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2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题03二次函数图象与性质大题专练（试题+答案）
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2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题03二次函数图象与性质大题专练（七大类型）
类型一、二次函数解析式
例1．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A1,2，B2,3，C2,1，直线y=x+m经过点A，抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线y=x+m上，并说明理由；
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线y=ax2+bx+1，若所得新抛物线的顶点仍在直线y=x+m上，且经过点0,1，求新抛物线的表达式．
类型二、二次函数的对称性
例2．（2023·北京西城·北京市第十三中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−a+2x+2经过点A−2,t，Bm,p．
(1)若t=0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p
类型三、二次函数的最值问题
例3．（2023·河南周口·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−4mx+m2−2m．
(1)若抛物线经过A−1,0，B0,3两点时，求抛物线的解析式；
(2)若点M2,yM，N3,yN在抛物线上，且yM>yN，请求出m的取值范围；
(3)当−1≤x≤2时，函数y的最小值等于6，直接写出m的值．
类型四、二次函数与方程不等式的推理计算
例4．（2023·浙江·模拟预测）在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）．
(1)当a=−1时，
①若该函数图象的对称轴为直线x=2，且过点1，4，求该函数的表达式；
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：b+4c≤14；
(2)已知该函数的图象经过点m，m，n，nm≠n．若b<0，m+n=3，求a的取值范围．
类型五、二次函数与公共点交点问题
例5．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模）在平面直角坐标系中，函数函数y=x2−2mx+m2−4（m为常数）的图象记为G．
(1)设m>0，当G经过点(2,0)时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．
(2)判断图象G与x轴公共点的个数．并说明理由．
(3)当2m≤x≤m+3时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围．
(4)线段AB的端点坐标分别为A(0,2)、B(7,4)，当图象G与x轴有两个公共点时，设其分别为点C、点D（点C在点D左侧），直接写出四边形ACDB周长的最小值及此时m的值．
类型六、二次函数的图象问题
例6．（2023·山东济宁·统考一模）数形结合是解决数学问题的重要方法．小爱同学学习二次函数后，对函数y=−x−12进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：________；
②方程−x−12=−1的解为：___________；
③若方程−x−12=a有四个实数根，则a的取值范围是__________．
(2)延伸思考．
①将函数y=−x−12的图象经过怎样的平移可得到函数y1=−x−2−12+3的图象？画出平移后的图象并写出平移过程：
②观察平移后的图像，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取值范围_________．
类型七、二次函数与新定义材料问题
例7（2023·四川达州·统考一模）定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”，例如：点1,1是函数y=12x+12的图像的“等值点”．
(1)分别判断函数y=x+1，y=x2−x的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数y=3xx>0，y=−x+b的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
(3)若函数y=x2−2x≥m的图像记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图像记为W2，当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
一．解答题（共24小题）
1．（2023•鼓楼区一模）已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为 ；
（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．
2．（2023•西湖区模拟）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝2，求该函数图象顶点坐标；
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（1，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时．y1＞y2，求a的取值范围．
3．（2023•温州一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣2的图象经过点（3，2）．
（1）求该函数的表达式，并在图中画出该函数的大致图象．
（2）P是该函数图象上一点，在对称轴右侧，过点P作PD⊥x轴于点D．当PD≤1时，求点P横坐标的取值范围．
4．（2023•佳木斯一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，D是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）若S△BCD=32，请直接写出点D的坐标．
5．（2023•涧西区一模）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点（﹣1，5），（2，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且0＜x1＜1，2＜x2＜3．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）点P的坐标为（n，﹣3），点Q的坐标为（n+3，﹣3），若线段PQ与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
6．（2023•青龙县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3与坐标轴交于A，B两点，经过点B的抛物线y＝ax2+bx交直线AB于点C（2，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AB上方的抛物线上是否存在点P，使得S△PAO＝S△PBO，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
7．（2023•秦淮区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数的图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为8，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
8．（2023•瓯海区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式和图象顶点P的坐标．
（2）若M（m，y1），N（n，y2）是该二次函数图象上不同的两点．当y1＝y2时，m﹣n＝5，求点P到直线MN的距离．
9．（2023•泗洪县一模）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式；
（3）设该抛物线上有两点A（m，y1）B（3，y2），若y1＜y2，求m的取值范围．
10．（2023•安徽模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（1，m）、（﹣1，n）．
（1）小明判断m，n满足关系式：m﹣n＝2b，请判断他的说法是否正确，并说明理由；
（2）若m＝2，n＝0，求该二次函数的表达式；
（3）当a＜0，且满足a+b＝0时，若该函数图象上的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．
11．（2023•平阳县一模）已知抛物线y＝x2+2cx+c．
（1）若抛物线与y轴的交点为（0，3），求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点A（m，n），B（m﹣4，n）在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值．
12．（2023•盐田区二模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若a＝﹣2，当0≤x≤3时，求y的最大值和最小值；
（3）若抛物线与直线y＝x+1始终有交点，求a的取值范围．
13．（2023•天门一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4（a≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若a＝﹣1，当t﹣1≤x≤t时，二次函数y＝ax2﹣4ax﹣4的最大值为﹣1，求t的值；
（3）直线y＝x﹣2经过点C（m，﹣5），将点C向右平移6个单位长度，得到点C1，若抛物线与线段CC1只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围．
14．（2023•越秀区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点 B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为 （h1，k1）．抛物线 y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9 的顶点坐标 记为 （h2，k2）．
（1）直接写出 k1，k2 的值；（用含n的代数式表示）
（2）当﹣4≤n≤4时，探究 k1 与 k2的大小关系；
（3）经过点 M（2n+9，﹣5n2）和点 N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物 线 y1＝﹣（x+4）（x﹣n） y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9 的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．
15．（2023•温江区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3（a≠0）和直线y＝﹣x+4．
（1）抛物线的对称轴是 ；抛物线的顶点M坐标为 ；
（2）设该抛物线与直线y＝﹣x+4的一个交点为A，其横坐标为m，若0≤m＜12，求a的取值范围；
（3）我们规定若函数图象上存在一点P（s，t），满足s+t＝1，则称点P为函数图象上“圆满点”．例如：直线y＝2x﹣1上存在的“圆满点”P(23，13)，若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3（a≠0）上存在唯一的“圆满点”P，求此时△OPM的面积．
16．（2023•来安县一模）已知关于x的二次函数y1＝（x+2a）（x﹣2b）（其中a，b为常数）．
（1）若a＝1，该二次函数的图象经过点（﹣1，3），求b；
（2）若a＝b﹣2．
①若（﹣1，m）和（3，n）是该二次函数图象上的点，比较m和n的大小；
②设一次函数y2＝﹣x+2b，当函数y＝y1+y2的图象经过点（c，0）时，探索b与c之间的数量关系，并加以推理．
17．（2023•秦皇岛一模）已知y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1，关于x的方
程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若B点在直线x＝1的左侧，C点在直线x＝1的右侧，且y1＞y2，求n的取值范围；
（3）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小．
18．（2023•南山区一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为 ．
19．（2023•南山区模拟）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数y=12(x+2)2−2的图象相交于点A（1，m）、B（﹣2，n）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＜12(x+2)2−2的解集；
（3）方程12(x+2)2−2−n=0在﹣3≤x≤1范围内只有一个解，求n的取值范围；
（4）把二次函数y=12(x+2)2−2的图象左右平移得到抛物线G：y=12(x−m)2−2，直接写出当抛物线G与线段AB只有一个交点时m的取值范围．
20．（2023•深圳一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y=16x的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞16x的解集为 ．
21．（2023•信阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），关于直线x＝0的“镜面函数”图象上的两点 P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，直接写出t的取值范围 ．
22．（2023•义乌市校级模拟）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（13，13）是函数y＝x图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y=2x图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，−12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
23．（2022•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
24．（2022•零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是 ；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
2023年中考数学压轴题专项训练
压轴题03二次函数图象与性质大题专练（七大类型）
类型一、二次函数解析式
例1．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A1,2，B2,3，C2,1，直线y=x+m经过点A，抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线y=x+m上，并说明理由；
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线y=ax2+bx+1，若所得新抛物线的顶点仍在直线y=x+m上，且经过点0,1，求新抛物线的表达式．
类型二、二次函数的对称性
例2．（2023·北京西城·北京市第十三中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−a+2x+2经过点A−2,t，Bm,p．
(1)若t=0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p
类型三、二次函数的最值问题
例3．（2023·河南周口·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−4mx+m2−2m．
(1)若抛物线经过A−1,0，B0,3两点时，求抛物线的解析式；
(2)若点M2,yM，N3,yN在抛物线上，且yM>yN，请求出m的取值范围；
(3)当−1≤x≤2时，函数y的最小值等于6，直接写出m的值．
类型四、二次函数与方程不等式的推理计算
例4．（2023·浙江·模拟预测）在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）．
(1)当a=−1时，
①若该函数图象的对称轴为直线x=2，且过点1，4，求该函数的表达式；
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：b+4c≤14；
(2)已知该函数的图象经过点m，m，n，nm≠n．若b<0，m+n=3，求a的取值范围．
类型五、二次函数与公共点交点问题
例5．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模）在平面直角坐标系中，函数函数y=x2−2mx+m2−4（m为常数）的图象记为G．
(1)设m>0，当G经过点(2,0)时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．
(2)判断图象G与x轴公共点的个数．并说明理由．
(3)当2m≤x≤m+3时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围．
(4)线段AB的端点坐标分别为A(0,2)、B(7,4)，当图象G与x轴有两个公共点时，设其分别为点C、点D（点C在点D左侧），直接写出四边形ACDB周长的最小值及此时m的值．
类型六、二次函数的图象问题
例6．（2023·山东济宁·统考一模）数形结合是解决数学问题的重要方法．小爱同学学习二次函数后，对函数y=−x−12进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：________；
②方程−x−12=−1的解为：___________；
③若方程−x−12=a有四个实数根，则a的取值范围是__________．
(2)延伸思考．
①将函数y=−x−12的图象经过怎样的平移可得到函数y1=−x−2−12+3的图象？画出平移后的图象并写出平移过程：
②观察平移后的图像，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取值范围_________．
类型七、二次函数与新定义材料问题
例7（2023·四川达州·统考一模）定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”，例如：点1,1是函数y=12x+12的图像的“等值点”．
(1)分别判断函数y=x+1，y=x2−x的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数y=3xx>0，y=−x+b的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
(3)若函数y=x2−2x≥m的图像记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图像记为W2，当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
一．解答题（共24小题）
1．（2023•鼓楼区一模）已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为 ；
（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．
2．（2023•西湖区模拟）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝2，求该函数图象顶点坐标；
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（1，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时．y1＞y2，求a的取值范围．
3．（2023•温州一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣2的图象经过点（3，2）．
（1）求该函数的表达式，并在图中画出该函数的大致图象．
（2）P是该函数图象上一点，在对称轴右侧，过点P作PD⊥x轴于点D．当PD≤1时，求点P横坐标的取值范围．
4．（2023•佳木斯一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，D是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）若S△BCD=32，请直接写出点D的坐标．
5．（2023•涧西区一模）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点（﹣1，5），（2，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且0＜x1＜1，2＜x2＜3．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）点P的坐标为（n，﹣3），点Q的坐标为（n+3，﹣3），若线段PQ与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
6．（2023•青龙县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3与坐标轴交于A，B两点，经过点B的抛物线y＝ax2+bx交直线AB于点C（2，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AB上方的抛物线上是否存在点P，使得S△PAO＝S△PBO，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
7．（2023•秦淮区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数的图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为8，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
8．（2023•瓯海区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式和图象顶点P的坐标．
（2）若M（m，y1），N（n，y2）是该二次函数图象上不同的两点．当y1＝y2时，m﹣n＝5，求点P到直线MN的距离．
9．（2023•泗洪县一模）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式；
（3）设该抛物线上有两点A（m，y1）B（3，y2），若y1＜y2，求m的取值范围．
10．（2023•安徽模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（1，m）、（﹣1，n）．
（1）小明判断m，n满足关系式：m﹣n＝2b，请判断他的说法是否正确，并说明理由；
（2）若m＝2，n＝0，求该二次函数的表达式；
（3）当a＜0，且满足a+b＝0时，若该函数图象上的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．
11．（2023•平阳县一模）已知抛物线y＝x2+2cx+c．
（1）若抛物线与y轴的交点为（0，3），求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点A（m，n），B（m﹣4，n）在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值．
12．（2023•盐田区二模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若a＝﹣2，当0≤x≤3时，求y的最大值和最小值；
（3）若抛物线与直线y＝x+1始终有交点，求a的取值范围．
13．（2023•天门一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4（a≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若a＝﹣1，当t﹣1≤x≤t时，二次函数y＝ax2﹣4ax﹣4的最大值为﹣1，求t的值；
（3）直线y＝x﹣2经过点C（m，﹣5），将点C向右平移6个单位长度，得到点C1，若抛物线与线段CC1只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围．
14．（2023•越秀区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点 B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为 （h1，k1）．抛物线 y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9 的顶点坐标 记为 （h2，k2）．
（1）直接写出 k1，k2 的值；（用含n的代数式表示）
（2）当﹣4≤n≤4时，探究 k1 与 k2的大小关系；
（3）经过点 M（2n+9，﹣5n2）和点 N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物 线 y1＝﹣（x+4）（x﹣n） y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9 的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．
15．（2023•温江区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3（a≠0）和直线y＝﹣x+4．
（1）抛物线的对称轴是 ；抛物线的顶点M坐标为 ；
（2）设该抛物线与直线y＝﹣x+4的一个交点为A，其横坐标为m，若0≤m＜12，求a的取值范围；
（3）我们规定若函数图象上存在一点P（s，t），满足s+t＝1，则称点P为函数图象上“圆满点”．例如：直线y＝2x﹣1上存在的“圆满点”P(23，13)，若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3（a≠0）上存在唯一的“圆满点”P，求此时△OPM的面积．
16．（2023•来安县一模）已知关于x的二次函数y1＝（x+2a）（x﹣2b）（其中a，b为常数）．
（1）若a＝1，该二次函数的图象经过点（﹣1，3），求b；
（2）若a＝b﹣2．
①若（﹣1，m）和（3，n）是该二次函数图象上的点，比较m和n的大小；
②设一次函数y2＝﹣x+2b，当函数y＝y1+y2的图象经过点（c，0）时，探索b与c之间的数量关系，并加以推理．
17．（2023•秦皇岛一模）已知y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1，关于x的方
程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若B点在直线x＝1的左侧，C点在直线x＝1的右侧，且y1＞y2，求n的取值范围；
（3）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小．
18．（2023•南山区一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为 ．
19．（2023•南山区模拟）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数y=12(x+2)2−2的图象相交于点A（1，m）、B（﹣2，n）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＜12(x+2)2−2的解集；
（3）方程12(x+2)2−2−n=0在﹣3≤x≤1范围内只有一个解，求n的取值范围；
（4）把二次函数y=12(x+2)2−2的图象左右平移得到抛物线G：y=12(x−m)2−2，直接写出当抛物线G与线段AB只有一个交点时m的取值范围．
20．（2023•深圳一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y=16x的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞16x的解集为 ．
21．（2023•信阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），关于直线x＝0的“镜面函数”图象上的两点 P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，直接写出t的取值范围 ．
22．（2023•义乌市校级模拟）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（13，13）是函数y＝x图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y=2x图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，−12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
23．（2022•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y=x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
24．（2022•零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是 ；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
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