压轴题15圆的切线的有关计算与证明问题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

2023年中考数学压轴题专项训练

压轴题15切线的有关计算与证明问题

例1．（2023•白塔区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，∠BDC＝∠A，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：CD与⊙O相切：

（2）若CE＝6，DE＝3，求AD的长．

例2．（2023•文山市一模）如图，AB＝BC，以BC为直径的⊙O，与AC交于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．

（1）求证：EG是⊙O的切线；

（2）若GF＝3，GB＝5，求⊙O的半径．

例3．（2023•武侯区模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，连接AC，BC，AD，CD，线段CD与AB相交于点E，过点D作∠ADF＝∠ACD，DF交CA的延长线于点F．

（1）求证：DF 是⊙O的切线；

（2）若DF∥AB，，DE，求⊙O的半径．

例4．（2023•文山州一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为点P，点E是线段AB上的动点．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EP是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

1．（2023•南明区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F．

（1）求证：BC∥EF；

（2）求证：EF是⊙O的切线；

（3）若BF＝10，OB＝15，求证：AE＝2BE．

2．（2023•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD为菱形，⊙O经过A、C两点，且与AD相切于点A，BC与⊙O相交于点E．

（1）证明：CD与⊙O相切；

（2）若菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，求CE的长．

3．（2023•庐阳区校级一模）如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．

（1）求证：∠CEB＝∠ABD+∠CDB；

（2）如图2，连接OE、AD，若OE∥AD，且AB＝10，BD＝8，求BC的长．

4．（2023•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．

（1）求证：DE＝AE；

（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．

5．（2023•韩城市一模）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的直径，垂足为O，E为上一点，连接AE交CD于点M，过点E作⊙O的切线，分别交DC、AB的延长线于F、G．

（1）求证：EF＝MF；

（2）若⊙O的半径为6，FE＝8，求AM的长．

6．（2023•武昌区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF＝BF．

（1）求证：DF为半圆O的切线；

（2）若AC＝6，BC＝4，CF＝1，求半圆O的半径长．

7．（2023•靖江市模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点D，AE⊥BO交BO延长线于点E．

（1）求证：∠EOA＝∠EAB．

（2）若，求OC的长．

8．（2023•河北区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，∠ABC＝30°．

（Ⅰ）如图①，若点E是弧BD的中点，求∠BAE的大小；

（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点F，若DG∥CF交A于点G，AB＝8，求AF的长．

9．（2023•武汉模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，BC与AD相交于点F．

（1）求证：DE＝DB；

（2）若∠ACB＝60°，AB＝3，BD＝2，求的值．

10．（2023•市南区一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上．

（1）EB是⊙O的切线吗？为什么？

（2）若，则∠DBC的度数为 　     　°．

11．（2023•范县一模）如图，⊙O的直径为AB，AP为⊙O的切线，F是AP上一点，过点F的直线与⊙O交于C，D两点，与AB交于点E，AC＝CE．

（1）求证：AC＝CF；

（2）若 ，AD＝4，求BE的长．

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12．（2023•城关区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB上，且以AD为直径的⊙O经过点E．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）当AD＝3BD，且BE＝4时，求⊙O的半径．

13．（2023•莱芜区一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE是⊙O的切线，DE⊥AC于E．

（1）求证：AB＝AC；

（2）若⊙O的半径为4，∠C＝30°，求AE的长．

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14．（2023•包河区一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD于点M，连接OD．

（1）若∠ODB＝54°，求∠BAC的度数；

（2）AC，DB的延长线相交于点F，CE是⊙O的切线，交BF于点E，若CE⊥DF，求证：AC＝CD．

15．（2023•盐城一模）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，过点E作⊙O的切线，切点为点C，连接AC、BC，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．

（1）求证：∠BCE＝∠DAC；

（2）若BE＝2，CE＝4，求⊙O的半径及AD的长．

16．（2023•商河县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E，且边AC与⊙O切于点E，连接BE．

（1）求证：BE平分∠CBA；

（2）若AE＝2AF＝4，求BC的长．

17．（2023•武侯区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为上一点，且，连接BF并延长交射线DC于点E．

（1）求证：DE⊥BE；

（2）若，DA＝2，求⊙O的半径和EF的长．

18．（2023•甘井子区模拟）如图1，AB为⊙O直径，BC为弦，过点C作⊙O的切线，点D为切线上一点，点E为半径OB上一点，连接DE交BC于点F，且DC＝DF．

（1）求证：∠AED＝90°；

（2）如图2，延长DC交BA的延长线于点G，若E为OB的中点，DG＝10，DE＝6，求⊙O的半径．

19．（2023•红桥区一模）在⊙O中，AB为直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，连接BC．

（Ⅰ）如图①，若∠P＝40°，求∠PBC的大小；

（Ⅱ）如图②，过点B作PC的垂线，垂足为D，交⊙O于点E，连接CE，若AB＝4，CE∥PB，求DE的长．

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20．（2023•宜兴市一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F．

（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BF＝9，EF＝12，求⊙O的半径和AD的长．