2023年高考真题（全国甲卷）数学（文科）试卷+解析

2023年高考真题 文科数学 (全国甲卷)解析

单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1题型： 单选题分值: 5分

设全集，集合 ，，则（   ）

A

B

C

D

正确答案A

2题型： 单选题分值: 5分

（   ）

A-1

B1

C1-i

D1+i

正确答案C

3题型： 单选题分值: 5分

已知向量，，则=（）

A

B

C

D

正确答案B

4题型： 单选题分值: 5分

某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（  ）

A

B

C

D

正确答案D

5题型： 单选题分值: 5分

记为等差数列的前n项和,若则（   ）

A25

B22

C20

D15

正确答案C

6题型： 单选题分值: 5分

执行右边的程序框图，则输出的B=（）

A21

B34

C55

D89

正确答案B

7题型： 单选题分值: 5分

设为椭圆的两个焦点，点P在C上，若（）

A1

B2

C4

D5

正确答案B

8题型： 单选题分值: 5分

曲线在点处的切线方程为（）

A

B

C

D

正确答案C

9题型： 单选题分值: 5分

已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则

A

B

C

D

正确答案D

10题型： 单选题分值: 5分

在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，，则该棱锥的体积为（）

A1

B

C2

D3

正确答案A

11题型： 单选题分值: 5分

已知函数，记，则()

A

B

C

D

正确答案A

12题型： 单选题分值: 5分

函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为()

A1

B2

C3

D4

正确答案C

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

13题型：填空题分值: 5分

记为等比数列的前n项和,若，则的公比为________

正确答案

14题型：填空题分值: 5分

若为偶函数，则________

正确答案2

15题型：填空题分值: 5分

若x，y满足约束条件的最大值为________

正确答案15

16题型：填空题分值: 5分

在正方体中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________

正确答案

简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17题型：简答题分值: 12分

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求bc；

（2）若，求面积

正确答案

（1）1   （2）

解析

（1）根据余弦定理即可解出；

（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．

小问1详解

因为，所以，解得：

小问2详解

由正弦定理可得

变形可得：，即，

而，所以，又，所以，

故的面积为

18题型：简答题分值: 12分

18.如图，在三棱柱中，

（1）证明：；

（2）设，求四棱锥的高

正确答案

(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面；

(2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求

小问1详解

证明：因为平面，平面,

所以,

又因为，即，

平面，,

所以平面，

又因为平面,

所以平面平面

（2）1

如图，

过点作，垂足为.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

所以四棱锥的高为

因为平面，平面,

所以,,

又因为，为公共边，

所以与全等，所以

设，则，

所以为中点，,

又因为,所以

即，解得，

所以，

所以四棱锥的高为1．

19题型：简答题分值: 12分

一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）试验结果如下：

（1）计算试验组的样本平均数；

（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表

（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?

附：，

正确答案

（1）19.8

（2）（i）；列联表见解析，（ii）能

解析

（1）直接根据均值定义求解；

（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；

（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

小问1详解

试验组样本平均数为：

小问2详解

（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，

由原数据可得第11位数据为18.8，后续依次为，

故第20位为23.2，第21位数据为23.6，

所以，

故列联表为：

（ii）由（i）可得，，

所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异

20题型：简答题分值: 12分

已知函数

（1）当a=1时，讨论的单调性；

（2）若，求a的取值范围

正确答案

（1）在上单调递减    （2）

解析

（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；

（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；

法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.

小问1详解

所以

因为

所以

所以上单调递减

小问2详解

法一：

构建

则

若

则

所以，满足题意；

满足题意；

综上所述：，

所以

法二：

因为

因为

故上恒成立，

所以当，满足题意；

当，

所以，满足题意；

注意到

若上单调递增，

注意到，不满足题意；

若，

所以在上最靠近处必存在零点，

此时上单调递增，

则在，不满足题意；

综上：

21题型：简答题分值: 12分

已知直线与抛物线交于A，B两点，

（1）求p；

（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且，求面积的最小值

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p；

（2）设直线，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．

小问1详解

设

由

所以

即

小问2详解

因为的斜率不可能为零，

设直线

22题型：简答题分值: 10分

选做题

[选修4－4：坐标系与参数方程]

已知点，直线，α为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，且

（1）求α；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程

[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设，函数

（1）求不等式的解集；

（2）若曲线与x轴所围成的图形的面积为2，求a

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）根据t的几何意义即可解出；

（2）求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．

小问1详解

因为

小问2详解

由（1）可知，直线

所以直线的普通方程为：

由可得直线的极坐标方程为

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）   （2）

解析

（1）分讨论即可;

（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.

小问1详解

综上,不等式的解集为

小问2详解

画出