高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义练习题

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1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝30°，B＝45°，b＝8，则a＝( )
A．4 B．4eq \r(2)
C．4eq \r(3) D．4eq \r(6)
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4，则B＝( )
A．30°或150° B．150°
C．30° D．60°
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝15，b＝24，A＝46°，则此三角形( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．不确定
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝4，c＝2，B＝60°，则b＝________，C＝________.
5．在△ABC中，若sin Asin Bsin C＝1eq \r(3)1，则B＝________.
6．如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝10，AC＝14，CD＝6，求AB的长度．
[提能力]
7．[多选题]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，a，b，给出下列说法正确的是( )
A．若A≥90°，则此三角形最多有一解
B．当A<90°，aC．若A<90°，且a＝bsin A，则此三角形为直角三角形，且B＝90°
D．当A<90°，且bsin A8．已知在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A且sin B＝2sin Acs A，则eq \f(AC,cs A)的值等于________，AC的取值范围为________．
9．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC的面积的2倍．
(1)求eq \f(sin B,sin C)；
(2)若AD＝1，DC＝eq \f(\r(2),2)，求BD和AC的长．
[战疑难]
10．在等边三角形ABC中，P为△ABC内一点，且∠BPC＝120°，则eq \f(PA,PC)的最小值为________．
课时作业24 正弦定理
1．解析：由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，即eq \f(a,sin 30°)＝eq \f(8,sin 45°)，
即eq \f(\r(2),2)a＝4，解得a＝4eq \r(2)，故选B.
答案：B
2．解析：∵A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4，
∴由正弦定理得，sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4×sin 60°,4\r(3))＝eq \f(1,2).
∵a>b，∴B<60°，∴B＝30°，故选C.
答案：C
3．解析：方法一：在△ABC中，a＝15，b＝24，A＝46°.由正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，即eq \f(15,sin 46°)＝eq \f(24,sin B)，
∴sin B＝eq \f(8,5)sin 46°>eq \f(8,5)sin 45°>1，∴B值不存在，此三角形无解．故选C.
方法二：在△ABC中，bsin A＝24sin 46°>24sin 45°＝12eq \r(2)>a＝15.故此三角形无解，故选C.
答案：C
4．解析：在△ABC中，因为a＝4，c＝2，B＝60°，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accs B＝42＋22－2×4×2cs 60°＝12，所以b＝2eq \r(3).
又由正弦定理可得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，即sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(2sin 60°,2\r(3))＝eq \f(1,2)，
又由c答案：2eq \r(3) 30°
5．解析：因为sin Asin Bsin C＝1eq \r(3)1，所以abc＝1eq \r(3)1.设a＝x，则b＝eq \r(3)x，c＝x，由余弦定理可得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(x2＋x2－\r(3)x2,2x2)＝－eq \f(1,2)，故B＝120°.
答案：120°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(2π,3)))
6．解析：在△ADC中，由余弦定理得
cs ∠ADC＝eq \f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq \f(100＋36－196,2×10×6)＝－eq \f(1,2)，
∵0°<∠ADC<180°，
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝180°－120°＝60°.
在△ABD中，由正弦定理得eq \f(AB,sin ∠ADB)＝eq \f(AD,sin B)，
∴AB＝eq \f(AD·sin ∠ADB,sin B)＝eq \f(10sin 60°,sin 45°)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq \r(6).
7．解析：由A≥90°，知B为锐角，则此三角形最多有一解，故A说法正确；当A<90°，a1，则sin B>1，此三角形不存在，故B说法错误；若A<90°，且a＝bsin A，则sin B＝1，即B＝90°，此三角形为直角三角形，故C说法正确；当A<90°，且a＝b时，A＝B，此三角形为等腰三角形，只有一解，故D说法错误．故正确说法的是AC.
答案：AC
8．解析：由正弦定理得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，
所以eq \f(AC,2sin Acs A)＝eq \f(BC,sin A)，
所以eq \f(AC,cs A)＝2，即AC＝2cs A.
因为△ABC为锐角三角形
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0°<2A<90°,0°<180°－2A－A<90°))
所以30°于是eq \f(\r(2),2)所以AC＝2cs A∈(eq \r(2)，eq \r(3))．
答案：2 (eq \r(2)，eq \r(3))
9．解析：(1)如图，
∵S△ABD＝eq \f(1,2)AB·AD·sin∠BAD，S△ADC＝eq \f(1,2)AC·AD·sin∠CAD，
又S△ABD＝2S△ADC，且∠BAD＝∠CAD，∴AB＝2AC.
由正弦定理，得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)，
∴eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(1,2).
(2)∵S△ABD＝2S△ADC，∴BD＝2DC.
又DC＝eq \f(\r(2),2)，∴BD＝eq \r(2).
在△ABD中，由AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cs∠ADB，
得4AC2＝2＋1－2×eq \r(2)×1×cs(π－∠ADC)＝3＋2eq \r(2)cs∠ADC.①
在△ADC中，由AC2＝DC2＋DA2－2DC·DA·cs∠ADC，得AC2＝eq \f(1,2)＋1－2×eq \f(\r(2),2)×1×cs∠ADC＝eq \f(3,2)－eq \r(2)cs∠ADC，即2AC2＝3－2eq \r(2)cs∠ADC.②
由①＋②，得6AC2＝6，AC2＝1，∴AC＝1.
10．解析：如图，将△BAP绕点B顺时针旋转60°到△BCQ处，连接PQ，则△ABP与△CBQ全等，所以PA＝QC.
易得△BPQ为等边三角形，
所以∠BPQ＝60°，所以∠QPC＝∠BPC－∠BPQ＝60°.
在△PQC中，由正弦定理可得
eq \f(PA,PC)＝eq \f(QC,PC)＝eq \f(sin∠QPC,sin∠PQC)＝eq \f(sin 60°,sin∠PQC)≥eq \f(\r(3),2)，
当且仅当∠PQC＝90°时取等号，因此eq \f(PA,PC)的最小值为eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(\r(3),2)