2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题（试题+答案）

2023年中考数学压轴题专项训练

压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题

例1．（2023•海曙区一模）对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．

（1）若抛物线过点（4，3）．

①求顶点坐标；

②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为 　          　；

（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．

例2．（2023春•上城区校级月考）设二次函数y＝ax2+4ax+4a+1，a为常数，且a＜0．

（1）写出该函数的对称轴和顶点坐标．

（2）若该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2），当n≥1时，试比较y1和y2的大小关系．

（3）若该函数图象经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2，请求出实数n的取值范围．

例3．（2023春•顺义区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；

（3）若当t﹣1＜x1＜t且t+1＜x2＜t+2时，存在y1＝y2，求t的取值范围．

例4．（2023春•柯桥区月考）如图，已知二次函数y＝x2+ax+a+1的图象经过点P（﹣2，3）．

（1）求a的值和图象的顶点坐标．

（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．

①当m＝2时，求n的值．

②当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象直接写出m的值．

1．（2023•深圳模拟）对于“已知x+y＝1，求xy的最大值”这个问题，小明是这样求解的：

∵x+y＝1，∴y＝1﹣x，∴；

∴，所以xy的最大值为．

请你按照这种方法计算：当2n+m＝4（m＞0，n＞0）时，的最小值．

2．（2022秋•诸暨市期末）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．

（1）求b，c的值；

（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；

（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．

3．（2022秋•漳州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．

（1）求b、c的值；

（2）当3≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．

4．（2023•来安县一模）已知关于x的二次函数y1＝（x+2a）（x﹣2b）（其中a，b为常数）．

（1）若a＝1，该二次函数的图象经过点（﹣1，3），求b；

（2）若a＝b﹣2．

①若（﹣1，m）和（3，n）是该二次函数图象上的点，比较m和n的大小；

②设一次函数y2＝﹣x+2b，当函数y＝y1+y2的图象经过点（c，0）时，探索b与c之间的数量关系，并加以推理．

5．（2023•北仑区一模）抛物线y＝（x+1）（x﹣t）（t为常数）经过点A（4，5），B（m，n）．

（1）求t的值；

（2）若n＜5，求m的取值范围．

6．（2023•秦皇岛一模）已知y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1，关于x的方

程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若B点在直线x＝1的左侧，C点在直线x＝1的右侧，且y1＞y2，求n的取值范围；

（3）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小．

7．（2022•无为市三模）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3），连接AB、BC，令λ．

（1）若a＞0，h＝2，求λ的值；

（2）若h＝1，λ，求a的值．

8．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．

（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；

（2）当y1＝y3时，求b的值；

（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．

9．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．

（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．

10．（2022•海淀区校级模拟）二次函数y＝ax2﹣2atx+c（a≠0）的图象经过A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（3，y4）四点．

（1）求二次函数的对称轴（用含的代数式表示）；

（2）已知t＝﹣1，若y2y3＜0，请直接判断y1y4的正负性，即y1y4　   　0（填“＞”或“＜”）；

（3）若y3＞y2＞y4，求t的取值范围并判断y1，y2的大小关系．

11．（2021•西湖区校级二模）已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）．

（1）求b的值；

（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）均在该函数图象上，

①当m＝4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；

②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．

12．（2021•安徽二模）二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．

（1）求a，b的值；

（2）点P为二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象上一动点，且位于第一象限，设△ABP的面积为S1，△CBP的面积为S2，记w＝S1﹣2S2+1，求w的最小值．

13．（2023•龙湾区一模）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为yN．

（1）求顶点C的坐标．

（2）①若n＝3，求MB的值．

②当0＜n≤4时，求yN的取值范围．

14．（2022•香洲区校级三模）直线yx+1与x，y轴分别交于点A，B，抛物线的解析式为y＝2x2﹣4ax+2a2+a．

（1）求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；

（2）若函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；

（3）取a＝﹣1，将线段AB平移得到线段A'B'，若抛物线y＝2x2﹣4ax+2a2+a与线段A'B'有两个交点，求直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围．

15．（2022•柘城县校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，m）和点（6，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＜0）上．

（1）若m＝4，n＝﹣12，求抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）已知点A（1，y1），B（4，y2）在该抛物线上，且mn＝0．

①比较y1，y2，0的大小，并说明理由；

②将线段AB沿水平方向平移得到线段A'B'，若线段A'B'与抛物线有交点，直接写出点A'的横坐标x的取值范围．

16．（2022•博望区校级一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0）．

（1）求a的值；

（2）若点B（m，n）与点C（m+1，n+1）都在抛物线y＝x2﹣2ax﹣3上，求m+n的值；

（3）若一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1+y2的最小值．

17．（2022•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0），

（1）求二次函数对称轴；

（2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标．

（3）抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2）若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，求t的取值范围．

18．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；

（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．

19．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．

（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．

（2）若（x1，y1），（x2，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．

（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．

20．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．

（1）求b，c的值；

（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．

①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；

②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．