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压轴题21以函数新定义为背景阅读材料压轴题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）
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2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题21以函数新定义为背景阅读材料压轴题
例1．（2023•义乌市校级模拟）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（13，13）是函数y＝x图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y=2x图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，-12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
例2．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x＝3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点A（0，1）．
（1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标 ；
（2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．若线段AB＝1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标yB的取值范围．
例3．（2022•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y=x+1(x≥0)-x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
1．（2023•信阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y=x+1(x≥0)-x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），关于直线x＝0的“镜面函数”图象上的两点 P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，直接写出t的取值范围 ．
2．（2022•零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是 ；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
3．（2022•长沙县校级三模）规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．
（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y=-6x互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；
（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC点”；
（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB=c2-2c+6c，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为-t，连接OP，AP，BP．若∠OPA＝∠OBP，求t的最小值．
4．（2022•顺德区校级三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．
（1）请直接写出函数y＝2﹣x的不动点M的坐标；
（2）若函数y=3x+8x+a有两个关于原点对称的不动点A，B，求a的值；
（3）已知函数y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1），若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a的取值范围．
5．（2022•长沙二模）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．
（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；
①其中有两内角分别为30°，60°的三角形 ；
②其中有两内角分别为50°，60°的三角形 ；
③其中有两内角分别为70°，100°的三角形 ；
（2）如图1，点A在双曲线y=kx（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．
①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；
②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ=1t-3，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
6．（2022•滨海县模拟）如图1，直线l：y＝kx+b（k＜0，b＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线．
（1）已知直线l1：y＝﹣3x+3，求直线l1的关联抛物线W1的表达式；
（2）若抛物线W2：y=-x2-x+2，求它的关联直线l2的表达式；
（3）如图2，若直线l3：y＝kx+4（k＜0），G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=102，求直线l3的关联抛物线W3的表达式；
（4）在（3）的条件下，将直线CD绕着C点旋转得到新的直线l4：y＝mx+n，若点P（x1，y1）与点Q（x2，y2）分别是抛物线W3与直线l4上的点，当0≤x≤2时，|y1﹣y2|≤4，请直接写出m的取值范围．
7．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．
（2）如图①，设函数y=-5x（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；
（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．
8．（2022•石家庄三模）抛物线L：y＝x2﹣2bx+c与直线a：y＝kx+2交于A、B两点，且A（2，0）．
（1）求k和c的值（用含b的代数式表示c）；
（2）当b＝0时，抛物线L与x轴的另一个交点为C．
①求△ABC的面积；
②当1≤x≤5时，则y的取值范围是 ．
（3）抛物线L：y＝x2﹣2bx+c的顶点M（b，n），求出n与b的函数关系式；当b为何值时，点M达到最高．
（4）在抛物线L和直线a所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当b＝﹣20时，直接写出“美点”的个数 ；若这些美点平均分布在直线y＝kx的两侧，k的取值范围： ．
9．（2023春•雨花区期中）约定：如果函数的图象经过点（m，n），我们就把此函数称作“（m，n）族函数”．比如：正比例函数y＝2x的图象经过点（1，2），所以正比例函数y＝2x就是“（1，2）族函数”．
（1）①以下数量关系中，y不是x的函数的是 （填选项）
②以下是“（﹣1，1）族函数”的是 （填选项）
A.y=-1x
B．|y|＝x
C．y＝x2+2x﹣4
D．y＝|x|+1
E．y2＝﹣x
F．y＝2x+3
（2）已知一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）．
①若该函数是“（-12，4）族函数”，求k的值．
②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标．
（3）已知一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”．当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有12n≤1y≤-12m，求该一次函数的解析式．
10．（2022秋•海门市期末）定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M为函数图象W的“直旋点”．例如，点(-13，13)是函数y＝x图象的“直旋点”．
（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数y=-13x+1图象的“直旋点”的有 （填序号）；
（2）若点N（3，1）为反比例函数y=kx图象的“直旋点”，求k的值；
（3）二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．
11．（2022秋•大兴区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）．
（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是 ；
（2）如图2，若点B为（1，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标；
（3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围．
12．（2023春•鄱阳县期中）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：
记a＝﹣x，b＝x﹣y，那么我们把点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对“和美点”．例如：点P（﹣1，2）的一对“和美点”是点（1，﹣3）与点（﹣3，1）．
（1）点A（4，1）的一对“和美点”坐标是 与 ；
（2）若点B（2，y）的一对“和美点”重合，则y的值为 ；
（3）若点C的一个“和美点”坐标为（﹣2，7），求点C的坐标．
13．（2022秋•石景山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OABC，其中点A（5，0），B（5，4），C（0，4）．给出如下定义：若点P关于直线l：x＝t的对称点P'在矩形OABC的内部或边上，则称点P为矩形OABC关于直线l的“关联点”．
例如，图1中的点D，点E都是矩形OABC关于直线l：x＝3的“关联点”．
（1）如图2，在点P1（4，1），P2（﹣3，3），P3（﹣2，0），P4（﹣6，﹣2）中，是矩形OABC关于直线l：x＝﹣1的“关联点”的为 ；
（2）如图3，点P（﹣2，3）是矩形OABC关于直线l：x＝t的“关联点”，且△OAP'是等腰三角形，求t的值；
（3）若在直线y=12x+b上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线l：x＝﹣1的“关联点”，请直接写出b的取值范围．
14．（2023春•崇川区校级月考）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函数y=cx（c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数y=cx的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数y=cx的“衍生函数”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数y=cx的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；
（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数y=-2x的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范围．
15．（2023•定远县校级一模）已知一系列具备负整数系数形式规律的“负倍数二次函数”：y1=-x2-2x，y2=-2x2-4x，y3=-3x2-6x，…
（1）探索发现，所有“负倍数二次函数”都有同一条对称轴直线x＝ ．
（2）求二次函数yn的解析式及其顶点坐标．
（3）点（﹣1，10）是否是“负倍数二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式，并求出﹣2≤x≤1对应的y的取值范围；若不是，请说明理由．
16．（2023春•兰溪市月考）阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．
（1）函数y＝2|x|+1 对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．
（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．
17．（2023春•东台市校级期中）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．
（1）函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ；
（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
18．（2023春•北京月考）在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．
①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是 ；
②若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，则m＝ ；
（2）已知直线y=-33x+b（b＞0）交x轴于点C，在△ABC中，AC＝3，AB＝1．若线段AB是⊙O的关于直线y=-33x+b（b＞0）对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题21以函数新定义为背景阅读材料压轴题
例1．（2023•义乌市校级模拟）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（13，13）是函数y＝x图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y=2x图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，-12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
例2．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x＝3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点A（0，1）．
（1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标 ；
（2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．若线段AB＝1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标yB的取值范围．
例3．（2022•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y=x+1(x≥0)-x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
1．（2023•信阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y=x+1(x≥0)-x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），关于直线x＝0的“镜面函数”图象上的两点 P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，直接写出t的取值范围 ．
2．（2022•零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是 ；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
3．（2022•长沙县校级三模）规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．
（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y=-6x互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；
（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC点”；
（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB=c2-2c+6c，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为-t，连接OP，AP，BP．若∠OPA＝∠OBP，求t的最小值．
4．（2022•顺德区校级三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．
（1）请直接写出函数y＝2﹣x的不动点M的坐标；
（2）若函数y=3x+8x+a有两个关于原点对称的不动点A，B，求a的值；
（3）已知函数y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1），若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a的取值范围．
5．（2022•长沙二模）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．
（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；
①其中有两内角分别为30°，60°的三角形 ；
②其中有两内角分别为50°，60°的三角形 ；
③其中有两内角分别为70°，100°的三角形 ；
（2）如图1，点A在双曲线y=kx（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．
①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；
②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ=1t-3，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
6．（2022•滨海县模拟）如图1，直线l：y＝kx+b（k＜0，b＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线．
（1）已知直线l1：y＝﹣3x+3，求直线l1的关联抛物线W1的表达式；
（2）若抛物线W2：y=-x2-x+2，求它的关联直线l2的表达式；
（3）如图2，若直线l3：y＝kx+4（k＜0），G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=102，求直线l3的关联抛物线W3的表达式；
（4）在（3）的条件下，将直线CD绕着C点旋转得到新的直线l4：y＝mx+n，若点P（x1，y1）与点Q（x2，y2）分别是抛物线W3与直线l4上的点，当0≤x≤2时，|y1﹣y2|≤4，请直接写出m的取值范围．
7．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．
（2）如图①，设函数y=-5x（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；
（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．
8．（2022•石家庄三模）抛物线L：y＝x2﹣2bx+c与直线a：y＝kx+2交于A、B两点，且A（2，0）．
（1）求k和c的值（用含b的代数式表示c）；
（2）当b＝0时，抛物线L与x轴的另一个交点为C．
①求△ABC的面积；
②当1≤x≤5时，则y的取值范围是 ．
（3）抛物线L：y＝x2﹣2bx+c的顶点M（b，n），求出n与b的函数关系式；当b为何值时，点M达到最高．
（4）在抛物线L和直线a所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当b＝﹣20时，直接写出“美点”的个数 ；若这些美点平均分布在直线y＝kx的两侧，k的取值范围： ．
9．（2023春•雨花区期中）约定：如果函数的图象经过点（m，n），我们就把此函数称作“（m，n）族函数”．比如：正比例函数y＝2x的图象经过点（1，2），所以正比例函数y＝2x就是“（1，2）族函数”．
（1）①以下数量关系中，y不是x的函数的是 （填选项）
②以下是“（﹣1，1）族函数”的是 （填选项）
A.y=-1x
B．|y|＝x
C．y＝x2+2x﹣4
D．y＝|x|+1
E．y2＝﹣x
F．y＝2x+3
（2）已知一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）．
①若该函数是“（-12，4）族函数”，求k的值．
②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标．
（3）已知一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”．当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有12n≤1y≤-12m，求该一次函数的解析式．
10．（2022秋•海门市期末）定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M为函数图象W的“直旋点”．例如，点(-13，13)是函数y＝x图象的“直旋点”．
（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数y=-13x+1图象的“直旋点”的有 （填序号）；
（2）若点N（3，1）为反比例函数y=kx图象的“直旋点”，求k的值；
（3）二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．
11．（2022秋•大兴区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）．
（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是 ；
（2）如图2，若点B为（1，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标；
（3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围．
12．（2023春•鄱阳县期中）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：
记a＝﹣x，b＝x﹣y，那么我们把点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对“和美点”．例如：点P（﹣1，2）的一对“和美点”是点（1，﹣3）与点（﹣3，1）．
（1）点A（4，1）的一对“和美点”坐标是 与 ；
（2）若点B（2，y）的一对“和美点”重合，则y的值为 ；
（3）若点C的一个“和美点”坐标为（﹣2，7），求点C的坐标．
13．（2022秋•石景山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OABC，其中点A（5，0），B（5，4），C（0，4）．给出如下定义：若点P关于直线l：x＝t的对称点P'在矩形OABC的内部或边上，则称点P为矩形OABC关于直线l的“关联点”．
例如，图1中的点D，点E都是矩形OABC关于直线l：x＝3的“关联点”．
（1）如图2，在点P1（4，1），P2（﹣3，3），P3（﹣2，0），P4（﹣6，﹣2）中，是矩形OABC关于直线l：x＝﹣1的“关联点”的为 ；
（2）如图3，点P（﹣2，3）是矩形OABC关于直线l：x＝t的“关联点”，且△OAP'是等腰三角形，求t的值；
（3）若在直线y=12x+b上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线l：x＝﹣1的“关联点”，请直接写出b的取值范围．
14．（2023春•崇川区校级月考）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函数y=cx（c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数y=cx的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数y=cx的“衍生函数”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数y=cx的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；
（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数y=-2x的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范围．
15．（2023•定远县校级一模）已知一系列具备负整数系数形式规律的“负倍数二次函数”：y1=-x2-2x，y2=-2x2-4x，y3=-3x2-6x，…
（1）探索发现，所有“负倍数二次函数”都有同一条对称轴直线x＝ ．
（2）求二次函数yn的解析式及其顶点坐标．
（3）点（﹣1，10）是否是“负倍数二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式，并求出﹣2≤x≤1对应的y的取值范围；若不是，请说明理由．
16．（2023春•兰溪市月考）阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．
（1）函数y＝2|x|+1 对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．
（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．
17．（2023春•东台市校级期中）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．
（1）函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ；
（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
18．（2023春•北京月考）在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．
①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是 ；
②若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，则m＝ ；
（2）已知直线y=-33x+b（b＞0）交x轴于点C，在△ABC中，AC＝3，AB＝1．若线段AB是⊙O的关于直线y=-33x+b（b＞0）对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
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