2022北京顺义高一（下）期末数学（教师版）

2022北京顺义高一（下）期末

数    学

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 在平面直角坐标系中，若点，，则的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在复平面内，复数对应点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知某圆柱体的底面半径为，高为，则该圆柱体的侧面的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量，，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知第二象限角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. △中，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知平面和直线，则下列结论正确的是（    ）

A. 若垂直于平面内的两条平行直线，则

B. 若平行于平面内的一条直线，则

C. 若平行于平面内的无数条直线，则

D. 若垂直于平面内的两条相交直线，则

8. 年月日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正东方向走了米，到达可回收垃圾桶，随后向北偏西方向走了米，到达有害垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（    ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 正方体的棱长为，为棱上的动点，点分别是棱的中点，则下列结论正确的是（    ）

A. 存在点，使得

B. 存在点，使得等腰三角形

C. 三棱锥的体积为定值

D. 存在点，使得平面

二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 已知是复数，是虚数单位，若，则___________.

12. ___________.

13. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为，则___________.

14. 如图正方体的棱长为，则二面角的正弦值为___________.

15. 一次数学实践活动课的任务是测量操场上的国旗的高度，小明测量的数据如下：在水平地面上选取两点，旗杆的底端为，在点处测得旗杆顶端的仰角为，两点距离为，，.则小明测得旗杆的高度为___________（用表示）.

三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.

16. 已知平面向量，.从下列条件①，条件②中选出一个作为已知条件，解答下列问题：

（1）求的值；

（2）求向量夹角的余弦值.

条件①：；条件②：.

注：如果选择条件①和条件②两个条件分别解答，按第一个解答计分.

17. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）若，求三棱锥体积.

18. 如图，在平面直角坐标系中，角的终边在第二象限与单位圆交于点.

（1）若点的横坐标为，求的值；

（2）在（1）的条件下，若将角的终边绕点逆时针旋转，得到角（即），求的值.

19. 在中，角所对的边分别为，若，，.

（1）求的值；

（2）求的面积.

20. 已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.

21. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，.

（1）若平面与平面相交于直线，求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.

参考答案

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 在平面直角坐标系中，若点，，则的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的坐标表示求解即可

【详解】由题意，

故选：A

2. 在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】求得复数对应的坐标，从而确定正确选项.

【详解】复数对应的点为，在第四象限.

故选：D

3. 已知某圆柱体的底面半径为，高为，则该圆柱体的侧面的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据侧面积公式求解即可

【详解】由题意，则该圆柱体的侧面的面积为

故选：D

4. 已知向量，，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.

【详解】解：因为，，，

所以，又，

所以，解得.

故选：B

5. 已知是第二象限角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式可求得的值.

【详解】因为是第二象限角，且，则，

因此，.

故选：B.

6. 在△中，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据正余弦值的关系求解，再根据正弦定理求解即可

【详解】由题意，因为为三角形内角，故，由正弦定理，解得

故选：C

7. 已知平面和直线，则下列结论正确的是（    ）

A. 若垂直于平面内的两条平行直线，则

B. 若平行于平面内的一条直线，则

C. 若平行于平面内的无数条直线，则

D. 若垂直于平面内两条相交直线，则

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面垂直于平行的性质和判定逐个分析即可

【详解】对A， 垂直于平面内的两条相交直线才有，故A错误；

对B，当，且平行于平面内的一条直线，不成立，故B错误；

对C，若平行于平面内的无数条直线，则或，故C错误；

对D，根据线面垂直的判定可得若垂直于平面内的两条相交直线，则，故D正确；

故选：D

8. 年月日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正东方向走了米，到达可回收垃圾桶，随后向北偏西方向走了米，到达有害垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（    ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

【答案】A

【解析】

分析】由三角形中余弦定理即可求解.

【详解】如图：在中，,由余弦定理得：

.

故选：A

9. 已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件可建立直角坐标系，写出点的坐标，根据点坐标得向量坐标，进而根据向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】以点为圆心，以分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：

，，，

圆的半径为，设，

，，

，

当时，取最小值，当时取最大值4

故选：C

10. 正方体的棱长为，为棱上的动点，点分别是棱的中点，则下列结论正确的是（    ）

A. 存在点，使得

B. 存在点，使得等腰三角形

C. 三棱锥的体积为定值

D. 存在点，使得平面

【答案】C

【解析】

【分析】取的中点，连接、，再取的中点，连接，即可证明，从而说明A，再证明平面，即可说明C，由平面说明D，最后利用勾股定理说明B.

【详解】解：对于A：取的中点，连接、，再取的中点，连接，

又正方体的性质可知四边形为平行四边形，所以，则，

显然当在上时，不存在，故不存在点，使得，故A错误；

显然，平面，平面，

所以平面，所以到平面的距离为定值，设为，则，

又，故三棱锥的体积为定值，故C正确；

因为平面，显然平面与平面不平行，故不存在点，使得平面，故D错误；

设，则，所以，

，，

显然，， ，则不能为等腰三角形，故B错误；

故选：C

二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 已知是复数，是虚数单位，若，则___________.

【答案】##

【解析】

【分析】利用复数除法化简可得结果.

【详解】由已知可得.

故答案为：.

12. ___________.

【答案】##

【解析】

【分析】利用正切的差角公式进行求解.

【详解】

故答案为：

13. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算求解即可

【详解】由图可得，故

故答案为：

14. 如图正方体的棱长为，则二面角的正弦值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】连接交于点，连接，即可得到，，从而即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.

【详解】解：连接交于点，连接，在正方体中，为的中点，

所以，，所以即为二面角的平面角，

又，，

所以，

所以，

即二面角的正弦值为.

故答案为：

15. 一次数学实践活动课的任务是测量操场上的国旗的高度，小明测量的数据如下：在水平地面上选取两点，旗杆的底端为，在点处测得旗杆顶端的仰角为，两点距离为，，.则小明测得旗杆的高度为___________（用表示）.

【答案】##

【解析】

【分析】画出图形，根据正弦定理求得，再根据等腰直角三角形的性质求得即可

【详解】由题意如图，因为，故，由正弦定理 ，故.又，故为等腰直角三角形，故，即旗杆的高度为

故答案为：

三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.

16. 已知平面向量，.从下列条件①，条件②中选出一个作为已知条件，解答下列问题：

（1）求的值；

（2）求向量夹角的余弦值.

条件①：；条件②：.

注：如果选择条件①和条件②两个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）若选①：由已知求得，再由向量垂直的坐标表示可求得答案；

若选②，由已知得，再由向量的模的计算公式可求得答案；

（2）由（1）得，由向量夹角的坐标计算公式可求得答案.

【小问1详解】

解：若选①：因为，，所以，

又，所以，解得；

若选②，因为，，所以，

又，所以，又，解得；

【小问2详解】

解：由（1）得，所以，，

所以，

所以向量夹角的余弦值为.

17. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）若，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）依题意可得，再由，即可得到，从而得证；

（2）由正三棱柱的性质得到，再由，即可得到平面，从而得证；

（3）求出的面积，然后利用锥体的体积公式求解即可；

【小问1详解】

证明：因为、分别为、的中点，

则，又，

所以，

又平面，平面，

所以平面．

【小问2详解】

证明：在正三棱柱中，平面且为等边三角形，

因为平面，所以，又为的中点，所以，

又，平面，

所以平面，

又平面，所以；

【小问3详解】

解：在正三棱柱中，，，、分别为、的中点，

则，，

所以，

故三棱锥的体积为；

18. 如图，在平面直角坐标系中，角的终边在第二象限与单位圆交于点.

（1）若点的横坐标为，求的值；

（2）在（1）的条件下，若将角的终边绕点逆时针旋转，得到角（即），求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义可得，进而根据和差角公式代入即可求值；

（2）求出二倍角的正余弦值，进而根据余弦的和差角公式即可求解.

【小问1详解】

由题意知,所以，

因此.

【小问2详解】

由（1）知：，

故，

又因为，则，

所以

19. 在中，角所对的边分别为，若，，.

（1）求的值；

（2）求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理将角化边，即可得到，再利用余弦定理计算可得；

（2）首先求出，再根据面积公式计算可得.

【小问1详解】

解：因为，由正弦定理可得，

由余弦定理，即，

解得或（舍去）.

【小问2详解】

解：由（1）可得，

所以.

20. 已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简，用周期计算公式即可求解；（2）整体代入正弦函数的单调递增区间中，求解不等式即可；（3）画出图象，根据图象交点个数即可求解.

【小问1详解】

由得，故最小正周期为,

【小问2详解】

由，解得，

故的单调递增区间为

【小问3详解】

令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故

21. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，.

（1）若平面与平面相交于直线，求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析    （3）存在为中点，使得平面，

【解析】

【分析】（1）根据线面平行的性质判定即可；

（2）根据线面垂直的判定，结合勾股定理证明平面即可；

（3）取中点，中点，证明平行四边形，进而可得平面，再根据勾股定理求解的长即可

【小问1详解】

因为，平面，平面，故平面.又平面，且平面与平面相交于直线，故

【小问2详解】

由题意，，且，故，即，解得，故，故.又平面，平面，故，又，平面，故平面.又平面，故平面平面

【小问3详解】

存在为中点，使得平面.

证明：取中点，中点，连接如图.由中位线的性质可得，且，又，，故且，故平行四边形，故.又平面，平面，故平面.，此时，，故