2022-2023学年江苏省连云港市赣榆实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省连云港市赣榆实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  据交通运输部统计，受肺炎疫情影响，今年春运月日月日，全国共发送旅客亿人次，日均万人次，同比分别下降，将万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运，甲搬运所用的时间与乙搬运所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少货物设甲每小时搬运货物，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若，化简的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  放在正方形网格纸的位置如图，则的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为，则的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是(    )

A. 或 B.
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  分解因式：______．

10.  函数的自变量的取值范围是______．

11.  圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为______度．

12.  已知一组数据：、、、、的平均数为，则这组数据的中位数是______ ．

13.  若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是          ．

14.  如图，在中，为上一点，，则：的值为            ．

15.  如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则阴影部分的面积为______．

16.  如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，设的中点为，当点从点出发，沿边运动到点时停止运动，点的运动路径长为______．

 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级班学生即将所穿校服型号情况进行摸底调查，并根据调查结果绘制如图两个不完整的统计图校服型号以身高作为标准，共分为种号．

根据以上信息，解答下列问题：
该班共有多少名学生？
在条形统计图中，请把空缺部分补充完整；在扇形统计图中，请计算型校服所对应的扇形圆心角的大小；
求该班学生所穿校服型号的众数和中位数．如果该高中学校准备招收名高一新生，则估计需要准备多少套型号的校服？

21.  本小题分
随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：洗手监督岗，戴口罩监督岗，就餐监督岗，操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为______；
用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．

22.  本小题分
方程是关于的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，．
求的取值范围；
若，求的值．

23.  本小题分
如图，是的直径，为上一点，连接，于点，是直径延长线上一点，且．

求证：是的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
某居民小区有一朝向为正南方的居民楼，如图，该居民楼一楼是高的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面处要盖一高的新楼，当冬季正午时，阳光与地平面夹角为问冬季正午时：
超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？
若要使超市采光不受影响，两楼至少应相距多少米？结果保留整数

25.  本小题分
因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是两车离甲地的路程与时间的函数图象如图．
求出的值；
求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式；
问轿车比货车早多少时间到达乙地？

26.  本小题分
如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．
写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；
若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；
为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点与点的坐标分别是，．
对于坐标平面内的一点，给出如下定义：如果，则称点为线段的“等角点”显然，线段的“等角点”有无数个，且、、三点共圆．
设、、三点所在圆的圆心为，直接写出点的坐标和的半径；
轴正半轴上是否有线段的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；
当点在轴正半轴上运动时，是否有最大值？如果有，说明此时最大的理由，并求出点的坐标；如果没有请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，正确记忆相反数的含义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、与不是同类项，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：设甲每小时搬运千克，则乙每小时搬运千克，
由题意得：，
故选：．
设甲每小时搬运千克，则乙每小时搬运千克，根据甲搬运所用时间与乙搬运所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答时根据甲搬运所用时间与乙搬运所用时间相等建立方程是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，



．
故选：．
由题意可得，再利用二次根式的化简的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明．
连接，再利用勾股定理分别计算出、、的长，然后再根据勾股定理逆定理证明，再利用三角函数定义可得答案．
【解答】
解：连接，如图：

，，，
，
，
，
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

轴于点，是线段的中点，
，
而，
，
而，
．
故选：．
连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数系数的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质确定的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，二次函数图象与系数的关系，及二次函数图象上点的坐标特征，有一定难度．
根据点，的坐标分别为，，可求解直线的解析式，联立方程组可得，根据抛物线与线段有两个不同的交点，可知，求得，分和两种情况计算可求解．
【解答】

解：抛物线恒过点，且对称轴为直线．

点，的坐标分别为，，
由待定系数法易得直线的解析式为，
联立方程组消去，可得，
根据抛物线与线段有两个不同的交点，得，
．
分情况讨论：

当时，若抛物线与线段有两个交点，

此时，
则时，，

当时，若抛物线与线段有两个交点，

此时，
则当时，，
即，
即．
综上所述，或．
故选A．

9.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：
本题首先提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意知：弧长圆锥底面周长，
扇形的圆心角弧长母线长．
故答案为：．
根据弧长圆锥底面周长，圆心角弧长母线长计算．
本题考查的知识点为：弧长圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：这组数据的平均数为，
则，
解得：，
将这组数据从小到大重新排列为：，，，，，
观察数据可知最中间的数是，
则中位数是．
故答案为：．
根据平均数的定义先算出的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
本题考查了平均数和中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于的不等式组是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组，解之可得答案．
【解答】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组有个整数解，
不等式组的整数解为、，
则，
解得，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：，
．
，
∽，
，
．
故答案为：．
根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明出∽，再根据相似三角形的对应边成比例，变形即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明出∽．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，直角三角形中度角等知识点，能求出扇形的面积和的面积是解此题的关键．连接半径和弦，根据直径所对的圆周角是直角得：，可得和的长，所以图中弓形的面积为扇形的面积与面积的差，因为，所以的面积是面积的一半，可得结论．
【解答】
解：连接、，
是的直径，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
如图，连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理证明定值，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角为，即可解决问题．
本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图，连接，取的中点，连接，．

四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角为，
点的运动路径长
故答案为  

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
由得，，
由得，，
原不等式组的解集为：． 

【解析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组，不等式的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
 

19.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
 

20.【答案】解：名，
即该班共有名学生；
穿型校服的学生有名，
型的学生有：名，
补充完整的条形统计图如右图所示，
型校服所对应的扇形圆心角的度数是：；
由统计图可知，
该班学生所穿校服型号的众数是和，中位数，
套
答：需要准备套型号的校服． 

【解析】根据型号的额人数和所占的百分比，可以求得该班共有多少名学生；
根据中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出型号和型号的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整，再根据统计图中的数据，可以计算出型校服所对应的扇形圆心角的大小；
根据统计图中的数据，可以写出众数和中位数，并计算出需要准备多少套型号的校服．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】；
解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 

【解析】

解：李老师被分配到“洗手监督岗”的概率；
故答案为：；
见答案．

【分析】
本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
直接利用概率公式计算；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．  

22.【答案】解：根据题意得，
解得；
根据题意得，，
，
，
． 

【解析】根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可；
根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
 

23.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：，
，
设，，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，根据圆周角定理得到，根据余角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，求得，于是得到结论；
设，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，设米，

则米，
，
解得：，
，
居民住房的采光受影响；

如图，

当，
，
解得：米．
故要使超市采光不受影响，两楼应至少相距米． 

【解析】利用三角函数算出阳光可能照到居民楼的什么高度和米进行比较．
超市不受影响，说明的阳光应照射到楼的底部，根据新楼的高度和的正切值即可计算．
本题考查了解直角三角形的应用，需注意直角三角形的构造是常用的辅助线方法．
 

25.【答案】解：货车的速度是，
；
由图象可得点，，
设直线的表达式为，把，代人得：
，
解得，
；
由图象可得货车走完全程需要，
货车到达乙地需，
，，
解得，
两车相差时间为，
货车还需要才能到达，
即轿车比货车早到达乙地． 

【解析】根据路程、时间、速度三者之间的关系即可解决问题；
设直线的表达式为，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可解决问题；
根据时间路程速度分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可解决问题．
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求函数解析式，路程、时间、速度三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键．
 

26.【答案】解：当时，，
，
当时，，
，
，，
，，
设图象的解析式为：，
把代入得：，
，
，
图象位于线段上方部分对应的函数关系式为：；
由图象得直线与图象有三个交点时，存在两种情况：
当直线过点时，与图象有三个交点，此时；
当直线与图象位于线段上方部分对应的函数图象相切时，如图，

，
，
，
，
综上，的值是或；
，，
是等腰直角三角形，
如图，，∽，

轴，
；
如图，，∽，

当时，，
，
，舍去，
；
如图，当时，∽，

的解析式为：，
，
，舍，
，
综上，点的坐标为或或． 

【解析】令和翻折的性质可得，令可得点、的坐标，利用待定系数法即可求出图象的解析式；
利用数形结合找出当经过点或者与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点，当直线经过点时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值；当与相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式，即可求出值．综上即可得出结论；
先确定是等腰直角三角形，分三种情况：或，分别画图可得结论．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：根据翻折的性质，利用待定系数法求出抛物线的解析式；利用数形结合找出直线与新图象恰好有三个不同的交点的情况；分三种情况利用二次函数图象上点的坐标特征，正确画图是关键．
 

27.【答案】解：如图中，

在轴的上方，作以为斜边的直角三角形，易知、、三点在上，
圆心的坐标为，半径为，
根据对称性可知点也满足条件．

轴的正半轴上存在线段的“等角点“．
如图所示：当圆心为时，过点作轴于，则，

的半径，
与轴相交，
设交点为、，此时、在轴的正半轴上
连接、、，则
轴，，，
，
 

当过点，的圆与轴正半轴相切于点时，最大．
理由如下：如果点在轴的正半轴上，设此时圆心为，则在第一象限，
在轴的正半轴上任取一点不与点重合，
连接，，，，设交于于点，连接，

点，点在上，，
是的外角，
，即，
此时，过点作轴于，连接，，则，，
与轴相切于点，则轴，
四边形是矩形，，．
的半径为，即，
在中，，
即  

【解析】如图中，在轴的上方，作以为斜边的直角三角形，易知、、三点在上，点即为所求，再根据对称性可知满足条件的所有点坐标．
轴的正半轴上存在线段的“等角点“如图所示：当圆心为时，过点作轴于，则，，设交点为、，此时、在轴的正半轴上连接、、，则轴，，，推出，由此即可解决问题；
当过点，的圆与轴正半轴相切于点时，最大．
本题考查圆综合题、圆周角定理、直线与圆位置关系、勾股定理、线段的“等角点”的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，所有中考压轴题．