2023金陵中学、海安中学、南京外国语学校高三下学期5月第三次模拟考试数学含解析

南京市金陵中学、江苏省海安中学、南京外国语学校

2023届高三年级第三次模拟考试

                      数   学                   2023年5月

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足z(1＋i)＝5＋i，则复数z在复平面内所对应的点位于(    )

A．第一象限        B．第二象限         C．第三象限         D．第四象限

2．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数．这个函数的图象大致为(    )

3．已知非零向量a，b满足b＝(，1)，<a，b>＝，若(a－b)⊥a，则向量a在向量b方向上的投影向量为(    )

A．b              B．b               C．b             D．b

4．已知集合U＝{1，2，3，4}，若A，B均为U的非空子集且A∩B＝，则满足条件的有序集合对(A，B)的个数为(    )

A．16                B．31                C．50                D．81

5．已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是8，8，8，10，11，16，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为(    )

A．12                B．20                C．25                D．27

6．约翰·开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比2：1恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢?经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面．在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型．根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为(    )

A．              B．3              C．3              D．9

7．有一直角转弯的走廊(两侧与顶部部封闭)，已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为3米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊．设可通过的最大极限长度为l米(不计硬管粗细)．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为m＝0.9l米，则m的值是(    )全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》

A．7.2              B．              C．              D．9

8．已知函数f(x)的导函数f′(x)满足：f′(x)－f(x)＝e2x，且f(0)＝2．若函数g(x)＝ef(x)＋e＋(a－1)sin(x＋)有且只有一个零点，则实数a的值为(    )

A．－e              B．－2e              C．e                  D．2e

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知m，n，l为空间中三条不同的直线，α，β，γ，δ为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的有(    )

A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n

B．已知α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∩m＝P，则P∈n

C．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ

D．若α⊥β，γ⊥α，δ⊥β，则γ⊥δ

10．记A．B为随机事件，下列说法正确的是(    )

A．若事件A，B互斥，P(A)＝，P(B)＝，则P(∪B)＝

B．若事件A，B相互独立，P(A)＝，P(B)＝，则P(A∪B)＝

C．若P(A)＝，P(|B)＝，P(|)＝，则P(B)＝

D．若P(A)＝，P(|B)＝，P(|)＝，则P(B|A)＝

11．已知双曲线x2－＝1，直线l：y＝kx＋m(k≠±2)与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x0，0)，B(0，y0)两点．当点M变化时，点P(x0，y0)之变化．则下列结论中正确的是(    )

A．k2＝m2＋4    B．y0＝x0    C．P点坐标可以是(7，)   D．－有最大值

12．三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利．有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是(    )

A．sin3＞sin1cos1    B．tan1＞    C．ln(cos1)＜sin(cos2)     D．(sin)＜

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设随机变量X~H(3，2，10)，则P(X＝1)＝   ▲   ．

14．(x4＋y2＋)7展开式中的常数项为   ▲   ．

15．已知抛物线C1：y2＝16x，圆C2：(x－4)2＋y2＝1，点M的坐标为(8，0)，P、Q分别为C1、C2上的动点，且满足|PM|＝|PQ|，则点P的横坐标的取值范围是   ▲   ．

16．已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(k∈N*)，当a＝1时，a10＝   ▲   ；若数列{an}的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a的值为   ▲   ．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)

已知a＝(sinωx，cosωx)，b＝(cosωx，cosωx)，其中ω＞0，函数f(x)＝a·(b－a)的最小正周期为π

(1)求函数f(x)的单调递增区间：

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足f()＝，求的取值范围．

18．(本小题满分12分)

已知正项数列{an}满足a1＝1，an＋12－an2＝8n．

(1)求{an}的通项公式；

(2)记bn＝ansin(π)，求数列{bn}的前2023项的和．

19．(本小题满分12分)

如图，圆锥DO中，AE为底面圆O的直径，AE＝AD，△ABC为底面圆O的内接正三角形，四锥的高DO＝18，点P为线段DO上一个动点．

(1)当PO＝3时，证明：PA⊥平面PBC；

(2)当P点在什么位置时，直线PE和平面PBC所成角的正弦值最大．

20．(本小题满分12分)

一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字0~9，先后从袋中随机取两只小球．用事件A表示“第二次取出小球的标号是2”，事件B表示“两次取出小球的标号之和是m”．

(1)若用不放回的方式取球，求P(A)；

(2)若用有放回的方式取球，求证：事件A与事件B相互独立的充要条件是m＝9．

21．(本小题满分12分)

已知椭圆E：，椭圆上有四个动点A，B，C，D，CD∥AB，AD与BC相交于P点．如图所示．

(1)当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定值?若为定值，请求出该定值：否则，请说明理由；

(2)若点P的坐标为(8，6)，求直线AB的斜率．

22．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝xlnx－ax2，g(x)＝－x＋a(a∈R)．

(1)若y＝x与f(x)的图象恰好相切，求实数a的值；

(2)设函数F(x)＝f(x)＋g(x)的两个不同极值点分别为x1，x2(x1＜x2)．

(i)求实数a的取值范围：

(ii)若不等式e＜x1x2λ恒成立，求正数λ的取值范围(e＝2.71828…为自然对数的底数)．