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2020北京中关村中学高一（上）期中数学（教师版）
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这是一份2020北京中关村中学高一（上）期中数学（教师版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020北京中关村中学高一（上）期中
数 学
一、选择题
1. 已知集合，若0∈P，则实数a的取值集合为（ ）
A. B. {-1,1} C. D.
2. a
3. 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是（ ）
A. y=x+1 B. C. D.
4. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
A. 与y=1 B. 与y=x
C. 与y=x D. 与y=x-1
5. 已知命题P：“”，则 P为（ ）
A. B.
C. D.
6. 若a∈R，则a=1是“”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 既充分也必要条件
7. 若-1和2是函数的两个零点，则不等式的解集为（ ）
A. (-1,2) B. (-2,1) C. (-∞，-1) D. (2，+∞)
8. 下列图形中可以表示以为定义域，为值域的函数的图像（ ）
9. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的，有，则（ ）
A. f(3)
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 函数的定义域为_________。
12. 不等式(x-1)(x-2)<0的解集是________。
13. 已知a<0，-1
15. 已知集合，，若，则a的取值范围是_______。
16. 已知集合，其中。①集合=_______；②若，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是_______。
三、解答题：（本大题共3道小题，共30分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17. （8分）求下列不等式的解集：
(1)
(2)
18. （10分）已知函数
（1）用分段函数的形式表示函数f(x)的解析式；
（2）判断函数的奇偶性
（3）画出函数f(x)的图象；
（4）写出函数f(x)单调递增区间；
19. （12分）已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3
（1）求f(x)的解析式；
（2）若在区间[2a,a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[-1,1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围。
卷（Ⅱ）
一、填空题：（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）
20. 已知，且满足，则xy的最大值为___________
21. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为______.
23．定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在，满足，则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”．是它的一个均值点，若函数是[-1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是___________．
二、解答题：（本大题共3道小题，共30分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
24. 已知奇函数
（I）求实数m的值；
（Ⅱ）讨论方程f(x)=a(a∈R)成立的零点个数
25. 定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，且f(3)=6，
（I）求f(0)，f(1)；
（Ⅱ）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；
（III）若对于任意都有成立，求实数k的取值范围
26．已知集合P中的元素有3n(n∈N*)个且均为正整数，将集合P分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即P=A∪B∪C，A∩B=Φ，A∩C=Φ，B∩C=Φ，其中，若集合A，B，C中元素满足，则称集合P为“完美集合”
（I）若集合P={1，2，3}，Q={1,2,3,4,5,6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”?并说明理由
（Ⅱ）若集合P={1,x,3,4,5,6}为“完美集合”，求正整数x的值．
2020北京中关村中学高一（上）期中数学
参考答案
一．选择题
1．【分析】由于集合P＝{﹣1，2a+1，a2﹣1}，0∈P，所以2a+1＝0或a2﹣1＝0，再根据元素的互异性，得出a的值即可．
【解答】解：由于集合P＝{﹣1，2a+1，a2﹣1}，0∈P，
所以2a+1＝0或a2﹣1＝0，
∴a＝﹣或a＝±1；
当a＝﹣时，a2﹣1＝﹣，满足条件；
当a＝1时，2a+1＝3，满足条件；
当a＝﹣1时，2a+1＝﹣1，与元素的互异性矛盾，舍去；
故a的取值集合为{﹣，1}．
故选：C．
【点评】本题考查了元素与集合的关系，元素的三个特征，确定性，互异性，无序性，属于基础题．
2．【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：由a＜b＜0，可得＜1，故A正确；
由a＜b＜0，可得＞，故B错误；
由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b＞0，故|a|＞﹣b，a2＞b2，故C正确，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
3．【分析】对于A，函数为增函数，但不是奇函数；
对于B，函数为偶函数；
对于C，函数在定义域的两个区间分别为减函数；
对于D，函数为增函数，是奇函数．
【解答】解：对于A，函数为增函数，但不是奇函数，不满足题意；
对于B，﹣（﹣x）2＝﹣x2，函数为偶函数，不满足题意；
对于C，y′＝﹣，函数在定义域的两个区间分别为减函数，不满足题意；
对于D，y′＝3x2，函数为增函数，（﹣x）3＝﹣x3，是奇函数，满足题意；
故选：D．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
4．【分析】两个函数只有对应关系一致，定义域相同，才是同一函数．
【解答】解：对于A，的定义域是{x|x≠0}，y＝1的定义域是R，∴与y＝1不是同一函数，故A错误；
对于B，＝x与 y＝x对应关系相同，定义域都是R，∴与 y＝x是同一函数，故B正确；
对于C，的定义域是{x|x≠0}，y＝x的定义域是R，∴与 y＝x不是同一函数，故C错误；
对于D，＝，当x＜1时，与y＝x﹣1对应关系不同，
∴与 y＝x﹣1不是同一函数，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查两个函数是否是同一函数的判断，考查同一函数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．【分析】由特称命题的否定为全称命题，注意量词和不等号的变化．
【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得
命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p是∀x∈R，x2﹣x+1≥0．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，注意特称命题的否定为全称命题，考查转换能力，属于基础题．
6．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：若a＝1，则|a|＝1，是充分条件，
若|a|＝1，则a＝±1，不是必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查转化思想，是一道基础题．
7．【分析】根据二次函数和对应的一元二次方程与一元二次不等式的关系，即可得出对应不等式的解集．
【解答】解：﹣1和2是函数y＝x2+bx+c的两个零点，
所以﹣1和2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根，
所以不等式x2+bx+c＜0的解集为（﹣1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数和对应的一元二次方程与一元二次不等式的关系应用问题，是基础题．
8．【分析】根据函数的定义可判断．
【解答】解：A选项，函数定义域为M，但值域不是N；
B选项，函数定义域不是M，值域为N；
D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的概念及表示方法．
9．【分析】先由奇偶性将问题转化到[0，+∞），再由函数在区间上的单调性比较．
【解答】解：∵f（x）是偶函数
∴f（﹣2）＝f（2）
又∵任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，
又∵1＜2＜3
∴f（1）＞f（2）＝f（﹣2）＞f（3）
故选：A．
【点评】本题主要考查用奇偶性转化区间和单调性比较大小，在比较大小中，用单调性的较多，还有的通过中间桥梁来实现的，如通过正负和1来解决．
10．【分析】根据二次函数性质，一次函数性质，得出x1+x2+x3的取值范围即可．
【解答】解：∵函数，
∴根据二次函数性质得出x2+x3＝6，
利用函数y＝3x+4得出：x1＝0时，x1+x2+x3＜6，
y＝（x﹣3）2﹣3，
3x1+4＝﹣3，x1＝，
∴x1+x2+x3＞+6＝，
∴x1+x2+x3的取值范围是（，6），
故选：A．
【点评】本题考查了函数性质，解析式的运用，关键理解f（x1）＝f（x2）＝f（x3），含义，属于中档题．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．【分析】根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，须，
解得x≥﹣1且x≠0
∴函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．
故答案为[﹣1，0）∪（0，+∞）．
【点评】此题是个基础题．考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等．
12．【分析】将“不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0”转化为“不等式组 或”，利用一元一次不等式的解法求解．
【解答】解：依题意，不等式化为 不等式组 或，
解得1＜x＜2，
故答案为：（1，2）
【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．
13．【分析】把a＝﹣1，b＝﹣ 代入各个式子进行运算，比较结果可以出它们的大小关系．
【解答】解：用特殊值检验的方法：令a＝﹣1，b＝﹣，则这三个数分别为：﹣1，，﹣，
故 a，a•b，a•b2的大小关系为 a•b＞a•b2＞a，
故答案为 ab＞ab2＞a．
【点评】本题考查不等式的基本性质，用了特殊值代入检验的方法．在限定条件下比较几个式子的大小，经常使用特殊值代入法．
14．【分析】利用函数的奇偶性的性质，直接求解即可．
【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2+x，
所以f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣（（﹣3）2+3）＝﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题可拆式的奇偶性的性质的应用，函数值的求法，考查计算能力．
15．【分析】由集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，即可得出2≤a．
【解答】解：∵集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，
∴2≤a．
∴a的取值范围是a≥2．
故答案为：a≥2．
【点评】本题考查了集合之间的关系，属于基础题．
16．【分析】①先求出集合A，再利用补集的定义求出∁RA；
②由对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，所以A∪B＝R，从而求出c的取值范围．
【解答】解：①∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，
∴∁RA＝{x|﹣2＜x＜3}；
②∵对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，∴A∪B＝R，
∵集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞c}，
∴c≤﹣2，
∴c的取值范围是：（﹣∞，﹣2]，
故答案为：{x|﹣2＜x＜3}，（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．
三、解答题：（本大题共3道小题，共30分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17．【分析】（1）根据|1﹣2x|≥3，直接去绝对值解不等式即可；
（2）由＞0，得（x+1）（x﹣1）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）由|1﹣2x|≥3，得2x﹣1≥3或2x﹣1≤﹣3，
∴x≥2或x≤﹣1，
∴不等式的解集为{x|x≥2或x≤﹣1}．
（2）由＞0，得（x+1）（x﹣1）＞0，
∴x＞1或x＜﹣1，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣1}．
【点评】本题考查了绝对值不等式和分式不等式的解法，考查了转化思想，属基础题．
18．【分析】（1）分x＞0、x＝0、x＜0分段写出函数解析式；
（2）直接利用函数奇偶性的定义证明；
（3）由二次函数的图象作图；
（4）由图象可得原函数的增区间．
【解答】解：（1）f（x）＝x|x|﹣2x＝
（2）设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）2﹣2（﹣x）＝﹣x2+2x＝﹣（x2﹣2x）＝﹣f（x），
设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x＝﹣（﹣x2﹣2x）＝﹣f（x）．
又f（0）＝0，
∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数；
（3）函数f（x）的图象如图：
（4）由图可知，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．
【点评】本题考查分段函数及其性质，考查数形结合的解题思想，训练了利用定义证明分段函数的奇偶性，是中档题．
19．【分析】（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可
（2）只需保证对称轴落在区间内部即可
（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可
【解答】解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）＝f（2）
∴对称轴为x＝1
又最小值为1
设f（x）＝a（x﹣1）2+1
又f（0）＝3
∴a＝2
∴f（x）＝2（x﹣1）2+1＝2x2﹣4x+3
（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1
∴
（3）由已知2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立
化简得m＜x2﹣3x+1
设g（x）＝x2﹣3x+1
则g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减
∴g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（1）＝﹣1
∴m＜﹣1
【点评】本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值，须注意恒成立问题的转化．属中档题．
一．填空题：（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）
20．【分析】本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，所以（当且仅当，即x＝，y＝2时取等号），
于是，，xy≤3．
故答案为：3
【点评】本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题．
21．【分析】①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；
②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值．
【解答】解：①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），
即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）；
②在促销活动中，设订单总金额为m元，
可得（m﹣x）×80%≥m×70%，
即有x≤恒成立，
若m＜120，可得得到支付款为80%m；
当m≥120，
可得x≤＝15，
则x的最大值为15元．
故答案为：130，15
【点评】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题．
22．【分析】根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内有零点．首先满足：△≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．
g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．对称轴：x＝﹣．对m分类讨论即可得出．
【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，
则方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，
若函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内有零点．
则△＝m2+4m≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．
g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．g（0）＝﹣m．
对称轴：x＝﹣．
①m≥0时，﹣≤0，g（0）＝﹣m≤0，g（1）＞0，因此此时函数g（x）在（﹣1，1）内一定有零点．∴m≥0满足条件．
②m≤﹣4时，﹣≥2，由于g（1）＝1＞0，因此函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内不可能有零点，舍去．
综上可得：实数m的取值范围是[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．
【点评】本题考查了新定义、二次函数的性质、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、解答题：（本大题共3道小题，共30分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
23．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）为奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1），从而求出m的值．
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象，方程f（x）＝a的零点个数，等价于函数f（x）与函数y＝a图象的交点个数，利用数形结合法即可讨论讨论方程f（x）＝a成立的零点个数．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知奇函数f（x）的定义域为R，
∴f（﹣1）＝﹣f（1），
∴1﹣m＝﹣（﹣1+2），
∴m＝2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）＝，
画出函数f（x）的图象，如图所示：，
方程f（x）＝a的零点个数，等价于函数f（x）与函数y＝a图象的交点个数，
由函数f（x）的图象可知，
①当a＜﹣1或a＞1时，函数f（x）与函数y＝a图象有1个交点，即方程f（x）＝a有1个零点，
②当a＝﹣1或a＝1时，函数f（x）与函数y＝a图象有2个交点，即方程f（x）＝a有2个零点，
③当﹣1＜a＜1时，函数f（x）与函数y＝a图象有3个交点，即方程f（x）＝a有3个零点．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了函数的奇偶性，是中档题．
24．【分析】（I）取x＝0代入函数满足的等式，整理可得f（0）＝0．再根据3＝1+2＝1+1+1，结合定义和f（3）＝6，算出f（1）＝2；
（II）以﹣x取代y，代入函数满足的等式，可得f（x）+f（﹣x）＝0，由此可得f（x）是奇函数；
（III）根据函数是单调函数且f（0）＜f（1），得f（x）是定义域在R上的增函数．再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为kx2＜1﹣2x在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出k的取值范围．
【解答】解：（ I）取x＝0，得f（0+y）＝f（0）+f（y），
即f（y）＝f（0）+f（y），∴f（0）＝0，
∵f（3）＝f（1+2）＝f（1）+f（2）＝f（1）+f（1+1）＝f（1）+f（1）+f（1）
∴结合f（3）＝6，得3f（1）＝6，可得f（1）＝2；
（II）取y＝﹣x，得f（0）＝f[x+（﹣x）]＝f（x）+f（﹣x）＝0
移项得f（﹣x）＝﹣f（x）
∴函数f（x）是奇函数；
（III）∵f（x）是奇函数，且f（kx2）+f（2x﹣1）＜0在上恒成立，
∴f（kx2）＜f（1﹣2x）在上恒成立，
又∵f（x）是定义域在R的单调函数，且f（0）＝0＜f（1）＝2，
∴f（x）是定义域在R上的增函数．
∴kx2＜1﹣2x在上恒成立．
∴在上恒成立．
令，
由于，∴．
∴g（x）min＝g（1）＝﹣1．∴k＜﹣1．
则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题给出抽象函数，求特殊的函数值并讨论函数的单调性与奇偶性，考查了抽象函数的理解与处理、函数的单调性与奇偶性和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．
25．【分析】（Ⅰ）根据完美集合的定义，将P分为集合{1}、{2}、{3}符合条件，将Q分成3个，每个中有两个元素，根据完美集合的定义进一步判断即可；
（Ⅱ）根据完美集合的概念直接求出集合C，从而得到x的值；
（Ⅲ）P中所有元素之和为 ＝2（c1+c2+…+cn﹣1+cn），根据 ＝c1+c2+…+cn﹣1，等号右边为正整数，可得等式左边9n（n﹣1）可以被4整除，从而证明结论．
【解答】解：（Ⅰ）将P分为{1}，{2}，{3}满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，则a1+b1＝c1，a2+b2＝c2；Q中所有元素之和为21，21÷2＝10.5＝c1+c2，不符合要求．
（Ⅱ）若集合A＝{1，4}，B＝{3，5}，根据完美集合的概念知集合C＝{6，7}；
若集合A＝{1，5}，B＝{3，6}，根据完美集合的概念知集合C＝{4，11}；
若集合A＝{1，3}，B＝{4，6}，根据完美集合的概念知集合C＝{5，9}；
故x的可能值为：7，9，11中任一个．
（Ⅲ）证明：P中所有元素之和为：
1+2+3+…+3n＝＝a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+an+bn+cn+＝2（c1+c2+…+cn）；
∵cn＝3n；
∴＝c1+c2+…+cn﹣1+3n；
∴c1+c2+…+cn﹣1＝；
等式左边为正整数，则等式右边9n（n﹣1）可以被4整除；
∴n＝4k或n﹣1＝4k（n∈N*），即n＝4k或n＝4k+1（n∈N*）．
【点评】本题主要考查了新定义“完美集合”概念，注意紧扣新的定义，列出所有可能情况，考查了分类讨论思想和转化能力，属于难题．
2020北京中关村中学高一（上）期中
数 学
一、选择题
1. 已知集合，若0∈P，则实数a的取值集合为（ ）
A. B. {-1,1} C. D.
2. a
3. 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是（ ）
A. y=x+1 B. C. D.
4. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
A. 与y=1 B. 与y=x
C. 与y=x D. 与y=x-1
5. 已知命题P：“”，则 P为（ ）
A. B.
C. D.
6. 若a∈R，则a=1是“”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 既充分也必要条件
7. 若-1和2是函数的两个零点，则不等式的解集为（ ）
A. (-1,2) B. (-2,1) C. (-∞，-1) D. (2，+∞)
8. 下列图形中可以表示以为定义域，为值域的函数的图像（ ）
9. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的，有，则（ ）
A. f(3)
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 函数的定义域为_________。
12. 不等式(x-1)(x-2)<0的解集是________。
13. 已知a<0，-1
15. 已知集合，，若，则a的取值范围是_______。
16. 已知集合，其中。①集合=_______；②若，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是_______。
三、解答题：（本大题共3道小题，共30分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17. （8分）求下列不等式的解集：
(1)
(2)
18. （10分）已知函数
（1）用分段函数的形式表示函数f(x)的解析式；
（2）判断函数的奇偶性
（3）画出函数f(x)的图象；
（4）写出函数f(x)单调递增区间；
19. （12分）已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3
（1）求f(x)的解析式；
（2）若在区间[2a,a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[-1,1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围。
卷（Ⅱ）
一、填空题：（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）
20. 已知，且满足，则xy的最大值为___________
21. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为______.
23．定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在，满足，则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”．是它的一个均值点，若函数是[-1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是___________．
二、解答题：（本大题共3道小题，共30分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
24. 已知奇函数
（I）求实数m的值；
（Ⅱ）讨论方程f(x)=a(a∈R)成立的零点个数
25. 定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，且f(3)=6，
（I）求f(0)，f(1)；
（Ⅱ）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；
（III）若对于任意都有成立，求实数k的取值范围
26．已知集合P中的元素有3n(n∈N*)个且均为正整数，将集合P分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即P=A∪B∪C，A∩B=Φ，A∩C=Φ，B∩C=Φ，其中，若集合A，B，C中元素满足，则称集合P为“完美集合”
（I）若集合P={1，2，3}，Q={1,2,3,4,5,6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”?并说明理由
（Ⅱ）若集合P={1,x,3,4,5,6}为“完美集合”，求正整数x的值．
2020北京中关村中学高一（上）期中数学
参考答案
一．选择题
1．【分析】由于集合P＝{﹣1，2a+1，a2﹣1}，0∈P，所以2a+1＝0或a2﹣1＝0，再根据元素的互异性，得出a的值即可．
【解答】解：由于集合P＝{﹣1，2a+1，a2﹣1}，0∈P，
所以2a+1＝0或a2﹣1＝0，
∴a＝﹣或a＝±1；
当a＝﹣时，a2﹣1＝﹣，满足条件；
当a＝1时，2a+1＝3，满足条件；
当a＝﹣1时，2a+1＝﹣1，与元素的互异性矛盾，舍去；
故a的取值集合为{﹣，1}．
故选：C．
【点评】本题考查了元素与集合的关系，元素的三个特征，确定性，互异性，无序性，属于基础题．
2．【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：由a＜b＜0，可得＜1，故A正确；
由a＜b＜0，可得＞，故B错误；
由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b＞0，故|a|＞﹣b，a2＞b2，故C正确，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
3．【分析】对于A，函数为增函数，但不是奇函数；
对于B，函数为偶函数；
对于C，函数在定义域的两个区间分别为减函数；
对于D，函数为增函数，是奇函数．
【解答】解：对于A，函数为增函数，但不是奇函数，不满足题意；
对于B，﹣（﹣x）2＝﹣x2，函数为偶函数，不满足题意；
对于C，y′＝﹣，函数在定义域的两个区间分别为减函数，不满足题意；
对于D，y′＝3x2，函数为增函数，（﹣x）3＝﹣x3，是奇函数，满足题意；
故选：D．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
4．【分析】两个函数只有对应关系一致，定义域相同，才是同一函数．
【解答】解：对于A，的定义域是{x|x≠0}，y＝1的定义域是R，∴与y＝1不是同一函数，故A错误；
对于B，＝x与 y＝x对应关系相同，定义域都是R，∴与 y＝x是同一函数，故B正确；
对于C，的定义域是{x|x≠0}，y＝x的定义域是R，∴与 y＝x不是同一函数，故C错误；
对于D，＝，当x＜1时，与y＝x﹣1对应关系不同，
∴与 y＝x﹣1不是同一函数，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查两个函数是否是同一函数的判断，考查同一函数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．【分析】由特称命题的否定为全称命题，注意量词和不等号的变化．
【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得
命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p是∀x∈R，x2﹣x+1≥0．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，注意特称命题的否定为全称命题，考查转换能力，属于基础题．
6．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：若a＝1，则|a|＝1，是充分条件，
若|a|＝1，则a＝±1，不是必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查转化思想，是一道基础题．
7．【分析】根据二次函数和对应的一元二次方程与一元二次不等式的关系，即可得出对应不等式的解集．
【解答】解：﹣1和2是函数y＝x2+bx+c的两个零点，
所以﹣1和2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根，
所以不等式x2+bx+c＜0的解集为（﹣1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数和对应的一元二次方程与一元二次不等式的关系应用问题，是基础题．
8．【分析】根据函数的定义可判断．
【解答】解：A选项，函数定义域为M，但值域不是N；
B选项，函数定义域不是M，值域为N；
D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的概念及表示方法．
9．【分析】先由奇偶性将问题转化到[0，+∞），再由函数在区间上的单调性比较．
【解答】解：∵f（x）是偶函数
∴f（﹣2）＝f（2）
又∵任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，
又∵1＜2＜3
∴f（1）＞f（2）＝f（﹣2）＞f（3）
故选：A．
【点评】本题主要考查用奇偶性转化区间和单调性比较大小，在比较大小中，用单调性的较多，还有的通过中间桥梁来实现的，如通过正负和1来解决．
10．【分析】根据二次函数性质，一次函数性质，得出x1+x2+x3的取值范围即可．
【解答】解：∵函数，
∴根据二次函数性质得出x2+x3＝6，
利用函数y＝3x+4得出：x1＝0时，x1+x2+x3＜6，
y＝（x﹣3）2﹣3，
3x1+4＝﹣3，x1＝，
∴x1+x2+x3＞+6＝，
∴x1+x2+x3的取值范围是（，6），
故选：A．
【点评】本题考查了函数性质，解析式的运用，关键理解f（x1）＝f（x2）＝f（x3），含义，属于中档题．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．【分析】根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，须，
解得x≥﹣1且x≠0
∴函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．
故答案为[﹣1，0）∪（0，+∞）．
【点评】此题是个基础题．考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等．
12．【分析】将“不等式（x﹣1）（x﹣2）＜0”转化为“不等式组 或”，利用一元一次不等式的解法求解．
【解答】解：依题意，不等式化为 不等式组 或，
解得1＜x＜2，
故答案为：（1，2）
【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．
13．【分析】把a＝﹣1，b＝﹣ 代入各个式子进行运算，比较结果可以出它们的大小关系．
【解答】解：用特殊值检验的方法：令a＝﹣1，b＝﹣，则这三个数分别为：﹣1，，﹣，
故 a，a•b，a•b2的大小关系为 a•b＞a•b2＞a，
故答案为 ab＞ab2＞a．
【点评】本题考查不等式的基本性质，用了特殊值代入检验的方法．在限定条件下比较几个式子的大小，经常使用特殊值代入法．
14．【分析】利用函数的奇偶性的性质，直接求解即可．
【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2+x，
所以f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣（（﹣3）2+3）＝﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题可拆式的奇偶性的性质的应用，函数值的求法，考查计算能力．
15．【分析】由集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，即可得出2≤a．
【解答】解：∵集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，
∴2≤a．
∴a的取值范围是a≥2．
故答案为：a≥2．
【点评】本题考查了集合之间的关系，属于基础题．
16．【分析】①先求出集合A，再利用补集的定义求出∁RA；
②由对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，所以A∪B＝R，从而求出c的取值范围．
【解答】解：①∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，
∴∁RA＝{x|﹣2＜x＜3}；
②∵对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，∴A∪B＝R，
∵集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞c}，
∴c≤﹣2，
∴c的取值范围是：（﹣∞，﹣2]，
故答案为：{x|﹣2＜x＜3}，（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．
三、解答题：（本大题共3道小题，共30分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17．【分析】（1）根据|1﹣2x|≥3，直接去绝对值解不等式即可；
（2）由＞0，得（x+1）（x﹣1）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）由|1﹣2x|≥3，得2x﹣1≥3或2x﹣1≤﹣3，
∴x≥2或x≤﹣1，
∴不等式的解集为{x|x≥2或x≤﹣1}．
（2）由＞0，得（x+1）（x﹣1）＞0，
∴x＞1或x＜﹣1，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣1}．
【点评】本题考查了绝对值不等式和分式不等式的解法，考查了转化思想，属基础题．
18．【分析】（1）分x＞0、x＝0、x＜0分段写出函数解析式；
（2）直接利用函数奇偶性的定义证明；
（3）由二次函数的图象作图；
（4）由图象可得原函数的增区间．
【解答】解：（1）f（x）＝x|x|﹣2x＝
（2）设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）2﹣2（﹣x）＝﹣x2+2x＝﹣（x2﹣2x）＝﹣f（x），
设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x＝﹣（﹣x2﹣2x）＝﹣f（x）．
又f（0）＝0，
∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数；
（3）函数f（x）的图象如图：
（4）由图可知，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．
【点评】本题考查分段函数及其性质，考查数形结合的解题思想，训练了利用定义证明分段函数的奇偶性，是中档题．
19．【分析】（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可
（2）只需保证对称轴落在区间内部即可
（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可
【解答】解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）＝f（2）
∴对称轴为x＝1
又最小值为1
设f（x）＝a（x﹣1）2+1
又f（0）＝3
∴a＝2
∴f（x）＝2（x﹣1）2+1＝2x2﹣4x+3
（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1
∴
（3）由已知2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立
化简得m＜x2﹣3x+1
设g（x）＝x2﹣3x+1
则g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减
∴g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（1）＝﹣1
∴m＜﹣1
【点评】本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值，须注意恒成立问题的转化．属中档题．
一．填空题：（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）
20．【分析】本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，所以（当且仅当，即x＝，y＝2时取等号），
于是，，xy≤3．
故答案为：3
【点评】本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题．
21．【分析】①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；
②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值．
【解答】解：①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），
即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）；
②在促销活动中，设订单总金额为m元，
可得（m﹣x）×80%≥m×70%，
即有x≤恒成立，
若m＜120，可得得到支付款为80%m；
当m≥120，
可得x≤＝15，
则x的最大值为15元．
故答案为：130，15
【点评】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题．
22．【分析】根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内有零点．首先满足：△≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．
g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．对称轴：x＝﹣．对m分类讨论即可得出．
【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，
则方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，
若函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内有零点．
则△＝m2+4m≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．
g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．g（0）＝﹣m．
对称轴：x＝﹣．
①m≥0时，﹣≤0，g（0）＝﹣m≤0，g（1）＞0，因此此时函数g（x）在（﹣1，1）内一定有零点．∴m≥0满足条件．
②m≤﹣4时，﹣≥2，由于g（1）＝1＞0，因此函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内不可能有零点，舍去．
综上可得：实数m的取值范围是[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．
【点评】本题考查了新定义、二次函数的性质、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、解答题：（本大题共3道小题，共30分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
23．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）为奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1），从而求出m的值．
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象，方程f（x）＝a的零点个数，等价于函数f（x）与函数y＝a图象的交点个数，利用数形结合法即可讨论讨论方程f（x）＝a成立的零点个数．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知奇函数f（x）的定义域为R，
∴f（﹣1）＝﹣f（1），
∴1﹣m＝﹣（﹣1+2），
∴m＝2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）＝，
画出函数f（x）的图象，如图所示：，
方程f（x）＝a的零点个数，等价于函数f（x）与函数y＝a图象的交点个数，
由函数f（x）的图象可知，
①当a＜﹣1或a＞1时，函数f（x）与函数y＝a图象有1个交点，即方程f（x）＝a有1个零点，
②当a＝﹣1或a＝1时，函数f（x）与函数y＝a图象有2个交点，即方程f（x）＝a有2个零点，
③当﹣1＜a＜1时，函数f（x）与函数y＝a图象有3个交点，即方程f（x）＝a有3个零点．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了函数的奇偶性，是中档题．
24．【分析】（I）取x＝0代入函数满足的等式，整理可得f（0）＝0．再根据3＝1+2＝1+1+1，结合定义和f（3）＝6，算出f（1）＝2；
（II）以﹣x取代y，代入函数满足的等式，可得f（x）+f（﹣x）＝0，由此可得f（x）是奇函数；
（III）根据函数是单调函数且f（0）＜f（1），得f（x）是定义域在R上的增函数．再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为kx2＜1﹣2x在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出k的取值范围．
【解答】解：（ I）取x＝0，得f（0+y）＝f（0）+f（y），
即f（y）＝f（0）+f（y），∴f（0）＝0，
∵f（3）＝f（1+2）＝f（1）+f（2）＝f（1）+f（1+1）＝f（1）+f（1）+f（1）
∴结合f（3）＝6，得3f（1）＝6，可得f（1）＝2；
（II）取y＝﹣x，得f（0）＝f[x+（﹣x）]＝f（x）+f（﹣x）＝0
移项得f（﹣x）＝﹣f（x）
∴函数f（x）是奇函数；
（III）∵f（x）是奇函数，且f（kx2）+f（2x﹣1）＜0在上恒成立，
∴f（kx2）＜f（1﹣2x）在上恒成立，
又∵f（x）是定义域在R的单调函数，且f（0）＝0＜f（1）＝2，
∴f（x）是定义域在R上的增函数．
∴kx2＜1﹣2x在上恒成立．
∴在上恒成立．
令，
由于，∴．
∴g（x）min＝g（1）＝﹣1．∴k＜﹣1．
则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题给出抽象函数，求特殊的函数值并讨论函数的单调性与奇偶性，考查了抽象函数的理解与处理、函数的单调性与奇偶性和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．
25．【分析】（Ⅰ）根据完美集合的定义，将P分为集合{1}、{2}、{3}符合条件，将Q分成3个，每个中有两个元素，根据完美集合的定义进一步判断即可；
（Ⅱ）根据完美集合的概念直接求出集合C，从而得到x的值；
（Ⅲ）P中所有元素之和为 ＝2（c1+c2+…+cn﹣1+cn），根据 ＝c1+c2+…+cn﹣1，等号右边为正整数，可得等式左边9n（n﹣1）可以被4整除，从而证明结论．
【解答】解：（Ⅰ）将P分为{1}，{2}，{3}满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，则a1+b1＝c1，a2+b2＝c2；Q中所有元素之和为21，21÷2＝10.5＝c1+c2，不符合要求．
（Ⅱ）若集合A＝{1，4}，B＝{3，5}，根据完美集合的概念知集合C＝{6，7}；
若集合A＝{1，5}，B＝{3，6}，根据完美集合的概念知集合C＝{4，11}；
若集合A＝{1，3}，B＝{4，6}，根据完美集合的概念知集合C＝{5，9}；
故x的可能值为：7，9，11中任一个．
（Ⅲ）证明：P中所有元素之和为：
1+2+3+…+3n＝＝a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+an+bn+cn+＝2（c1+c2+…+cn）；
∵cn＝3n；
∴＝c1+c2+…+cn﹣1+3n；
∴c1+c2+…+cn﹣1＝；
等式左边为正整数，则等式右边9n（n﹣1）可以被4整除；
∴n＝4k或n﹣1＝4k（n∈N*），即n＝4k或n＝4k+1（n∈N*）．
【点评】本题主要考查了新定义“完美集合”概念，注意紧扣新的定义，列出所有可能情况，考查了分类讨论思想和转化能力，属于难题．
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