100−x)m，
∵sin∠B=QMBQ，
∴QM= 32(100−x)，
∴矩形PQMN的面积=PQ⋅MQ= 32(100−x)x=− 32(x−50)2+1250 3，
∴矩形PQMN面积的最大值是1250 3m2，
∵DH= 32OD=14 3m，
∴△OAD的面积=12OA⋅DH=12×50×14 3=350 3(m2)，
∵△OBC的面积= 34BC2= 34×1002=2500 3(m2)，
∴四边形ABCD的面积=△OBC的面积−△OAD的面积=2500 3−350 3=2150 3(m2)，
∴种植花卉的面积=2150 3−1250 3=900 3(m2)，
∴此时绿化改造所需费200×900 3+80×1250 3=280000 3(元)，
∴绿化改造所需费用至少为280000 3元．
(1)由相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得到答案；
(2)由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到矩形的面积关于x的二次函数关系，即可解决问题；
(3)由二次函数的性质求出矩形PQMN面积的最大值即可解决问题；
本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质，二次函数的性质及类比思想是解题的关键．
23.【答案】24 (6,4) 163
【解析】解：(1)∵球台EF与x轴距离为8，EF=3，
∴F(3,8)代入y=kx，解得k=24，
∴y=24x，
∵D到x轴的距离为4米，
∴当y=4时，x=6，
∴点D(6,4)，将点D(6,4)代入y=−x2+bx+8，解得b=163，
故答案为：24，(6,4)，163．
(2)解：①∵抛物线顶点(10,5)，设抛物线解析式为y=a(x−10)2+5，把D(6,4)代入，解得a=−116，
∴G的表达式为y=−116(x−10)2+5，即y=−116x2+54x−54，
∵点A在反比例函数y=24x，且AB=1.5米，
∴点A的坐标为(16,1.5)，当x=16时，y=2.75>1.5，
∴G与滑道FA不相交，
∴小球不能落在滑道FA上．
②当x=16时，y(16)≥d；当x=18时，y(18)≤d，
即−116×162+54×16−54≥d−116×182+54×18−54≤d，解得1≤d≤2.75，
∴d的取值范围是1≤d≤2.75．
(3)解：一号球的轨迹为y1=−x2+163x+8，向上平移到经过M(0,m)得二号球轨迹，
∴二号球抛物线表达式为y1=−x2+163x+m，且y2−y1>6，
当x=4时，y2−y1>6，即−42+163×4+m−(−42+163×4+8)>6，解得m>14，
∴m的取值范围是m>14．
(1)球台到x轴的距离为8米，EF=3米，可知点F的坐标，弯道FA：y=kx与球台交于点F，可求出反比例函数解析式，D到x轴的距离为4米，且在反比例函数图象上，可求出点D的坐标，把点D代入二次函数即可求解；
(2)①G的最高点坐标为P(10,5)，根据二次函数的顶点式设二次函数的解析式，把点D代入二次函数，即可求解G的解析式，再计算G与x轴的交点，根据AB=1.5米，计算出点A的坐标，两者进行比较即可；②在x轴上有托盘BC=2，小球恰好能被托盘接住，则托盘在G函数的图象上，由此即可求解；
(3)根据题意求出一号球的轨迹函数，向上平移到经过M(0,m)得二号球轨迹，可求出二号球的轨迹函数，当x=4时，y2−y1>6，由此即可求解．
本题主要考查二次函数，反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法是解题的关键．
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