2022北京交大附中高二（上）期末数学（教师版）

2022北京交大附中高二（上）期末

数    学

命题人：高二数学组  审题人：张红敏  2022.01

说明：本试卷共4页，共120分．考试时长120分钟．

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 双曲线左焦点的坐标为（    ）

A. (-2,0) B.  C.  D.

2. 直线的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是　　

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 已知直线，点和点，若，则实数的值为（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

5. 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（    ）

A

B.

C.

D.

6. 已知圆与直线切于点，则直线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 已知，是两个不同的平面，“”的一个充分条件是

A. 内有无数直线平行于

B. 存在平面，，

C. 存平面，，且

D. 存在直线，，

8. 已知椭圆内有一点，为椭圆的右焦点，为椭圆的一个动点，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，，，则截口BAC所在椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 若点为点在平面上正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：

①线段长度的取值范围是；

②存在点使得平面；

③存在点使得.

其中，所有正确结论的序号是

A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①②

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）

11. 若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.

12. 设椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，则的周长为________．

13. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则____.

14. 设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为___________.

15 关于曲线．给出下列三个结论：

①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线上任意一点到原点的距离都不大于；

③曲线上任意一点到原点的距离都不小于2．

其中，正确结论的序号是________．

三、解答题（本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知直线经过两点，，圆．

（1）求直线的方程：

（2）设直线与圆交于，两点，求的值．

17. 已知抛物线，点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值．

18. 已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点．

（Ⅰ）求证：PO平面；

（Ⅱ）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．

19. 已知椭圆的两焦点，的坐标分别为和，点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程．

（2）过坐标原点的直线交椭圆于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．

①证明：是直角三角形：

②求面积的最大值．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 双曲线的左焦点的坐标为（    ）

A. (-2,0) B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线方程，可求得c的值，即可得答案.

【详解】由题意可知焦点在x轴上，，即，

所以左焦点坐标为(-2,0)，

故选：A.

【点睛】本题考查双曲线的几何性质，属基础题.

2. 直线的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将直线方程化为斜截式，可得直线的斜率，再由斜率公式，结合倾斜角的范围，即可得到所求角．

【详解】直线，即为，

则直线的斜率为，

设倾斜角为，则，

可得，

故选：B．

3. 设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是　　

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【详解】抛物线准线方程为．因为到轴的距离为2，所以到准线的距离为3.由抛物线的几何性质可知，到抛物线焦点的距离为3，故选C

4. 已知直线，点和点，若，则实数的值为（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求出直线的斜率，根据直线平行的斜率关系得出实数的值.

【详解】，由于，则直线的斜率为

即，

故选：B

5. 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可．

【详解】解：由题意知，

．

故选：．

6. 已知圆与直线切于点，则直线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．

【详解】圆可化为，

所以点与圆心连线所在直线的斜率为，

则所求直线的斜率为，

由点斜式方程，可得，

整理得.

故选：A.

7. 已知，是两个不同的平面，“”的一个充分条件是

A. 内有无数直线平行于

B. 存在平面，，

C. 存在平面，，且

D. 存在直线，，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据线面平行判定、线面垂直性质定理等判定即可

【详解】解：对于A.根据面面平行判定定理可得A错误；

对于B. 当，时，可能三个平面两两相交，不能得出平行，B错误；

对于C.当，且时，可能三个平面两两相交，不能得出，C错误；

对于D.根据线面垂直推得：当，时，成立，故D正确；

故选：D.

【点睛】平行关系之间的转化：

在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”.

8. 已知椭圆内有一点，为椭圆的右焦点，为椭圆的一个动点，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用椭圆定义，结合.

【详解】如下图所示，由椭圆定义， ，是椭圆的左焦点，当 三点共线的时候，最大，

故选：D

【点睛】

9. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，，，则截口BAC所在椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据图形建立平面直角坐标系，写出椭圆方程，根据条件求出a,b,c，最终算出离心率.

【详解】如图建立平面直角坐标系，设椭圆方程为，

由题意，，将直线代入椭圆方程得：，所以，又因为，解得：，所以离心率.

故选：C.

10. 若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：

①线段长度的取值范围是；

②存在点使得平面；

③存在点使得.

其中，所有正确结论的序号是

A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①②

【答案】D

【解析】

【分析】

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.

【详解】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.

在正方体中，平面，平面，，

又，，平面，即，，

同理可证，，则，.

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，.

对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；

对于命题②，，则平面的一个法向量为，

，令，解得，

所以，存在点使得平面，命题②正确；

对于命题③，，令，

整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误.

故选：D.

【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）

11. 若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线渐近线方程.

【详解】解：由题可知，离心率，即，

又，即，则，

故此双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

12. 设椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，则的周长为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据椭圆方程与定义即可得到结果.

【详解】根据题意，椭圆，

其中，，

则，

是上任意一点，

则的周长；

故答案为：．

13. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则____.

【答案】

【解析】

【分析】先过点作垂直准线于点，由抛物线定义得到，再由题意求出，得到，即可求出结果.

【详解】过点作垂直准线于点，

由抛物线定义可得：，

又，所以，

因此，所以.

故答案为

【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，熟记抛物线的定义即可，属于常考题型.

14. 设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为___________.

【答案】7

【解析】

【分析】根据题意可得，利用勾股定理和椭圆定义可求得，即可求出面积.

【详解】由题意得，，，，∴在以线段为直径的圆上，

∴，∴①，

由椭圆的定义知，②，由①②，解得，

.

故答案为：7.

15. 关于曲线．给出下列三个结论：

①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线上任意一点到原点的距离都不大于；

③曲线上任意一点到原点的距离都不小于2．

其中，正确结论的序号是________．

【答案】①②##②①

【解析】

【分析】根据曲线方程的特点，结合对称性及重要不等式即可得到结果.

【详解】关于曲线，

∵，

∴，又，

∴,

∴

曲线上任意一点到原点的距离：

，故②正确，③错误；

在①中，时，；时，；，；，．

曲线恰好经过6个整点，，，，，，故①正确；

故答案为：①②．

三、解答题（本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知直线经过两点，，圆．

（1）求直线的方程：

（2）设直线与圆交于，两点，求值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由直线过和两点，根据和的坐标，表示出直线的两点式方程，整理可得直线的方程；

（2）由圆的标准方程找出圆心的坐标及半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理及勾股定理，即可求出的长．

【小问1详解】

直线经过两点，，

直线的方程为：，即；

【小问2详解】

由圆的方程得到圆心，半径，

圆心到直线的距离，

弦长．

17. 已知抛物线，点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由点在抛物线上可得的值，进而求出抛物线的方程；

（2）直线与抛物线联立求出两根之和与两根之积，由若可得实数的值．

【小问1详解】

∵点在抛物线上，

∴，即，

∴抛物线的方程为；

【小问2详解】

设，，，，联立，得，△，得，，，

又，则，

，

或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，

又，

综上：的值为．

18. 已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点．

（Ⅰ）求证：PO平面；

（Ⅱ）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．

【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）（Ⅲ）不存在，见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）正三角形中，由平面得到，所以得到面；（Ⅱ）以点为原点建立空间直角坐标系，根据平面的法向量，和平面的法向量，从而得到平面与平面所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段上存在满足题意的点，直线与平面法向量的夹角为，设，，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点.

【详解】（Ⅰ）证明:因为△是正三角形，

是的中点，

所以 .

又因为平面，平面，

所以.

，平面，

所以面.

（Ⅱ）如图，以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则，

，，

设平面的法向量为

所以，即

令，则 ，

又平面的法向量，

设平面与平面所成锐二面角为，

所以.

所以平面与平面所成锐二面角为.

（Ⅲ）假设线段上存在点，

使得直线与平面所成角，

即直线与平面法向量所成的角为，

设，，

，

所以

所以，

整理得，

，方程无解，

所以，不存在这样的点.

【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.

19. 已知椭圆的两焦点，的坐标分别为和，点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程．

（2）过坐标原点的直线交椭圆于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．

①证明：是直角三角形：

②求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）①证明见解析；②

【解析】

【分析】（1）由已知得，，利用可得答案；

（2）①设直线PQ的斜率为k.则其方程为，联立直线与椭圆方程得到坐标，再由QG与椭圆方程联立得到G点坐标，证明斜率乘积等于即可；②利用两点间的距离公式算得的长度，将三角形的面积用k表示，再结合函数的单调性即可得到答案.

【小问1详解】

由题意，，，

所以，

所以椭圆的方程为：.

【小问2详解】

①：设直线PQ的斜率为k.则其方程为，

由，得，

记，则，，，

于是直线QG的斜率为，方程为，

由得，

设，则和是方程的解，

故，由此得，

从而直线PG的斜率为，

所以，即是直角三角形.

②：由①得，

，

所以的面积，

又，所以，

设，则由得，当且仅当时取等号，

因为，而在单调递增，

所以当，即时，S取得最大值，最大值为.

因此，面积的最大值为.