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2023年中考数学压轴题专项训练 专题22二次函数与新定义综合问题（试题+答案）
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挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题22二次函数与新定义综合问题
【例1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可；
（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分两种情况讨论：①当EG＝EF时，2＝，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，
解得，
∴y＝x2+x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）；
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM＝t2+t﹣1﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣t+2，
∴＝＝；
（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），
设F（x，0），
①当EG＝EF时，
∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，
∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；
②当EG＝FG时，2＝，
此时x无实数根；
综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
【例2】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有 ②③ （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2＞1，＜1，
∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，
∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或a＝﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，当n＞0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝；
当抛物线经过点B时，n＝1；
∴≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；
综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．
【例3】（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b＝a+3时，函数y有最大值ymax，最小值ymin，设h＝ymax﹣ymin，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝ymax﹣ymin为一个常数（与a无关）时，称y有“极差常函数”．
（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”．
①y＝2x （ √ ）；
②y＝﹣2x+2 （ √ ）；
③y＝x2 （ × ）．
（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；
（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．
【分析】（1）①由一次函数的性质可知h＝2（a+3）﹣2a＝6，则y＝2x是“极差常函数”；
②由一次函数的性质可知h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，则y＝﹣2x+2是“极差常函数”；
③由二次函数的性质可知，当a+3≤0时，h＝﹣9﹣6a不是常数，则y＝x2 不是“极差常函数”，
（2）根据一次函数的图象及性质可得＝2，再分两种情况讨论：当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3；分别求出p、q的值即可求函数的解析式；
（3）函数的对称轴为直线x＝+，由a的范围确定≤+≤，≤a+3≤，由（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣＞0，可知a+3到对称轴的距离大于a到对称轴的距离，则当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，求出h，再由a的范围确定4ah的范围即可．
【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，
∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，
∴y＝2x是“极差常函数”，
故答案为：√；
②∵y＝﹣2x+2 是一次函数，且y随x值的增大而减小，
∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，
∴y＝﹣2x+2是“极差常函数”，
故答案为：√；
∵y＝x2 是二次函数，函数的对称轴为直线x＝0，
当a+3≤0时，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；
当a≥0时，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；
∴y＝x2 不是“极差常函数”，
故答案为：×；
（2）当x＝0时，y＝q，
∴函数与y轴的交点为（0，q），
当y＝0时，x＝﹣，
∴函数与x轴的交点为（﹣，0），
∴S＝×|q|×|﹣|＝1，
∴＝2，
当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，
∴p＝1，
∴q＝±，
∴函数的解析式为y＝x；
当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，
∴p＝﹣1，
∴q＝±，
∴函数的解析式为y＝﹣x；
综上所述：函数的解析式为y＝x或y＝﹣x；
（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，
∴函数的对称轴为直线x＝，
∵b＝a+3，
∴x＝＝+，
∵，
∴≤+≤，≤a+3≤，
∵（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣，
∵，
∴2a+2﹣＞0，
∴a+3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，
∴当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，
当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，
∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+＝（a+3）2（a﹣1+），
∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，
∵2a2+5a﹣3＝2（a+）2﹣，，
∴≤2a2+5a﹣3≤9，
∴≤4ah≤81．
【例4】（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．
例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：
设x＝m+1①，y＝﹣m+1②
由①得m＝x﹣1③
将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2
则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．
【迁移应用】
在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．
（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；
（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．
ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；
ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设x＝﹣a，y＝﹣a2﹣a+3，可得y＝﹣x2+x+3；
（2）ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，由k＝（2+h）2，可得y＝（x+2）2；
ⅱ）C（2，4）在y＝（x+2）2上，则C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，C（﹣4﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧不符合题意．
【解答】解：（1）设x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，
由①得a＝﹣x③，
∴y＝﹣x2+x+3；
（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，
∴C（2，4），
令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，
解得x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，
∴C'（h，k），
∵经过点A（﹣2，0），
∴k＝（2+h）2，
令x＝h，y＝k＝（2+h）2，
∴y＝（x+2）2；
ⅱ）存在点C'，使△ACC'为等腰三角形，理由如下：
∵C（2，4）在y＝（x+2）2上，
∴C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），
此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；
设C'（m，m2+m+1），
当AC'＝CC'时，（m+2）2+（m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（m2+m+1﹣4）2，
解得m＝﹣4﹣2或m＝﹣4+2（舍），
∴C（﹣4﹣2，6+2）；
当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧，此时不符合题意；
综上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．
一．解答题（共20题）
1．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．
例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．
（1）当m＝0时，
①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为 y＝﹣x﹣7 ．
②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝ 6 ．
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．
【分析】（1）①由相关函数的定义，将y＝﹣x+7旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7；②先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即可得到答案；
（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；
（3）先确定相关函数，然后根据m的取值范围，对m进行分类讨论，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．
【解答】解：（1）①根据相关函数的定义，
y＝﹣x+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7，
故答案为：y＝﹣x﹣7；
②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，
∴y＝ax2﹣2ax+a关于点P（0，0）的相关函数为y＝﹣a（x+1）2，
∵点A（5，﹣6）在二次函数y＝﹣a（x+1）2的图象上，
∴﹣6＝﹣a（5+1）2，
解得：a＝；
（2）y＝（x﹣2）2+6的顶点为（2，6），
y＝﹣（x﹣10）2﹣66的顶点坐标为（10，﹣6）；
∵两个二次函数的顶点关于点P （m，0）成中心对称，
∴m＝＝6，
故答案为：6；
（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，
∴y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣（x+m）2+5m2．
①当﹣m≤m﹣1，即m≥时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，
∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，
解得m1＝﹣2﹣（不符合题意，舍去），m2＝﹣2+；
②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，
∴5m2＝8，
解得：m＝±（不合题意，舍去）；
③当﹣m＞m+2，即m＜﹣1时，当x＝m+2，y有最大值为8，
∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，
解得：m＝4﹣2或，m＝4+2（不符合题意，舍去），
综上，m的值为﹣2+或4﹣2．
2．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．
（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝ ﹣1 ；
若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝ 3或﹣1 ；
（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据“梅岭点”的定义，P（3．p）的横纵坐标相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的横纵坐标相等，即m＝，分别求解即得答案；
（2）由题意得：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，对比两个方程的系数，即可求出b，c，进而得出答案：y＝x2+5x+4；
（3）先由“梅岭点”的定义证明x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得出x1+x2＝，x1•x2＝，进而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，再由﹣1＜x1＜1计算出a的取值范
围，即可求出k的取值范围．
【解答】解：（1）∵点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的梅岭点，
∴p＝3m+6＝3，
解得：m＝﹣1，
∵点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，
∴m＝，
整理得：m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m1＝3，m2＝﹣1，
经检验，m1＝3，m2＝﹣1都是m＝的根，
∴m＝3或﹣1；
故答案为：﹣1；3或﹣1；
（2）点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，
即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），
∴方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，
即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，
∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．
∴b﹣1＝4，c＝4，
∴b＝5，
∴二次函数的表达式为y＝x2+5x+4；
（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），
∴c＝2，
∴y＝ax2+bx+2，
∵y＝ax2+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），
∴x1＝ax12+bx1+2，x2＝ax22+bx2+2，
∴ax12+（b﹣1）x1+2＝0，ax22+（b﹣1）x2+2＝0，
∴x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，
∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，
∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，
∵﹣1＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3
∴﹣3＜x1•x2＜3，
∴﹣3＜＜3，
∵a＞0，
∴a＞，
∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（+1）2+7＝﹣，
∴．
3．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．
（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是 （﹣2，﹣2） ；
函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是 （0，0）或（4，4） ；（直接填结果）
（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函y＝的图象上有“等值点”A（2，2），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为4可得×|b|×|2﹣b|＝4，分类求解即可．
【解答】解：（1）在y＝2x+2中，令x＝2x+2，解得x＝﹣2
∴函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；
在y＝x2﹣3x中，令x2﹣3x＝x，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴函数y＝x2﹣3x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（4，4）；
故答案为：（﹣2，﹣2）；（0，0）或（4，4）；
（2）在函数y＝中，令x＝，
解得：x＝2，
∴A（2，2），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
解得：x＝b，
∴B（b，b），
∵BC⊥x轴，
∴C（b，0），
∴BC＝|b|，
∵△ABC的面积为4，
∴×|b|×|2﹣b|＝4，
当b＜0时，b2﹣4b﹣32＝0，
解得b＝﹣4，
当0≤b＜2时，b2﹣4b+32＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×32＝﹣112＜0，
∴方程b2﹣4b+32＝0没有实数根，
当b≥2时，b2﹣4b﹣32＝0，
解得：b＝8，
综上所述，b的值为﹣4或8．
4．（2022•洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．
（1）函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．
（2）如图所示的是y＝|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝x2+2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x+m与y2＝|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．
【分析】（1）根据“凤凰函数”的定义，当数y1＝﹣x+m与y2＝﹣有两个交点，即可判定函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣互为“凤凰函数”，当m＝1时，解方程即可求得；
（2）由图象可知直线在l1和l2之间平移（不含两条直线）或在直线l3的右侧平移时，直线y1＝﹣x+m与y＝|x2+2x|的图象有两个交点，据此即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）由y1＝y2得，
整理得x2﹣mx﹣2＝0，Δ＝m2+8＞0，
∴y1＝﹣x+m与是互为“凤凰函数”，
当m＝1时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴x1＝﹣1，x2＝2是y1＝﹣x+m与的“凤凰根”．
（2）如图：y1＝﹣x+m与有两个的“凤凰根”，
则直线在l1和l2之间平移（不含两条直线）或在直线l3的右侧平移．
解方程，得x1＝﹣4，x2＝0，
故y与x轴交点P和交点O的坐标分别为（﹣4，0）和（0，0）．
将（﹣4，0）和（0，0）代入y1＝﹣x+m，
得m＝﹣4和m＝0．
故当﹣4＜m＜0时，y1与y2有两个的“凤凰根”；
当y1＝﹣x+m与相切时，
联立可得方程，
整理，得，
∴．
当y1＝﹣x+m在直线l3的右侧平移，
即时，y1与y2有两个“凤凰根”．
综上所述，当﹣4＜m＜0或时，y1与y2互为“凤凰根”，且有两个“凤凰根”．
5．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．
（2）如图①，设函数y＝（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；
（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由定义可知，函数与y＝﹣x的交点即为“互反点”；
（2）求出A（﹣，），B（﹣b，b），可得S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，求出b的值；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的对称抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，联立方程组，当Δ＝0时，m＝﹣，因此当m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，解得m＝﹣1或m＝2，结合图象可知：﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【解答】解：（1）y＝﹣x+3中，x+y＝3，
∴y＝﹣x+3的图象上不存在“互反点”；
y＝x2+x中，当y＝﹣x时，﹣x＝x2+x，
解得x＝0或x＝﹣2，
∴（0，0），（﹣2，2）是y＝x2+x的图象上的“互反点”；
（2）y＝（x＜0）中，当y＝﹣x时，﹣x＝，
解得x＝﹣，
∴A（﹣，），
y＝x+b中，当y＝﹣x时，﹣x＝x+b，
解得x＝﹣b，
∴B（﹣b，b），
∴BC＝|b|，
∴S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，
解得b＝4或b＝﹣2；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的对称抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，
由定义可知，“互反点”在直线y＝﹣x上，
联立方程组，
整理得x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
Δ＝（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＝0，
解得m＝﹣，
当m＜﹣时，y＝﹣（x﹣2m）2+2与y＝﹣x没有交点，此时y＝﹣x与y＝﹣x2+2有两个交点，
∴m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当x＝m时，y＝﹣m2+2，
∴函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），
当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，﹣m2+2＝﹣m，
解得m＝﹣1或m＝2
当m＝﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，
∴m＞﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，
∴m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
∴﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
综上所述：﹣1＜m＜2或m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
6．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．
（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，
①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；
②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；
（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．
【分析】（1）①运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案；
②由y＝﹣x与y＝ax2+bx+c联立可得x2﹣3x﹣4＝0，运用根的判别式可得Δ＞0，即可得出结论；
（2）如图，连接AC，先求出直线CD的解析式为y＝x+c，可得E（﹣，0），再利用求根公式可得：A（，0），B（，0），再证明△EAC∽△ECB，可得CE2＝AE•BE，即c2+＝（+）（+），化简即可得出答案．
【解答】解：（1）①当a＝﹣1，b＝2，c＝4时，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，
∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为D（1，5）；
②当y＝﹣x时，﹣x2+2x+4＝﹣x，
整理得：x2﹣3x﹣4＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，
∴二次函数y＝﹣x2+2x+4有两个不同的“零和点”；
（2）如图，连接AC，
∵y＝ax2+bx+c，
∴C（0，c），顶点D（﹣，），
设直线CD的解析式为y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝x+c，
∴E（﹣，0），
∵A（，0），B（，0），
∴AE＝﹣（﹣）＝+，BE＝﹣（﹣）＝+，
∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，
∴△EAC∽△ECB，
∴＝，
∴CE2＝AE•BE，
在Rt△CEO中，CE2＝OC2+OE2＝c2+（）2＝c2+，
∴c2+＝（+）（+），
化简得：ac＝﹣1，
故ac的值为﹣1．
7．（2022秋•海安市校级月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．
（1）判断函数y＝x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）求函数y＝x2﹣2的图象的“等值点”坐标；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，求出m的值．
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（3）根据（2）中求出的y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可．
【解答】解：（1）不存在，理由：
在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，
∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；
（2）令x＝x2﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2）；
（3）①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
W1：y＝x2﹣2（x≥m），
W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），
令x＝（x﹣2m）2﹣2，
整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
∵W2的图象上不存在“等值点”，
∴Δ＜0，
∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，
∴m＜﹣，
②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），
③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），
⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，m＝1．
8．（2022秋•长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（﹣1，1）是函数y＝﹣x图象的“1阶方点”．
（1）在①（﹣1，2）；②（0，0）；③（，﹣1）三点中，是正比例函数y＝﹣2x图象的“1阶方点”的有 ②③ （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点（n，n），则点（n，n）称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【解答】解：（1）（﹣1，2）到x轴距离为2，不符合题意，
（0，0）到两坐标轴的距离都等于0，符合题意，
③（，﹣1）到x轴距离为1，到y轴距离为，符合题意，
故答案为：②③．
（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，
∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C（2，﹣2）时，﹣2＝2a﹣3a+1，
解得a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D（2，2）时，2＝2a﹣3a+1，
解得a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或a＝﹣1．
（3）∵点（n，n）在直线y＝x上，
∴y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”时，方程x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2＝x有两个相等实数根，
∴Δ＝（p﹣t）2﹣q﹣t+2＝0，
∴q＝（p﹣t）2﹣t+2，
∵当2≤p≤3时，q的最小值为t，
若p＝t，则q的最小值为﹣t+2，则﹣t+2＝t，
解得t＝p＝1，不符合题意．
当t＜2时，若p＝2，则q取最小值，即q＝（2﹣t）2﹣t+2＝t
解得t＝3+（舍）或t＝3﹣，
当t＞3时，若p＝3，则q取最小值，即q＝（3﹣t）2﹣t+2＝t
解得t＝4﹣（舍）或t＝4+，
综上所述，t＝3﹣或4+．
9．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．
（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：c的取值范围．
（3）将函数y＝x2﹣8（x≥m）的图象记为W1，其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，W1和W2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）联立方程求解．
（2）令ax2+5x+c＝x，根据根的判别式Δ＝0可得ac的值，进而求解．
（3）令x2﹣8＝2x，求出抛物线y＝x2﹣8与直线y＝2x的交点横坐标，由函数y＝x2﹣8（x≥m）求出翻折后函数解析式，结合图象求解．
【解答】解：（1）由题意可得“2倍点”在直线y＝2x上，
联立方程，
解得，，
∴函数y＝x2﹣8的图象上存在“2倍点”，点（﹣2，﹣4），（4，8）是该图象的“2倍点”．
（2）令ax2+5x+c＝x，整理得ax2+4x+c＝0，
由题意得Δ＝42﹣4ac＝0，
∴ac＝4，
∴c＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜4．
（3）图象y＝x2﹣8（x≥m）关于直线x＝m翻折后解析式为y＝（x﹣2m）2﹣8（x＜m），
令x2﹣8＝2x，
解得x＝﹣2或x＝4，
当m＝4时，如图，
图象W有1个“2倍点”，
∴m＜4时符合题意，
当m＝﹣2时，如图，
图象W有3个“2倍点”，
∴﹣2＜m＜4符合题意．
令（x﹣2m）2﹣8＝2x，整理得x2﹣（4m+2）x+4m2﹣8＝0，
当Δ＝（4m+2）2﹣4（4m2﹣8）＝0时，
解得m＝﹣，
∴m＜﹣时符合题意．
综上所述，﹣2＜m＜4或m＜﹣．
10．（2022秋•通州区校级月考）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．例如：当n＝1时，函数关于点P（0，1）的相关函数为．
（1）当n＝0时．
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 y＝﹣x2 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
（2）函数关于点P的相关函数是，则n＝ ﹣ ．
【分析】（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，即可求解；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；
（2）两个函数的顶点分别为：（0，3）、（0，﹣5），由中点公式即可求解．
【解答】解：（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），
则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，
将点A（2，3）代入得3＝﹣a（2+1）2，
解得：a＝﹣；
（2）两个函数的顶点分别为：（0，3）、（0，﹣5），
由中点公式得：n＝＝﹣，
故答案为：﹣．
11．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（﹣，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．
（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：
①c的取值范围；
②直接写出∠EMN的度数．
【分析】（1）根据“2倍点”的概念直接作答即可；
（2）①根据有且只有一个“1倍点”求出a与c的数量关系，根据a的取值范围求出c的取值范围；
②先求点E的坐标，然后求点M和点N的坐标，然后比较线段长度，最后求出∠EMN的度数．
【解答】解：（1）存在，
设“2倍点”的坐标为（x，2x），
则2x＝x²﹣8，
解得：x＝﹣2或4，
∴“2倍点”的坐标为（﹣2，﹣4）或（4，8）；
（2）①由题意可知，
y＝ax2+5x+c与y＝x有且只有交点，
则x＝ax2+5x+c，
整理得：ax2+4x+c＝0，则该方程有两个相同的实数根，
即Δ＝16﹣4ac＝0，
∴ac＝4，
∴a＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜4；
②如图，过点E作EF⊥OM于点F，
由根与系数的关系可知，ax2+4x+c＝0，
，
又∵两个根相等，
∴，
∴点E的坐标为（，），
∴EF＝OF＝，
由①可知，a＝，
则c＝，
∴y＝ax2+5x+c可以写成y＝ax2+5x+，
令y＝0，
则ax2+5x+＝0，
由求根公式可得，
x＝，
解得：，，
∴点M的坐标为（，0），
∴OM＝，
∴MF＝OM﹣OF＝，
∴MF＝EF，
∵∠EFM＝90°，
∴∠EMN＝45°．
12．（2022秋•汉阴县校级月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+4交y轴于点C，顶点为D．
（1）求点C、D的坐标；
（2）定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；
（3）连接CD，点Q是第一象限直线CD上的点，过Q作QM⊥x轴，交x轴于点M，若Q点的横坐标为x，△QMO的面积为S，求S关于x的函数解析式．
【分析】（1）利用y轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后把一般式化为顶点式得到D点坐标；
（2）设二次函数图象上的“零和点”P的坐标为（x，﹣x），把P（x，﹣x）代入y＝﹣x2+2x+4得﹣x2+2x+4＝﹣x，由于解关于x的方程有两个不相等的实数解，从而判断此二次函数有两个不同的“零和点”；
（3）先利用待定系数法求出直线CD的解析式为y＝x+4，设Q（x，x+4）（x＞0），然后根据三角形的面积公式可得到S关于x的函数解析式．
【解答】（1）解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+4＝4，则C点坐标为（0，4）；
∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴顶点D的坐标为（1，5）；
（2）证明：设二次函数图象上的“零和点”P的坐标为（x，﹣x），
把P（x，﹣x）代入y＝﹣x2+2x+4得﹣x2+2x+4＝﹣x，
整理得x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴P点坐标为（﹣1，1）和（4，﹣4），
∴此二次函数有两个不同的“零和点”；
（3）解：设直线CD的解析式为y＝kx+b，
把C（0，4），D（1，5）分别代入得，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝x+4，
设Q（x，x+4）（x＞0），
∴S＝OM•QM＝x•（x+4）＝x2+2x，
即S关于x的函数解析式为S＝x2+2x（x＞0）．
13．（2022•红河州二模）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．
（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）如图2，直线AB与x轴，y轴分别交于A（12，0），B（0，9）两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；
（3）如图3，抛物线y＝ax2+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC，求a的值．
【分析】（1）BD平分∠ABC及AD∥BC，推出AB＝AD，即可得出结论；
（2）求出B，A的坐标，OB，OA，AB的长度，用含t的代数式表示出AQ，AP，BQ，OP，连接PQ，证△AQP∽△ABO，推出∠APQ＝∠AOB＝90°，求出QP＝3t，根据“和睦四边形”的定义分情况讨论可求出t的值；
（3）用含字母的代数式表示顶点D的坐标，由CD＝OC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）解：∵A（12，0），B（0，9），
∴OB＝9，OA＝12，
∴AB＝＝15，
由题意得：AQ＝5t，AP＝4t，BQ＝15﹣5t，OP＝12﹣4t，
连接PQ，
，，
∴，
又∵∠BAO＝∠QAP，
∴△AQP∽△ABO，
∴∠APQ＝∠AOB＝90°，
∴QP＝＝3t，
∵四边形BOPQ为“和睦四边形”，
①当OB＝OP时，9＝12﹣4t，
∴；
②当OB＝BQ时，9＝15﹣5t，
∴；
③当OP＝PQ时，12﹣4t＝3t，
∴；
④当BQ＝PQ时，15﹣5t＝3t，
∴，
综上所述，t的值为或或或；
（3）解：由题意可得：顶点D的坐标为，C（0，2），
∵CD＝OC，
∴CD2＝OC2，
∴，
化简得：，
∵a＜0，
∴．
14．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．
（1）在函数①y＝﹣x+3，②y＝③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是 ③ ；（填序号）
（2）设函数y＝﹣（x＜0）与y＝kx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；
（3）若将函数y＝x2+2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．
【分析】（1）判断y＝﹣x与各个函数图像是否有公共点即可；
（2）先得出y＝﹣的“好点”，从而得出AC的长，在y＝﹣x上的点B，使得AB＝AC，从而求得点B坐标，将B点坐标代入y＝kx+3求得k的值；
（3）折叠前的抛物线上有两个“好点”，所以折叠后的抛物线上有一个“好点”即可，即y＝﹣x与折叠后抛物线只有一个公共点，从而求得折叠后的抛物线解析式，进一步求得结果．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，
∴y+x＝3，
∴①不是“好点”的函数，
∵y＝，x＞0，
∴xy＝3＞0
∴x+y≠0，
∴②不是“好点”的函数，
∵，
∴x2+3x+1＝0，
∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，
∴方程组有解，
∴③是“好点”的函数，
故答案为：③；
（2）∵，x＜0，
∴，
∴A（﹣2，2），
如图，
当△ABC为等腰三角形时，AB＝AC＝2或BA＝BC，
当AB＝AC时，
∵y＝﹣x，
∴B（x，﹣x），
∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣+2，
∴（﹣2）k+3＝﹣+2，
∴k＝，
当x＝﹣﹣2时，y＝+2，
∴（﹣﹣2）k+3＝+2，
∴k＝﹣，
当AB＝BC时，点B（﹣1，1），
∴﹣k+3＝1，
∴k＝2，
综上所述：k＝或k＝2；
（3）设翻折后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+k，
∵y＝x2+2x的图像上有两个“好点”：（0，0）和（﹣3，0），
当y＝﹣x2﹣2x+k上有一个“好点”时，
把y＝﹣x代入得，
﹣x＝﹣x2﹣2x+k，
化简整理得，
x2+x﹣k＝0，
∵Δ＝1+4k＝0，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣2x﹣，
由得，
2y＝﹣，
∴y＝﹣，
∴m＝﹣．
当（0，0）在y＝﹣x2﹣2x+k上时，
此时﹣x2﹣2x＝﹣x，
x＝0或x＝﹣1，
这时也有三个“好点”：（﹣3，﹣3），（0，0），（﹣1﹣1），
∴m＝﹣或0．
15．（2022•海曙区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线与其“梦想直线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为 y＝﹣x+ ，点A的坐标为 （﹣2，2） ，点B的坐标为 （1，0） ．
（2）如图，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由定义求出“梦想直线”为y＝﹣x+，再求直线与抛物线的交点即可；
（2）分两种情况，①当N点在y轴上时，②当M点在y轴上时，分别求出N的坐标即可；
（3）设E（﹣1，m），F（n，﹣n+），分所求情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线，②当AE为平行四边形的对角线，③当AF为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求出E、F点坐标即可．
【解答】解：（1）由定义可得抛物线与其“梦想直线”为y＝﹣x+，
∵﹣x2﹣x+2＝﹣x+，
解得x＝﹣2或x＝1，
∴A（﹣2，2），B（1，0），
故答案为：y＝﹣x+，（﹣2，2），（1，0）；
（2）令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
①当N点在y轴上时，设N（0，t），
由折叠可知，AN＝AC，
∵AC＝，
∴AN＝＝，
解得t＝2+3或t＝2﹣3，
当t＝2+3时，N（0，2+3），此时M点在B点右侧，不合题意；
当t＝2﹣3时，N（0，2+3）；
②当M点在y轴上时，此时M（0，0），
过点N作NG⊥x轴交于G点，设N（x，y），
由折叠可知，AN＝AC＝，CM＝MN＝3，
∴x2+y2＝9，（x+2）2+（y﹣2）2＝13，
解得x＝0（舍）或x＝，
∴N（，）；
综上所述：N点坐标为（0，2+3）或（，）；
（3）存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设E（﹣1，m），
∵抛物线与其“梦想直线”为y＝﹣x+，
设F（n，﹣n+），
①当AC为平行四边形的对角线时，
﹣2﹣3＝﹣1+n，2＝m﹣n+，
解得n＝﹣4，m＝﹣，
∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；
②当AE为平行四边形的对角线时，
m+2＝﹣n+，﹣2﹣＝n﹣3，
解得n＝0，m＝﹣，
∴E（﹣1，﹣），F（0，）；
③当AF为平行四边形的对角线时，
n﹣2＝﹣3﹣1，m＝2+﹣n，
解得n＝﹣2，m＝，
∴E（﹣1，4），F（﹣2，2）（舍）；
综上所述：E（﹣1，﹣），F（﹣4，）或E（﹣1，﹣），F（0，）．
16．（2022•岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函数（c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，则a＝ 1 ，b＝ 2 ，c＝ 1 ；
（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；
（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范围．
【分析】（1）由定义直接求解即可；
（2）由题意先求出4c＝b2，则可求P（1，1+b），再求P点关于y轴的对称点Q，将所求Q点代入反比例函数为y＝，求出b的值即可求Q点坐标；
（3）①题意可知“衍生函数”为y＝ax2+2bx﹣2，将点（2，6）代入可得a+b＝2，再由题意可求1＜a＜2，设“靶点”Q（t，﹣），则P（﹣t，﹣），则﹣＝at+2（2﹣a），整理得at2﹣4t+2at﹣2＝0，由Δ＝4（a﹣1）2+12＞0，即可证明；
②由①可知，at2﹣4t+2at﹣2＝0，根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣，则|x1﹣x2|＝＝，再由1＜a＜2，即可求2＜|x1﹣x2|＜2．
【解答】解：（1）由定义可知，a＝1，b＝2，c＝1，
故答案为：1，2，1；
（2）由题意可知，“衍生函数”为y＝x2+bx+c，
∵顶点在x轴上，
∴4c＝b2，
∴一次函数为y＝x+b，
∵“基点”P的横坐标为1，
∴P（1，1+b），
∵点P与点Q关于y轴对称，
∴Q（﹣1，1+b），
∵反比例函数为y＝，
∴﹣b2＝1+b，
解得b＝﹣2，
∴“靶点”的坐标（﹣1，﹣1）；
（3）证明：①由题意可知“衍生函数”为y＝ax2+2bx﹣2，
∵经过点（2，6），
∴a+b＝2，
∵a＞b＞0，
∴a＞2﹣a＞0，
∴1＜a＜2，
设“靶点”Q（t，﹣），则P（﹣t，﹣），
∴﹣＝at+2（2﹣a），
整理得at2﹣4t+2at﹣2＝0，
∴Δ＝4（a﹣1）2+12＞0，
∴方程有两个不同的实数根，
∴一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；
②解：由①可知，at2﹣4t+2at﹣2＝0，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣，
∴|x1﹣x2|＝＝，
∵1＜a＜2，
∴2＜＜4，
∴2＜|x1﹣x2|＜2．
17．（2022•庐阳区校级三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：
（1）点P（1，2）的“简朴”点是 （1，3） ；
（2）如果抛物线y＝ax2﹣7x+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“简朴曲线”；
（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（﹣1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时，求n的取值范围．
【分析】（1）由“简朴曲线”的定义求解．
（2）将点M坐标代入解析式求出a的值，进而求解．
（3）由点B（x，y）的“简朴点”是B（﹣1，1），可得b与c的关系，用含c代数式表示抛物线的“简朴曲线”并化为顶点式，从而可用含c代数式表示n，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得点P（1，2）的“简朴”点是（1，1+2），即（1，3），
故答案为：（1，3）．
（2）将（1，﹣3）代入y＝ax2﹣7x+3得﹣3＝a﹣7+3，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣7x+3，
∴抛物线y＝x2﹣7x+3的“简朴曲线”为y＝x2﹣7x+3+x＝x2﹣6x+3．
（3）∵点B（x，y）的“简朴点”是B（﹣1，1），
∴，
解得，
∴点B坐标为（﹣1，2），
∴1﹣b+c＝2，即b＝c﹣1，
∴y＝x2+（c﹣1）x+c，
∴该抛物线的“简朴曲线”为y＝x2+cx+c＝（x+）2+c﹣，
∵该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），
∴m＝﹣，n＝c﹣＝﹣（c﹣2）2+1，
∴c＝2时，n＝1为最大值，
把c＝0代入n＝c﹣得n＝0，
把c＝3代入n＝c﹣得n＝，
∴当0≤c≤3时，0≤n≤1．
18．（2022•香洲区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2＝OA•OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C，且OA＝4OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D．
①求PD的最大值；
②连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．
【分析】（1）求出点A和点B的坐标，然后代入抛物线的关系式求得结果；
（2）①作PF⊥AB于F交AC于E，求出AC的关系式，然后设点P（m，﹣﹣+2），E（m，），表示出PE＝﹣﹣2m，求出PE的最值，根据△PDE∽△AOC，进而求出PD的最大值；
②当△PCD∽△ACO时，作PF⊥OA于F，交AC于E，可推出PC＝PE，进而求得结果，当△PCD∽△CAO时，可得点P与点C关于抛物线对称轴对称，求得点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得，
OC＝2，OA＝4OB，
∵OA•OB＝OC2，
∴4OB2＝4，
∴OB＝1，OA＝4，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
∴，
∴；
（2）①如图1，
作PF⊥AB于F交AC于E，
∵OA＝4，OC＝2，∠AOC＝90°，
∴AC＝＝2，
可得AC的关系式是：y＝，
设点P（m，﹣﹣+2），E（m，），
∴PE＝（﹣﹣+2）﹣（）＝﹣﹣2m＝﹣（m+2）2+2，
∴当m＝﹣2时，PE最大＝2，
∵∠PDE＝∠AFE＝90°，∠PED＝∠AEF，
∴∠DPE＝∠EAF，
∵∠PDE＝∠AOC，
∴△PDE∽△AOC，
∴＝，
∴PD＝＝＝•PE，
∴PD最大＝；
②如图2，
当△PCD∽△CAO时，∠PCD＝∠CAB，
∴PC∥AB，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∴P（﹣3，2），
如图3，
当△PCD∽△ACO时，
作PF⊥OA于F，交AC于E，
由①知：△PED∽△ACO，
∴△PCD∽△PED，
∴△PCD≌△PED，
∴PC＝PE，
∴（﹣﹣2m）2＝m2+（﹣﹣）2，
∴m＝﹣，
当m＝﹣时，y＝﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，
∴P（﹣，），
综上所述，符合条件的P的坐标（﹣3，2）或者．
19．（2022•抚州模拟）我们约定[a，﹣b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“相关数”．
特例感知
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为y1＝x2﹣4x+3；
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为y2＝2x2﹣5x+3；
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为y3＝3x2﹣6x+3；
（1）下列结论正确的是 ①②③ （填序号）．
①抛物线y1，y2，y3都经过点（0，3）；
②抛物线y1，y2，y3与直线y＝3都有两个交点；
③抛物线y1，y2，y3有两个交点．
形成概念
把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线yn称为“一簇抛物线”，分别记为y1，y2，y3，…，yn．抛物线yn与x轴的交点为An，Bn．
探究问题
（2）①“一簇抛物线”y1，y2，y3，…，yn都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 （0，3），（1，0） ．
②抛物线yn的顶点为∁n，是否存在正整数n，使△AnBn∁n是直角三角形？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
③当n≥4时，抛物线yn与x轴的左交点An，与直线y＝3的一个交点为Dn，且点Dn不在y轴上．判断AnAn+1和DnDn+1是否相等，并说明理由．
【分析】（1）①当x＝0时，y1＝y2＝y3＝3；②由nx2﹣（n+3）x+3＝3得x1＝，x2＝0，从而得出结论；③由（n+1）x2﹣（n+4）x+3＝nx2﹣（n+3）x+3得，x1＝1，x2＝0，进而得出结论；
①令x＝0和y＝0，从而求得结果；
②分为n＜3和n＞3两种情形，先求得y＝nx2﹣（n+3）x+3与x轴的两个交点及∁n的纵坐标，当满足∁n到x轴的距离等于抛物线与x轴的两点交点之间的距离的一半时，△AnBn∁n是直角三角形，从而列出方程求得结果；
③求得当n≥4时，抛物线yn与x轴的左交点An及抛物线yn+1与x轴的左交点An+1，求出Dn的横坐标，Dn+1的横坐标为：，计算AnAn+1，DnDn+1，从而得出结论．
【解答】解：（1）①∵当x＝0时，y1＝y2＝y3＝3，
∴抛物线均过（0，3），
②n由x2﹣（n+3）x+3＝3得x1＝，x2＝0，
当n＝1时，x1＝4，
当n＝2时，x1＝，
当n＝3时，x1＝2，
由（n+1）x2﹣（n+4）x+3＝nx2﹣（n+3）x+3得，x1＝1，x2＝0，
故答案为：①②③；
（2）①y＝nx2﹣（n+3）x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点（0，3）在y＝nx2﹣（n+3）x+3上，
当y＝0时，
nx2﹣（n+3）x+3＝0，
（nx﹣3）•（x﹣1）＝0，
∴x1＝，x2＝1，
∴点（1，0）在y＝nx2﹣（n+3）x+3上，
故答案为：（0，3），（1，0）；
②由①得：y＝nx2﹣（n+3）x+3与x轴的两个交点（1，0），（，0），
∁n的纵坐标为：，
∵n＞0，抛物线与x轴有两个交点，
∴∁n到x轴的距离为：，
当时，
当＝2时，△AnBn∁n是直角三角形，
∴n1＝1，n2＝3（舍去），
当时，
当1﹣＝2时，△AnBn∁n是直角三角形，
∴n3＝5，n4＝3（舍去），
综上所述：n＝1或5；
③AnAn+1和DnDn+1相等，理由如下：
当n≥4时，抛物线yn与x轴的左交点An（，0），抛物线yn+1与x轴的左交点An+1（，0），
当nx2﹣（n+3）x+3＝3时，
x1＝，x2＝0（舍去），
∴Dn的横坐标为：，
同理可得：Dn+1的横坐标为：，
∴AnAn+1＝，DnDn+1＝＝，
∴AnAn+1＝DnDn+1．
20．（2022•兰山区二模）如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）．
（1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
【分析】（1）由题意求出m＝6，得出抛物线L的解析式为y＝x2+6x，当B、P、D三共线时，△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，则可求出答案；
（2）求出L的顶点C（﹣，﹣），由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立两个解析式得出，解得x1＝﹣2022，x2＝1，求出线段和抛物线上各有2024个整数点，则可得出答案．
【解答】解：（1）当x＝0吋，y＝x+m＝m，
∴B （0，m），
∵AB＝12，
∵A（0，﹣m），
∴m﹣（﹣m）＝12，
∴m＝6，
∴抛物线L的解析式为：y＝x2+6x，
∴抛物线L的对称轴x＝﹣3，D（﹣6，0），
∴O、D两点关于对称轴对称，OP＝DP，
∴OB+OP+PB＝OB+DP+PB，
∴当B、P、D三共线时，△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，
当x＝﹣3吋，y＝x+6＝3，
∴P（﹣3，3 ）；
（2）y＝x2+mx＝（x+）2−，
∴抛物线y＝x2+mx的顶点C（﹣，﹣），
∵点C在l上方，
∴C与l的距离＝﹣−（−m）＝−（m−2）2+1≤1），
∴点C与l距离的最大值为1；
（3）当m＝2022时，抛物线解析式L：y＝x2+2022x，直线解析式a：y＝x+2022，
联立上述两个解析式，
可得：x1＝﹣2022，x2＝1，
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣2022和1之间（包括﹣2022和1）共有2024个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2024个整数点，
∴总计4048个点，
∵这两段图象交点有2个点重复，
∴整点”的个数：4048﹣2＝4046（个）；
故m＝2022时“整点”的个数为4046个．
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题22二次函数与新定义综合问题
【例1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可；
（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分两种情况讨论：①当EG＝EF时，2＝，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，
解得，
∴y＝x2+x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）；
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM＝t2+t﹣1﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣t+2，
∴＝＝；
（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），
设F（x，0），
①当EG＝EF时，
∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，
∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；
②当EG＝FG时，2＝，
此时x无实数根；
综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
【例2】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有 ②③ （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2＞1，＜1，
∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，
∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或a＝﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，当n＞0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝；
当抛物线经过点B时，n＝1；
∴≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；
综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．
【例3】（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b＝a+3时，函数y有最大值ymax，最小值ymin，设h＝ymax﹣ymin，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝ymax﹣ymin为一个常数（与a无关）时，称y有“极差常函数”．
（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”．
①y＝2x （ √ ）；
②y＝﹣2x+2 （ √ ）；
③y＝x2 （ × ）．
（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；
（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．
【分析】（1）①由一次函数的性质可知h＝2（a+3）﹣2a＝6，则y＝2x是“极差常函数”；
②由一次函数的性质可知h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，则y＝﹣2x+2是“极差常函数”；
③由二次函数的性质可知，当a+3≤0时，h＝﹣9﹣6a不是常数，则y＝x2 不是“极差常函数”，
（2）根据一次函数的图象及性质可得＝2，再分两种情况讨论：当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3；分别求出p、q的值即可求函数的解析式；
（3）函数的对称轴为直线x＝+，由a的范围确定≤+≤，≤a+3≤，由（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣＞0，可知a+3到对称轴的距离大于a到对称轴的距离，则当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，求出h，再由a的范围确定4ah的范围即可．
【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，
∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，
∴y＝2x是“极差常函数”，
故答案为：√；
②∵y＝﹣2x+2 是一次函数，且y随x值的增大而减小，
∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，
∴y＝﹣2x+2是“极差常函数”，
故答案为：√；
∵y＝x2 是二次函数，函数的对称轴为直线x＝0，
当a+3≤0时，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；
当a≥0时，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；
∴y＝x2 不是“极差常函数”，
故答案为：×；
（2）当x＝0时，y＝q，
∴函数与y轴的交点为（0，q），
当y＝0时，x＝﹣，
∴函数与x轴的交点为（﹣，0），
∴S＝×|q|×|﹣|＝1，
∴＝2，
当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，
∴p＝1，
∴q＝±，
∴函数的解析式为y＝x；
当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，
∴p＝﹣1，
∴q＝±，
∴函数的解析式为y＝﹣x；
综上所述：函数的解析式为y＝x或y＝﹣x；
（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，
∴函数的对称轴为直线x＝，
∵b＝a+3，
∴x＝＝+，
∵，
∴≤+≤，≤a+3≤，
∵（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣，
∵，
∴2a+2﹣＞0，
∴a+3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，
∴当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，
当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，
∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+＝（a+3）2（a﹣1+），
∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，
∵2a2+5a﹣3＝2（a+）2﹣，，
∴≤2a2+5a﹣3≤9，
∴≤4ah≤81．
【例4】（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．
例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：
设x＝m+1①，y＝﹣m+1②
由①得m＝x﹣1③
将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2
则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．
【迁移应用】
在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．
（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；
（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．
ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；
ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设x＝﹣a，y＝﹣a2﹣a+3，可得y＝﹣x2+x+3；
（2）ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，由k＝（2+h）2，可得y＝（x+2）2；
ⅱ）C（2，4）在y＝（x+2）2上，则C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，C（﹣4﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧不符合题意．
【解答】解：（1）设x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，
由①得a＝﹣x③，
∴y＝﹣x2+x+3；
（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，
∴C（2，4），
令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，
解得x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，
∴C'（h，k），
∵经过点A（﹣2，0），
∴k＝（2+h）2，
令x＝h，y＝k＝（2+h）2，
∴y＝（x+2）2；
ⅱ）存在点C'，使△ACC'为等腰三角形，理由如下：
∵C（2，4）在y＝（x+2）2上，
∴C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），
此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；
设C'（m，m2+m+1），
当AC'＝CC'时，（m+2）2+（m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（m2+m+1﹣4）2，
解得m＝﹣4﹣2或m＝﹣4+2（舍），
∴C（﹣4﹣2，6+2）；
当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧，此时不符合题意；
综上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．
一．解答题（共20题）
1．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．
例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．
（1）当m＝0时，
①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为 y＝﹣x﹣7 ．
②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝ 6 ．
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．
【分析】（1）①由相关函数的定义，将y＝﹣x+7旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7；②先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即可得到答案；
（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；
（3）先确定相关函数，然后根据m的取值范围，对m进行分类讨论，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．
【解答】解：（1）①根据相关函数的定义，
y＝﹣x+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7，
故答案为：y＝﹣x﹣7；
②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，
∴y＝ax2﹣2ax+a关于点P（0，0）的相关函数为y＝﹣a（x+1）2，
∵点A（5，﹣6）在二次函数y＝﹣a（x+1）2的图象上，
∴﹣6＝﹣a（5+1）2，
解得：a＝；
（2）y＝（x﹣2）2+6的顶点为（2，6），
y＝﹣（x﹣10）2﹣66的顶点坐标为（10，﹣6）；
∵两个二次函数的顶点关于点P （m，0）成中心对称，
∴m＝＝6，
故答案为：6；
（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，
∴y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣（x+m）2+5m2．
①当﹣m≤m﹣1，即m≥时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，
∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，
解得m1＝﹣2﹣（不符合题意，舍去），m2＝﹣2+；
②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，
∴5m2＝8，
解得：m＝±（不合题意，舍去）；
③当﹣m＞m+2，即m＜﹣1时，当x＝m+2，y有最大值为8，
∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，
解得：m＝4﹣2或，m＝4+2（不符合题意，舍去），
综上，m的值为﹣2+或4﹣2．
2．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．
（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝ ﹣1 ；
若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝ 3或﹣1 ；
（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据“梅岭点”的定义，P（3．p）的横纵坐标相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的横纵坐标相等，即m＝，分别求解即得答案；
（2）由题意得：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，对比两个方程的系数，即可求出b，c，进而得出答案：y＝x2+5x+4；
（3）先由“梅岭点”的定义证明x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得出x1+x2＝，x1•x2＝，进而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，再由﹣1＜x1＜1计算出a的取值范
围，即可求出k的取值范围．
【解答】解：（1）∵点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的梅岭点，
∴p＝3m+6＝3，
解得：m＝﹣1，
∵点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，
∴m＝，
整理得：m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m1＝3，m2＝﹣1，
经检验，m1＝3，m2＝﹣1都是m＝的根，
∴m＝3或﹣1；
故答案为：﹣1；3或﹣1；
（2）点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，
即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），
∴方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，
即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，
∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．
∴b﹣1＝4，c＝4，
∴b＝5，
∴二次函数的表达式为y＝x2+5x+4；
（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），
∴c＝2，
∴y＝ax2+bx+2，
∵y＝ax2+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），
∴x1＝ax12+bx1+2，x2＝ax22+bx2+2，
∴ax12+（b﹣1）x1+2＝0，ax22+（b﹣1）x2+2＝0，
∴x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，
∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，
∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，
∵﹣1＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3
∴﹣3＜x1•x2＜3，
∴﹣3＜＜3，
∵a＞0，
∴a＞，
∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（+1）2+7＝﹣，
∴．
3．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．
（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是 （﹣2，﹣2） ；
函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是 （0，0）或（4，4） ；（直接填结果）
（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函y＝的图象上有“等值点”A（2，2），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为4可得×|b|×|2﹣b|＝4，分类求解即可．
【解答】解：（1）在y＝2x+2中，令x＝2x+2，解得x＝﹣2
∴函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；
在y＝x2﹣3x中，令x2﹣3x＝x，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴函数y＝x2﹣3x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（4，4）；
故答案为：（﹣2，﹣2）；（0，0）或（4，4）；
（2）在函数y＝中，令x＝，
解得：x＝2，
∴A（2，2），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
解得：x＝b，
∴B（b，b），
∵BC⊥x轴，
∴C（b，0），
∴BC＝|b|，
∵△ABC的面积为4，
∴×|b|×|2﹣b|＝4，
当b＜0时，b2﹣4b﹣32＝0，
解得b＝﹣4，
当0≤b＜2时，b2﹣4b+32＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×32＝﹣112＜0，
∴方程b2﹣4b+32＝0没有实数根，
当b≥2时，b2﹣4b﹣32＝0，
解得：b＝8，
综上所述，b的值为﹣4或8．
4．（2022•洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．
（1）函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．
（2）如图所示的是y＝|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝x2+2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x+m与y2＝|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．
【分析】（1）根据“凤凰函数”的定义，当数y1＝﹣x+m与y2＝﹣有两个交点，即可判定函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣互为“凤凰函数”，当m＝1时，解方程即可求得；
（2）由图象可知直线在l1和l2之间平移（不含两条直线）或在直线l3的右侧平移时，直线y1＝﹣x+m与y＝|x2+2x|的图象有两个交点，据此即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）由y1＝y2得，
整理得x2﹣mx﹣2＝0，Δ＝m2+8＞0，
∴y1＝﹣x+m与是互为“凤凰函数”，
当m＝1时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴x1＝﹣1，x2＝2是y1＝﹣x+m与的“凤凰根”．
（2）如图：y1＝﹣x+m与有两个的“凤凰根”，
则直线在l1和l2之间平移（不含两条直线）或在直线l3的右侧平移．
解方程，得x1＝﹣4，x2＝0，
故y与x轴交点P和交点O的坐标分别为（﹣4，0）和（0，0）．
将（﹣4，0）和（0，0）代入y1＝﹣x+m，
得m＝﹣4和m＝0．
故当﹣4＜m＜0时，y1与y2有两个的“凤凰根”；
当y1＝﹣x+m与相切时，
联立可得方程，
整理，得，
∴．
当y1＝﹣x+m在直线l3的右侧平移，
即时，y1与y2有两个“凤凰根”．
综上所述，当﹣4＜m＜0或时，y1与y2互为“凤凰根”，且有两个“凤凰根”．
5．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．
（2）如图①，设函数y＝（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；
（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由定义可知，函数与y＝﹣x的交点即为“互反点”；
（2）求出A（﹣，），B（﹣b，b），可得S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，求出b的值；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的对称抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，联立方程组，当Δ＝0时，m＝﹣，因此当m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，解得m＝﹣1或m＝2，结合图象可知：﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【解答】解：（1）y＝﹣x+3中，x+y＝3，
∴y＝﹣x+3的图象上不存在“互反点”；
y＝x2+x中，当y＝﹣x时，﹣x＝x2+x，
解得x＝0或x＝﹣2，
∴（0，0），（﹣2，2）是y＝x2+x的图象上的“互反点”；
（2）y＝（x＜0）中，当y＝﹣x时，﹣x＝，
解得x＝﹣，
∴A（﹣，），
y＝x+b中，当y＝﹣x时，﹣x＝x+b，
解得x＝﹣b，
∴B（﹣b，b），
∴BC＝|b|，
∴S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，
解得b＝4或b＝﹣2；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的对称抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，
由定义可知，“互反点”在直线y＝﹣x上，
联立方程组，
整理得x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
Δ＝（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＝0，
解得m＝﹣，
当m＜﹣时，y＝﹣（x﹣2m）2+2与y＝﹣x没有交点，此时y＝﹣x与y＝﹣x2+2有两个交点，
∴m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当x＝m时，y＝﹣m2+2，
∴函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），
当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，﹣m2+2＝﹣m，
解得m＝﹣1或m＝2
当m＝﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，
∴m＞﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，
∴m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
∴﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
综上所述：﹣1＜m＜2或m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
6．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．
（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，
①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；
②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；
（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．
【分析】（1）①运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案；
②由y＝﹣x与y＝ax2+bx+c联立可得x2﹣3x﹣4＝0，运用根的判别式可得Δ＞0，即可得出结论；
（2）如图，连接AC，先求出直线CD的解析式为y＝x+c，可得E（﹣，0），再利用求根公式可得：A（，0），B（，0），再证明△EAC∽△ECB，可得CE2＝AE•BE，即c2+＝（+）（+），化简即可得出答案．
【解答】解：（1）①当a＝﹣1，b＝2，c＝4时，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，
∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为D（1，5）；
②当y＝﹣x时，﹣x2+2x+4＝﹣x，
整理得：x2﹣3x﹣4＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，
∴二次函数y＝﹣x2+2x+4有两个不同的“零和点”；
（2）如图，连接AC，
∵y＝ax2+bx+c，
∴C（0，c），顶点D（﹣，），
设直线CD的解析式为y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝x+c，
∴E（﹣，0），
∵A（，0），B（，0），
∴AE＝﹣（﹣）＝+，BE＝﹣（﹣）＝+，
∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，
∴△EAC∽△ECB，
∴＝，
∴CE2＝AE•BE，
在Rt△CEO中，CE2＝OC2+OE2＝c2+（）2＝c2+，
∴c2+＝（+）（+），
化简得：ac＝﹣1，
故ac的值为﹣1．
7．（2022秋•海安市校级月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．
（1）判断函数y＝x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）求函数y＝x2﹣2的图象的“等值点”坐标；
（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，求出m的值．
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（3）根据（2）中求出的y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可．
【解答】解：（1）不存在，理由：
在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，
∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；
（2）令x＝x2﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2）；
（3）①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
W1：y＝x2﹣2（x≥m），
W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），
令x＝（x﹣2m）2﹣2，
整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
∵W2的图象上不存在“等值点”，
∴Δ＜0，
∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，
∴m＜﹣，
②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），
③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），
⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，m＝1．
8．（2022秋•长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（﹣1，1）是函数y＝﹣x图象的“1阶方点”．
（1）在①（﹣1，2）；②（0，0）；③（，﹣1）三点中，是正比例函数y＝﹣2x图象的“1阶方点”的有 ②③ （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点（n，n），则点（n，n）称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【解答】解：（1）（﹣1，2）到x轴距离为2，不符合题意，
（0，0）到两坐标轴的距离都等于0，符合题意，
③（，﹣1）到x轴距离为1，到y轴距离为，符合题意，
故答案为：②③．
（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，
∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C（2，﹣2）时，﹣2＝2a﹣3a+1，
解得a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D（2，2）时，2＝2a﹣3a+1，
解得a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或a＝﹣1．
（3）∵点（n，n）在直线y＝x上，
∴y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”时，方程x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2＝x有两个相等实数根，
∴Δ＝（p﹣t）2﹣q﹣t+2＝0，
∴q＝（p﹣t）2﹣t+2，
∵当2≤p≤3时，q的最小值为t，
若p＝t，则q的最小值为﹣t+2，则﹣t+2＝t，
解得t＝p＝1，不符合题意．
当t＜2时，若p＝2，则q取最小值，即q＝（2﹣t）2﹣t+2＝t
解得t＝3+（舍）或t＝3﹣，
当t＞3时，若p＝3，则q取最小值，即q＝（3﹣t）2﹣t+2＝t
解得t＝4﹣（舍）或t＝4+，
综上所述，t＝3﹣或4+．
9．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．
（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：c的取值范围．
（3）将函数y＝x2﹣8（x≥m）的图象记为W1，其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，W1和W2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）联立方程求解．
（2）令ax2+5x+c＝x，根据根的判别式Δ＝0可得ac的值，进而求解．
（3）令x2﹣8＝2x，求出抛物线y＝x2﹣8与直线y＝2x的交点横坐标，由函数y＝x2﹣8（x≥m）求出翻折后函数解析式，结合图象求解．
【解答】解：（1）由题意可得“2倍点”在直线y＝2x上，
联立方程，
解得，，
∴函数y＝x2﹣8的图象上存在“2倍点”，点（﹣2，﹣4），（4，8）是该图象的“2倍点”．
（2）令ax2+5x+c＝x，整理得ax2+4x+c＝0，
由题意得Δ＝42﹣4ac＝0，
∴ac＝4，
∴c＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜4．
（3）图象y＝x2﹣8（x≥m）关于直线x＝m翻折后解析式为y＝（x﹣2m）2﹣8（x＜m），
令x2﹣8＝2x，
解得x＝﹣2或x＝4，
当m＝4时，如图，
图象W有1个“2倍点”，
∴m＜4时符合题意，
当m＝﹣2时，如图，
图象W有3个“2倍点”，
∴﹣2＜m＜4符合题意．
令（x﹣2m）2﹣8＝2x，整理得x2﹣（4m+2）x+4m2﹣8＝0，
当Δ＝（4m+2）2﹣4（4m2﹣8）＝0时，
解得m＝﹣，
∴m＜﹣时符合题意．
综上所述，﹣2＜m＜4或m＜﹣．
10．（2022秋•通州区校级月考）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．例如：当n＝1时，函数关于点P（0，1）的相关函数为．
（1）当n＝0时．
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 y＝﹣x2 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
（2）函数关于点P的相关函数是，则n＝ ﹣ ．
【分析】（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，即可求解；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；
（2）两个函数的顶点分别为：（0，3）、（0，﹣5），由中点公式即可求解．
【解答】解：（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），
则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，
将点A（2，3）代入得3＝﹣a（2+1）2，
解得：a＝﹣；
（2）两个函数的顶点分别为：（0，3）、（0，﹣5），
由中点公式得：n＝＝﹣，
故答案为：﹣．
11．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（﹣，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．
（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：
①c的取值范围；
②直接写出∠EMN的度数．
【分析】（1）根据“2倍点”的概念直接作答即可；
（2）①根据有且只有一个“1倍点”求出a与c的数量关系，根据a的取值范围求出c的取值范围；
②先求点E的坐标，然后求点M和点N的坐标，然后比较线段长度，最后求出∠EMN的度数．
【解答】解：（1）存在，
设“2倍点”的坐标为（x，2x），
则2x＝x²﹣8，
解得：x＝﹣2或4，
∴“2倍点”的坐标为（﹣2，﹣4）或（4，8）；
（2）①由题意可知，
y＝ax2+5x+c与y＝x有且只有交点，
则x＝ax2+5x+c，
整理得：ax2+4x+c＝0，则该方程有两个相同的实数根，
即Δ＝16﹣4ac＝0，
∴ac＝4，
∴a＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜4；
②如图，过点E作EF⊥OM于点F，
由根与系数的关系可知，ax2+4x+c＝0，
，
又∵两个根相等，
∴，
∴点E的坐标为（，），
∴EF＝OF＝，
由①可知，a＝，
则c＝，
∴y＝ax2+5x+c可以写成y＝ax2+5x+，
令y＝0，
则ax2+5x+＝0，
由求根公式可得，
x＝，
解得：，，
∴点M的坐标为（，0），
∴OM＝，
∴MF＝OM﹣OF＝，
∴MF＝EF，
∵∠EFM＝90°，
∴∠EMN＝45°．
12．（2022秋•汉阴县校级月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+4交y轴于点C，顶点为D．
（1）求点C、D的坐标；
（2）定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；
（3）连接CD，点Q是第一象限直线CD上的点，过Q作QM⊥x轴，交x轴于点M，若Q点的横坐标为x，△QMO的面积为S，求S关于x的函数解析式．
【分析】（1）利用y轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后把一般式化为顶点式得到D点坐标；
（2）设二次函数图象上的“零和点”P的坐标为（x，﹣x），把P（x，﹣x）代入y＝﹣x2+2x+4得﹣x2+2x+4＝﹣x，由于解关于x的方程有两个不相等的实数解，从而判断此二次函数有两个不同的“零和点”；
（3）先利用待定系数法求出直线CD的解析式为y＝x+4，设Q（x，x+4）（x＞0），然后根据三角形的面积公式可得到S关于x的函数解析式．
【解答】（1）解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+4＝4，则C点坐标为（0，4）；
∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴顶点D的坐标为（1，5）；
（2）证明：设二次函数图象上的“零和点”P的坐标为（x，﹣x），
把P（x，﹣x）代入y＝﹣x2+2x+4得﹣x2+2x+4＝﹣x，
整理得x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴P点坐标为（﹣1，1）和（4，﹣4），
∴此二次函数有两个不同的“零和点”；
（3）解：设直线CD的解析式为y＝kx+b，
把C（0，4），D（1，5）分别代入得，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝x+4，
设Q（x，x+4）（x＞0），
∴S＝OM•QM＝x•（x+4）＝x2+2x，
即S关于x的函数解析式为S＝x2+2x（x＞0）．
13．（2022•红河州二模）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．
（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）如图2，直线AB与x轴，y轴分别交于A（12，0），B（0，9）两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；
（3）如图3，抛物线y＝ax2+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC，求a的值．
【分析】（1）BD平分∠ABC及AD∥BC，推出AB＝AD，即可得出结论；
（2）求出B，A的坐标，OB，OA，AB的长度，用含t的代数式表示出AQ，AP，BQ，OP，连接PQ，证△AQP∽△ABO，推出∠APQ＝∠AOB＝90°，求出QP＝3t，根据“和睦四边形”的定义分情况讨论可求出t的值；
（3）用含字母的代数式表示顶点D的坐标，由CD＝OC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）解：∵A（12，0），B（0，9），
∴OB＝9，OA＝12，
∴AB＝＝15，
由题意得：AQ＝5t，AP＝4t，BQ＝15﹣5t，OP＝12﹣4t，
连接PQ，
，，
∴，
又∵∠BAO＝∠QAP，
∴△AQP∽△ABO，
∴∠APQ＝∠AOB＝90°，
∴QP＝＝3t，
∵四边形BOPQ为“和睦四边形”，
①当OB＝OP时，9＝12﹣4t，
∴；
②当OB＝BQ时，9＝15﹣5t，
∴；
③当OP＝PQ时，12﹣4t＝3t，
∴；
④当BQ＝PQ时，15﹣5t＝3t，
∴，
综上所述，t的值为或或或；
（3）解：由题意可得：顶点D的坐标为，C（0，2），
∵CD＝OC，
∴CD2＝OC2，
∴，
化简得：，
∵a＜0，
∴．
14．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．
（1）在函数①y＝﹣x+3，②y＝③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是 ③ ；（填序号）
（2）设函数y＝﹣（x＜0）与y＝kx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；
（3）若将函数y＝x2+2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．
【分析】（1）判断y＝﹣x与各个函数图像是否有公共点即可；
（2）先得出y＝﹣的“好点”，从而得出AC的长，在y＝﹣x上的点B，使得AB＝AC，从而求得点B坐标，将B点坐标代入y＝kx+3求得k的值；
（3）折叠前的抛物线上有两个“好点”，所以折叠后的抛物线上有一个“好点”即可，即y＝﹣x与折叠后抛物线只有一个公共点，从而求得折叠后的抛物线解析式，进一步求得结果．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，
∴y+x＝3，
∴①不是“好点”的函数，
∵y＝，x＞0，
∴xy＝3＞0
∴x+y≠0，
∴②不是“好点”的函数，
∵，
∴x2+3x+1＝0，
∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，
∴方程组有解，
∴③是“好点”的函数，
故答案为：③；
（2）∵，x＜0，
∴，
∴A（﹣2，2），
如图，
当△ABC为等腰三角形时，AB＝AC＝2或BA＝BC，
当AB＝AC时，
∵y＝﹣x，
∴B（x，﹣x），
∴（x+2）2+（﹣x﹣2）2＝22，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣+2，
∴（﹣2）k+3＝﹣+2，
∴k＝，
当x＝﹣﹣2时，y＝+2，
∴（﹣﹣2）k+3＝+2，
∴k＝﹣，
当AB＝BC时，点B（﹣1，1），
∴﹣k+3＝1，
∴k＝2，
综上所述：k＝或k＝2；
（3）设翻折后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+k，
∵y＝x2+2x的图像上有两个“好点”：（0，0）和（﹣3，0），
当y＝﹣x2﹣2x+k上有一个“好点”时，
把y＝﹣x代入得，
﹣x＝﹣x2﹣2x+k，
化简整理得，
x2+x﹣k＝0，
∵Δ＝1+4k＝0，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣2x﹣，
由得，
2y＝﹣，
∴y＝﹣，
∴m＝﹣．
当（0，0）在y＝﹣x2﹣2x+k上时，
此时﹣x2﹣2x＝﹣x，
x＝0或x＝﹣1，
这时也有三个“好点”：（﹣3，﹣3），（0，0），（﹣1﹣1），
∴m＝﹣或0．
15．（2022•海曙区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线与其“梦想直线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为 y＝﹣x+ ，点A的坐标为 （﹣2，2） ，点B的坐标为 （1，0） ．
（2）如图，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由定义求出“梦想直线”为y＝﹣x+，再求直线与抛物线的交点即可；
（2）分两种情况，①当N点在y轴上时，②当M点在y轴上时，分别求出N的坐标即可；
（3）设E（﹣1，m），F（n，﹣n+），分所求情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线，②当AE为平行四边形的对角线，③当AF为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求出E、F点坐标即可．
【解答】解：（1）由定义可得抛物线与其“梦想直线”为y＝﹣x+，
∵﹣x2﹣x+2＝﹣x+，
解得x＝﹣2或x＝1，
∴A（﹣2，2），B（1，0），
故答案为：y＝﹣x+，（﹣2，2），（1，0）；
（2）令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
①当N点在y轴上时，设N（0，t），
由折叠可知，AN＝AC，
∵AC＝，
∴AN＝＝，
解得t＝2+3或t＝2﹣3，
当t＝2+3时，N（0，2+3），此时M点在B点右侧，不合题意；
当t＝2﹣3时，N（0，2+3）；
②当M点在y轴上时，此时M（0，0），
过点N作NG⊥x轴交于G点，设N（x，y），
由折叠可知，AN＝AC＝，CM＝MN＝3，
∴x2+y2＝9，（x+2）2+（y﹣2）2＝13，
解得x＝0（舍）或x＝，
∴N（，）；
综上所述：N点坐标为（0，2+3）或（，）；
（3）存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设E（﹣1，m），
∵抛物线与其“梦想直线”为y＝﹣x+，
设F（n，﹣n+），
①当AC为平行四边形的对角线时，
﹣2﹣3＝﹣1+n，2＝m﹣n+，
解得n＝﹣4，m＝﹣，
∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；
②当AE为平行四边形的对角线时，
m+2＝﹣n+，﹣2﹣＝n﹣3，
解得n＝0，m＝﹣，
∴E（﹣1，﹣），F（0，）；
③当AF为平行四边形的对角线时，
n﹣2＝﹣3﹣1，m＝2+﹣n，
解得n＝﹣2，m＝，
∴E（﹣1，4），F（﹣2，2）（舍）；
综上所述：E（﹣1，﹣），F（﹣4，）或E（﹣1，﹣），F（0，）．
16．（2022•岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函数（c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，则a＝ 1 ，b＝ 2 ，c＝ 1 ；
（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；
（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范围．
【分析】（1）由定义直接求解即可；
（2）由题意先求出4c＝b2，则可求P（1，1+b），再求P点关于y轴的对称点Q，将所求Q点代入反比例函数为y＝，求出b的值即可求Q点坐标；
（3）①题意可知“衍生函数”为y＝ax2+2bx﹣2，将点（2，6）代入可得a+b＝2，再由题意可求1＜a＜2，设“靶点”Q（t，﹣），则P（﹣t，﹣），则﹣＝at+2（2﹣a），整理得at2﹣4t+2at﹣2＝0，由Δ＝4（a﹣1）2+12＞0，即可证明；
②由①可知，at2﹣4t+2at﹣2＝0，根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣，则|x1﹣x2|＝＝，再由1＜a＜2，即可求2＜|x1﹣x2|＜2．
【解答】解：（1）由定义可知，a＝1，b＝2，c＝1，
故答案为：1，2，1；
（2）由题意可知，“衍生函数”为y＝x2+bx+c，
∵顶点在x轴上，
∴4c＝b2，
∴一次函数为y＝x+b，
∵“基点”P的横坐标为1，
∴P（1，1+b），
∵点P与点Q关于y轴对称，
∴Q（﹣1，1+b），
∵反比例函数为y＝，
∴﹣b2＝1+b，
解得b＝﹣2，
∴“靶点”的坐标（﹣1，﹣1）；
（3）证明：①由题意可知“衍生函数”为y＝ax2+2bx﹣2，
∵经过点（2，6），
∴a+b＝2，
∵a＞b＞0，
∴a＞2﹣a＞0，
∴1＜a＜2，
设“靶点”Q（t，﹣），则P（﹣t，﹣），
∴﹣＝at+2（2﹣a），
整理得at2﹣4t+2at﹣2＝0，
∴Δ＝4（a﹣1）2+12＞0，
∴方程有两个不同的实数根，
∴一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；
②解：由①可知，at2﹣4t+2at﹣2＝0，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣，
∴|x1﹣x2|＝＝，
∵1＜a＜2，
∴2＜＜4，
∴2＜|x1﹣x2|＜2．
17．（2022•庐阳区校级三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：
（1）点P（1，2）的“简朴”点是 （1，3） ；
（2）如果抛物线y＝ax2﹣7x+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“简朴曲线”；
（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（﹣1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时，求n的取值范围．
【分析】（1）由“简朴曲线”的定义求解．
（2）将点M坐标代入解析式求出a的值，进而求解．
（3）由点B（x，y）的“简朴点”是B（﹣1，1），可得b与c的关系，用含c代数式表示抛物线的“简朴曲线”并化为顶点式，从而可用含c代数式表示n，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得点P（1，2）的“简朴”点是（1，1+2），即（1，3），
故答案为：（1，3）．
（2）将（1，﹣3）代入y＝ax2﹣7x+3得﹣3＝a﹣7+3，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣7x+3，
∴抛物线y＝x2﹣7x+3的“简朴曲线”为y＝x2﹣7x+3+x＝x2﹣6x+3．
（3）∵点B（x，y）的“简朴点”是B（﹣1，1），
∴，
解得，
∴点B坐标为（﹣1，2），
∴1﹣b+c＝2，即b＝c﹣1，
∴y＝x2+（c﹣1）x+c，
∴该抛物线的“简朴曲线”为y＝x2+cx+c＝（x+）2+c﹣，
∵该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），
∴m＝﹣，n＝c﹣＝﹣（c﹣2）2+1，
∴c＝2时，n＝1为最大值，
把c＝0代入n＝c﹣得n＝0，
把c＝3代入n＝c﹣得n＝，
∴当0≤c≤3时，0≤n≤1．
18．（2022•香洲区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2＝OA•OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C，且OA＝4OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D．
①求PD的最大值；
②连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．
【分析】（1）求出点A和点B的坐标，然后代入抛物线的关系式求得结果；
（2）①作PF⊥AB于F交AC于E，求出AC的关系式，然后设点P（m，﹣﹣+2），E（m，），表示出PE＝﹣﹣2m，求出PE的最值，根据△PDE∽△AOC，进而求出PD的最大值；
②当△PCD∽△ACO时，作PF⊥OA于F，交AC于E，可推出PC＝PE，进而求得结果，当△PCD∽△CAO时，可得点P与点C关于抛物线对称轴对称，求得点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得，
OC＝2，OA＝4OB，
∵OA•OB＝OC2，
∴4OB2＝4，
∴OB＝1，OA＝4，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
∴，
∴；
（2）①如图1，
作PF⊥AB于F交AC于E，
∵OA＝4，OC＝2，∠AOC＝90°，
∴AC＝＝2，
可得AC的关系式是：y＝，
设点P（m，﹣﹣+2），E（m，），
∴PE＝（﹣﹣+2）﹣（）＝﹣﹣2m＝﹣（m+2）2+2，
∴当m＝﹣2时，PE最大＝2，
∵∠PDE＝∠AFE＝90°，∠PED＝∠AEF，
∴∠DPE＝∠EAF，
∵∠PDE＝∠AOC，
∴△PDE∽△AOC，
∴＝，
∴PD＝＝＝•PE，
∴PD最大＝；
②如图2，
当△PCD∽△CAO时，∠PCD＝∠CAB，
∴PC∥AB，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∴P（﹣3，2），
如图3，
当△PCD∽△ACO时，
作PF⊥OA于F，交AC于E，
由①知：△PED∽△ACO，
∴△PCD∽△PED，
∴△PCD≌△PED，
∴PC＝PE，
∴（﹣﹣2m）2＝m2+（﹣﹣）2，
∴m＝﹣，
当m＝﹣时，y＝﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，
∴P（﹣，），
综上所述，符合条件的P的坐标（﹣3，2）或者．
19．（2022•抚州模拟）我们约定[a，﹣b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“相关数”．
特例感知
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为y1＝x2﹣4x+3；
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为y2＝2x2﹣5x+3；
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为y3＝3x2﹣6x+3；
（1）下列结论正确的是 ①②③ （填序号）．
①抛物线y1，y2，y3都经过点（0，3）；
②抛物线y1，y2，y3与直线y＝3都有两个交点；
③抛物线y1，y2，y3有两个交点．
形成概念
把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线yn称为“一簇抛物线”，分别记为y1，y2，y3，…，yn．抛物线yn与x轴的交点为An，Bn．
探究问题
（2）①“一簇抛物线”y1，y2，y3，…，yn都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 （0，3），（1，0） ．
②抛物线yn的顶点为∁n，是否存在正整数n，使△AnBn∁n是直角三角形？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
③当n≥4时，抛物线yn与x轴的左交点An，与直线y＝3的一个交点为Dn，且点Dn不在y轴上．判断AnAn+1和DnDn+1是否相等，并说明理由．
【分析】（1）①当x＝0时，y1＝y2＝y3＝3；②由nx2﹣（n+3）x+3＝3得x1＝，x2＝0，从而得出结论；③由（n+1）x2﹣（n+4）x+3＝nx2﹣（n+3）x+3得，x1＝1，x2＝0，进而得出结论；
①令x＝0和y＝0，从而求得结果；
②分为n＜3和n＞3两种情形，先求得y＝nx2﹣（n+3）x+3与x轴的两个交点及∁n的纵坐标，当满足∁n到x轴的距离等于抛物线与x轴的两点交点之间的距离的一半时，△AnBn∁n是直角三角形，从而列出方程求得结果；
③求得当n≥4时，抛物线yn与x轴的左交点An及抛物线yn+1与x轴的左交点An+1，求出Dn的横坐标，Dn+1的横坐标为：，计算AnAn+1，DnDn+1，从而得出结论．
【解答】解：（1）①∵当x＝0时，y1＝y2＝y3＝3，
∴抛物线均过（0，3），
②n由x2﹣（n+3）x+3＝3得x1＝，x2＝0，
当n＝1时，x1＝4，
当n＝2时，x1＝，
当n＝3时，x1＝2，
由（n+1）x2﹣（n+4）x+3＝nx2﹣（n+3）x+3得，x1＝1，x2＝0，
故答案为：①②③；
（2）①y＝nx2﹣（n+3）x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点（0，3）在y＝nx2﹣（n+3）x+3上，
当y＝0时，
nx2﹣（n+3）x+3＝0，
（nx﹣3）•（x﹣1）＝0，
∴x1＝，x2＝1，
∴点（1，0）在y＝nx2﹣（n+3）x+3上，
故答案为：（0，3），（1，0）；
②由①得：y＝nx2﹣（n+3）x+3与x轴的两个交点（1，0），（，0），
∁n的纵坐标为：，
∵n＞0，抛物线与x轴有两个交点，
∴∁n到x轴的距离为：，
当时，
当＝2时，△AnBn∁n是直角三角形，
∴n1＝1，n2＝3（舍去），
当时，
当1﹣＝2时，△AnBn∁n是直角三角形，
∴n3＝5，n4＝3（舍去），
综上所述：n＝1或5；
③AnAn+1和DnDn+1相等，理由如下：
当n≥4时，抛物线yn与x轴的左交点An（，0），抛物线yn+1与x轴的左交点An+1（，0），
当nx2﹣（n+3）x+3＝3时，
x1＝，x2＝0（舍去），
∴Dn的横坐标为：，
同理可得：Dn+1的横坐标为：，
∴AnAn+1＝，DnDn+1＝＝，
∴AnAn+1＝DnDn+1．
20．（2022•兰山区二模）如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）．
（1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；
（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
【分析】（1）由题意求出m＝6，得出抛物线L的解析式为y＝x2+6x，当B、P、D三共线时，△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，则可求出答案；
（2）求出L的顶点C（﹣，﹣），由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立两个解析式得出，解得x1＝﹣2022，x2＝1，求出线段和抛物线上各有2024个整数点，则可得出答案．
【解答】解：（1）当x＝0吋，y＝x+m＝m，
∴B （0，m），
∵AB＝12，
∵A（0，﹣m），
∴m﹣（﹣m）＝12，
∴m＝6，
∴抛物线L的解析式为：y＝x2+6x，
∴抛物线L的对称轴x＝﹣3，D（﹣6，0），
∴O、D两点关于对称轴对称，OP＝DP，
∴OB+OP+PB＝OB+DP+PB，
∴当B、P、D三共线时，△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，
当x＝﹣3吋，y＝x+6＝3，
∴P（﹣3，3 ）；
（2）y＝x2+mx＝（x+）2−，
∴抛物线y＝x2+mx的顶点C（﹣，﹣），
∵点C在l上方，
∴C与l的距离＝﹣−（−m）＝−（m−2）2+1≤1），
∴点C与l距离的最大值为1；
（3）当m＝2022时，抛物线解析式L：y＝x2+2022x，直线解析式a：y＝x+2022，
联立上述两个解析式，
可得：x1＝﹣2022，x2＝1，
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣2022和1之间（包括﹣2022和1）共有2024个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2024个整数点，
∴总计4048个点，
∵这两段图象交点有2个点重复，
∴整点”的个数：4048﹣2＝4046（个）；
故m＝2022时“整点”的个数为4046个．
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