2023北京东城高一（上）期末数学（教师版）

2023北京东城高一（上）期末

数    学

本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题  共30分）

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 不等式的解集是（    ）

A. 或 B. 或 C.  D.

3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则最小值为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6. 函数的图象关于（    ）

A. x轴对称 B. y轴对称 C. 原点对称 D. 直线对称

7. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 已知函数，对a，b满足且，则下面结论一定正确是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量.已知，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知实数互不相同，对满足，则对（    ）

A. 2022 B.  C. 2023 D.

第二部分（非选择题  共70分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11. 函数的定义域是__________.

12. __________.

13. 若，，则______．

14. 如图，单位圆被点分为12等份，其中.角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则__________；若，则角的终边与单位圆交于点__________.（从中选择，写出所有满足要求的点）

15. 已知函数,

①当时，在上的最小值为__________；

②若有2个零点，则实数a取值范围是__________.

三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16. 已知函数.

（1）求的值；

（2）当时，求值域.

17. 已知关于x的不等式的解集为A.

（1）当时，求集合A；

（2）若集合，求a的值；

（3）若，直接写出a的取值范围.

18. 函数的定义域为，若对任意的，均有.

（1）若，证明：；

（2）若对，证明：在上为增函数；

（3）若，直接写出一个满足已知条件的的解析式.

19. 已知函数.

（1）若为偶函数，求a的值；

（2）从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件a的值构成集合A，若，求A.

条件①：增函数；

条件②：对于恒成立；

条件③：，使得.

20. 对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.

（1）若，求；

（2）若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组；

（3）若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值.

参考答案

第一部分（选择题  共30分）

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 【答案】A

【解析】

【分析】根据交集的定义，即可求解.

【详解】因为，

所以

故选：A

2. 【答案】B

【解析】

【分析】直接解出不等式即可.

【详解】，解得或，故解集为或，

故选：B.

3. 【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.

【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A选项在单调递增，故A错误，

对D选项在单调性递增，故D错误，

根据指数函数图像与性质可知在单调递减，故C正确，

根据对数函数图像与性质可知在单调性递增.

故选：C.

4. 【答案】A

【解析】

【分析】根据存在命题的否定即可得到答案.

【详解】根据存在命题的否定可知，存在变任意，范围不变，结论相反，

故其否定为.

故选：A.

5. 【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式的性质求解即可.

【详解】因为，所以.

当且仅当，即时等号成立.

所以的最小值为.

故选：D

6. 【答案】C

【解析】

【分析】求出，可知，可得函数为奇函数，进而得到答案.

【详解】函数的定义域为R，，

所以有，所以为奇函数，图象关于原点对称.

故选：C.

7. 【答案】B

【解析】

【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解.

【详解】推不出（举例，），

而,

“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

8. 【答案】D

【解析】

【分析】由对数函数的运算性质可知移项化简即可得.

【详解】因为函数，对a，b满足且，

所以，

则

所以，

即，

解得

故选：D

9. 【答案】A

【解析】

【分析】利用对数运算性质计算即可.

【详解】因为，

所以由得：

，

即，

又，

所以.

故选：A.

10. 【答案】D

【解析】

【分析】根据代数基本定理进行求解即可..

【详解】国为满足，

所以可以看成方程的个不等实根，根据代数基本定理可知：对于任意实数都有以下恒等式，

，

令，于是有

，，

，

，

，

，

所以，

故选：D

【点睛】关键点睛：根据代数基本定理是解题关键.

第二部分（非选择题  共70分）

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11. 【答案】

【解析】

【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.

【详解】由得：，的定义域为.

故答案为：.

12. 【答案】6

【解析】

【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算作答.

【详解】.

故答案为：6

13. 【答案】

【解析】

【分析】由，可知，再结合，及，可求出答案.

【详解】因为，所以，

所以，．

故答案为：.

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

14. 【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】求出终边经过则对应的角和的关系.

【详解】，所以终边经过则

角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则，

所以

，即或

即或

经过点

故答案为：；

15. 【答案】    ①. ；    ②. 或．

【解析】

【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；

②结合函数和的图象，根据分段函数的定义可得参数范围．

【详解】①，时，是增函数，，

时，是增函数，因此，

所以时，的最小值是；

②作出函数和的图象，它们与轴共有三个交点，，，

由图象知有2个零点，则或．

故答案为：；或．

三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16. 【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据诱导公式和特殊角三角函数值求解；(2)利用余弦函数性质及不等式性质求的值域.

【小问1详解】

因为，

所以，

【小问2详解】

由(1) ，又，所以，

所以，故当时，的值域为.

17. 【答案】（1）；   

（2）；   

（3）．

【解析】

【分析】（1）直接解不等式可得；

（2）由题意得是方程的根，代入后可得值；

（3）代入后不等式不成立可得．

【小问1详解】

时，不等式为，即，，

∴；

【小问2详解】

原不等式化为，

由题意，解得，

时原不等式化为，或，满足题意．

所以；

【小问3详解】

，则，解得．

18. 【答案】（1）证明过程见解析   

（2）证明过程见解析    （3），（答案不唯一）

【解析】

【分析】（1）赋值法得到；

（2）赋值法，令，且，从而得到，证明出函数的单调性；

（3）从任意的，均有，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明

小问1详解】

令，则，

因为，所以；

【小问2详解】

令，且，则，

所以，

故，

因为对，

所以，

故，即，

在上为增函数；

【小问3详解】

构造，，满足，

且满足对任意的，，理由如下：

，

因为，故，，

故对任意的，.

19. 【答案】（1）；   

（2）选①②，不存在；选①③，；选②③，．

【解析】

【分析】（1）由偶函数的定义求解；

（2）选①②，时，由复合函数单调性得是增函数，时，由单调性的定义得函数的单调性，然后在时，由有解，说明不满足②不存在；选①③，同选①②，由单调性得，然后则函数的最大值不大于4得的范围，综合后得结论；选②③，先确定恒成立时的范围，再换元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围．

【小问1详解】

是偶函数，则，

恒成立，∴，即；

【小问2详解】

若选①②，（），

若，则是增函数，由得，因此不恒成立，不合题意，

若，设，则，

恒成立，设，则，

，

当时，，，，是减函数，

时，，，，是增函数，

又是增函数，因此在定义域内不是增函数，不合题意．

故不存在满足题意；

若选①③，

若，则是增函数，

若，设，则，

恒成立，设，则，

，

当时，，，，是减函数，

时，，，，是增函数，

又是增函数，因此在定义域内不是增函数，不合题意．

故不存在满足题意；

要满足①，则，

所以时，，由得，

综上，；

所以．

若选②③，

若，则由，不恒成立，

只有时，恒成立，设，则，

又时，，，

恒成立，设，则，

，

当时，，，，是减函数，

时，，，，是增函数，

取任意正数时，的最大值是或，

要满足③，则或，或，

所以，

所以．

20. 【答案】（1）   

（2）的最大值为，   

（3）n的最大值为11

【解析】

【分析】（1）根据新定义即可求出；

（2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.

（3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可.

【小问1详解】

由集合知，，

所以.

【小问2详解】

因为，，

由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同，

根据定义要让取到最大值，

则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，

4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中

这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，

所以有一组满足题意，

【小问3详解】

要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为，

因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，

不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如,

则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如，

同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如，

是集合中有个元素的非空真子集，且，例如，

所以，

解得或（舍去），

所以n的最大值为11.

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.