湘豫名校联考2022-2023学年高二下学期6月阶段性考试数学试题及答案解析

这是一份湘豫名校联考2022-2023学年高二下学期6月阶段性考试数学试题及答案解析，共19页。试卷主要包含了 本试卷共6页， 已知，，，则， 已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1. 本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上的指定位置，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，则z的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，且，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知在平面直角坐标系xOy中有，，三点，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 某同学买了一打一次性锡纸烘焙模具，如图，模具为圆台状的托盘，高为20mm，下底部直径为40mm，上面开口圆的直径为60mm，若该同学用此模具烘焙一个蛋糕，烘焙成型后，模具开口圆上方的蛋糕膨胀，膨胀部分视为半球形，半球底面大小与模具开口圆大小相同（烘焙前后模具形状大小不发生变化，模具厚度不计），则烘焙成型后蛋糕的总体积约为[，，，r分别是上、下底面半径，h是高] （ ）
A. B. C. D.
5. 2023年3月份开始，全国多地政府和车企推出各式优惠，花式补贴卖车，部分车型补贴高达9万元.降价潮开始从新能源汽车领域卷入燃油车领域，从线下延伸到直播间.某汽车品牌的4S店在某平台进行直播卖车，每周开展A，B，C，D，E共5种车型的直播推销，每种车型安排1天进行直播推销，连排5天，则A和B两种车型直播推销时间不连排的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数的一个极大值点为，与该极大值点相邻的一个零点为，则在上的值域为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，圆A：，点P和点B分别为椭圆C和圆A上的动点，当取最小值3时，的面积为（ ）
A. B. C. 2D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 如图，在正方体中，点E为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 与AD所成角的正弦值为D. 直线与平面所成角的正切值为
10. 沃柑，因其口感甜柔、低酸爽口，且营养成分高，成为大家喜欢的水果之一，目前主要种植于我国广西、云南、四川、湖南等地.得益于物流的快速发展，沃柑的销量大幅增长，同时刺激了当地农民种植沃柑的热情.根据对广西某地的沃柑种植面积情况进行调查，得到统计表如下：
附：①样本相关系数；②为经验回归方程，，，.
根据上表，下列结论正确的是（ ）
A. 该地区这5年沃柑的种植面积的方差为212
B. 种植面积y与年份代码x的样本相关系数约为0.972（精确到0.001）
C. y关于x的经验回归方程为
D. 预测该地区沃柑种植面积最早在2027年能突破40万亩
11. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，则下列条件能得到抛物线C的方程为的是（ ）
A. 焦点为B. 准线为
C. 与直线相交所得弦长为1D.
12. 已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，当时，，且方程有四个不等实根，，，（），则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，
B.
C. 若方程有7个不同的实根，则
D. 若不等式恒成立，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中项的系数是______.
14. 定义阶导数的导数叫做n阶导数（，），即，分别记作，，，…，，则函数的2023阶导数的图象在点处的切线在x轴上的截距为______.
15. 已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.
16. 已知当时，不等式有解，则实数a的取值范围是______；根据前面不等式，当时，满足恒成立，则实数t的最小值为______.（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求角B；
（2）若，的平分线交BC于点D，且，求c.
18.（本小题满分12分）
茄子和黄瓜是日常可见的蔬菜，种植历史悠久.某农户在自家小院前面开辟了4块大小一致且土质相同的土地，4块土地构成长方形网格状土地（共2行2列），每块土地只种植茄子、黄瓜中的一种，4块地全部种满.若每块地种植茄子的概率为，茄子种子的出芽率为95%；每块地种植黄瓜的概率为，黄瓜种子的出芽率为98%，每块土地种植哪种蔬菜互不影响，茄子与黄瓜种子是否发芽也互不影响.
（1）（i）求恰有2块地种植茄子的概率；
（ii）求每块地蔬菜种子的出芽率；
（2）若记在每列都有种植茄子的条件下，种植黄瓜的行数（该行只要有黄瓜种植即可）为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为菱形，为等边三角形，，M，N分别是PB，CD的中点.
（1）证明：平面PAD；
（2）若三棱锥的外接球的表面积为，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知双曲线C：的离心率为，且过点.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点作直线l交双曲线C于A，B（不与点P重合）两点，且直线PA与PB关于直线对称，求点P到直线l的距离.
21.（本小题满分12分）
已知数列是公差为的等差数列，，且，，成等比数列，又数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，当时，，求数列的前项的和.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有两个不相等的实数根，，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D 【命题意图】本题考查复数的四则运算，考查了数学运算的核心素养.
【解析】因为，所以.所以共轭复数.故选D.
2. C 【命题意图】本题考查集合的运算和表示方法，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
【解析】因为集合，，所以解得.故选C.
3. A 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算及充分条件和必要条件的判断，考查逻辑推理、数学建模的核心素养.
【解析】因为，，所以若，则.
所以或－1，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.
4. B 【命题意图】本题考查实际问题中圆台和球的体积的计算，考查直观想象、数学运算的核心素养.
【解析】圆台状托盘的体积为，模具开口圆上方半球部分的蛋糕体积为，故烘焙成型后蛋糕的总体积约为.故选B.
5. C 【命题意图】本题考查计数原理、古典概型的概率，考查逻辑推理的核心素养.
【解析】5种车型全排列有种排法，先将C，D，E进行排列，共有种排法，再从产生的4个空位中选2个安排A和B，共有种排法，所以A和B两种车型直播推销时间不连排的概率为.故选C.
6. D 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算的核心素养.
【解析】根据题意，得，所以.又，所以，所以.因为，所以，所以.故选D.
7. C 【命题意图】本题考查函数的单调性、导数知识，考查数学运算的核心素养.
【解析】设，，则，所以单调递减.所以.所以，所以.设，，则，所以单调递增.所以.所以.所以，所以.综上所述，.故选C.
8. A 【命题意图】本题考查了椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.
【解析】由题知，所以.所以.当P，B两点在的延长线上时，等号成立.所以，所以，.所以直线的方程为，与方程联立，可得，解得（负值已舍去，其中为点P的纵坐标）.所以的面积为.故选A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. ACD 【命题意图】本题考查线线、线面位置关系及空间角的计算，考查直观想象、数学运算的核心素养.
【解析】如图，连接，由题易得，，又，所以平面.又平面，所以，A正确；若平面，因为平面平面，所以，与题意不符，B错误；因为，所以为与AD所成的角（或其补角）.连接，设正方体的棱长为2，易得平面，所以.因为，，，所以，C正确；因为为在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角，所以，D正确.故选ACD.
10. BC 【命题意图】本题考查线性回归的有关知识，考查数据分析、数学运算的核心素养.
【解析】根据题意，得，，，A错误；由题意得，，，所以，B正确；所以，.所以y关于x的经验回归方程为，C正确；令，得，所以最小的整数为8，，所以该地区沃柑种植面积最早在2025年能突破40万亩，D错误.故选BC.
11. BCD 【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学运算的核心素养.
【解析】抛物线C的焦点应在y轴上，A错误；由准线为，知，解得，所以抛物线C的方程为，B正确；将直线代入，解得，所以直线与抛物线C相交所得弦长为，解得，所以抛物线C的方程为，C正确；设，，直线AB的方程为，代入可得，，所以，故，从而.所以，故抛物线C的方程为，D正确.故选BCD.
12. ABD 【命题意图】本题考查函数的性质、图象、零点问题，考查直观想象、数学运算的核心素养.
【解析】当时，，所以.又，所以，A正确；函数的大致图象如图所示，当方程有四个不等实根，，，（）时，，关于对称，，关于对称，所以，B正确；因为，所以或.当时，对应的根有4个，所以需有3个根.所以，C错误；因为，所以，所以.因为，所以.因为，所以不等式恒成立，即恒成立.因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以.D正确.故选ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 380 【命题意图】本题考查了二项式定理的应用，考查数学运算的核心素养.
【解析】因为，的通项公式为，所以项的系数为.
14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义的应用，考查数学运算的核心素养.
【解析】因为，，…，，又，，，所以切线方程为.故切线在x轴上的截距为.
15. 【命题意图】本题考查圆的方程、两圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.
【解析】因为：的圆心坐标为，所以，所以.所以：，两圆的方程相减可得相交弦方程为.
16. ；（第一个空2分，第二个空3分） 【命题意图】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.
【解析】（1）因为当时，有解，所以有解.设，即证有解，则.因为，所以.设.
①当时，在上单调递增，所以，所以.所以在上单调递增，所以，不满足条件；②当时，因为，在上先减后增，所以，使得.所以，在上先负后正，即，使得.所以当时，，单调递减.所以当时，，满足题意.综上所述，.
（2）当，时，，令，则，所以.所以，故实数t的最小值为.
四、解答题：共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【命题意图】本题考查三角变换、正弦定理、余弦定理的应用，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.
【解析】（1）因为，
所以，
所以.
所以，所以，即.……3分
（2）因为，
所以由正弦定理，得.
所以.……5分
所以或（不合题意，舍去）.……6分
故.……7分
在中，，
由正弦定理，得，
所以.……9分
故.……10分
18.【命题意图】本题考查相互独立事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望，考查数据分析、数学运算的核心素养.
【解析】（1）（i）恰有2块地种植茄子的概率为.……2分
（ii）每块地蔬菜种子的出芽率为.……4分
（2）由已知可得，X的取值可能为0，1，2，记事件为“种植黄瓜的行数为k”（），
记事件B为“每列都有种植茄子”，则.……5分
所以，……6分
，……8分
.……10分
所以X的分布列为
所以.……12分
19.【命题意图】本题考查线面平行的关系、利用空间向量求平面的夹角，考查逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】（1）如图1取AB的中点O，连接ON，OM.
因为N为CD的中点，所以.
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.……1分
因为M为PB的中点，所以.
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.……2分
又，所以平面平面PAD.……3分
因为平面MON，所以平面PAD.……4分
（2）如图2，连接OC，OP，易得.
因为平面平面ABCD，平面平面，
又，所以平面ABCD.
因为平面ABCD，所以.
又，，所以平面POC.
设三棱锥的外接球的球心为G（图中未画出），半径为R，则球心G与、的中心以及点O构成正方形.……5分
设，则，，
所以，
所以.
因为三棱锥外接球的表面积为，所以.……6分
以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图2所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.……7分
设平面PBC的法向量为，
则，所以，解得.
令，可得平面PBC的一个法向量为.……8分
设平面PCD的法向量为，
则，所以，解得.
令，得平面PCD的一个法向量为.……9分
设平面PBC与平面PCD的夹角为，则.
故平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为.……12分
20.【命题意图】本题考查双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系，考查数学运算的核心素养.
【解析】（1）因为双曲线C的离心率为，所以.
又，所以，所以.……2分
因为双曲线C过点，所以，所以，所以.……4分
所以双曲线C的标准方程为.……5分
（2）由题可得直线PA，PB的斜率存在且不为零.
设直线PA的方程为，直线PB的方程为，
，，……6分
联立方程，整理得，
，则.
所以，……7分
所以.……8分
同理可得.……9分
所以，
故直线l的方程为.……11分
所以点P到直线l的距离为.……12分
21.【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的有关计算，与的关系，错位相减法求和，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
【解析】（1）由题意，得，即，
化简得，解得或.
又，所以.……2分
所以.
又因为当时，，即；……3分
当时，，
所以，所以.……4分
所以是首项为2，公比为2的等比数列，故.……5分
（2）当时，，共项；
当时，，共项；
当时，，共项；
…
当时，，共项，……7分
以上共有项.
所以数列的前项的和为.……9分
记，
则.……10分
上述两个等式作差可得，
所以.……11分
因此，数列的前项的和为.……12分
22.【命题意图】本题考查了利用导数研究函数的单调性、解不等式、证明不等式，考查数学运算的核心素养.
【解析】（1）由，得.
所以，所以.……2分
因为，所以.又因为，
所以可设，，则.
当时，，可得函数在上单调递增，
所以，即.
故不等式的解集为.……4分
（2）等价于，……5分
令，其中，则，显然.所以.
令，则，
所以在，上单调递减，在上单调递增.
所以.……7分
因为方程有两个不相等的实数根，，
所以关于t的方程有两个不相等的实数根，，且，.
要证，即证，
即证，只需证.……8分
因为，所以，
整理可得.……9分
不妨设，则只需证，
即证.……10分
令，，，则只需证即可.
因为，所以在上单调递增.
所以.
故.……12分.年份t
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
种植面积y/万亩
8
14
15
20
28
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
B
C
D
C
A
ACD
BC
BCD
ABD
X
0
1
2
P