2021届上海市交通大学附属中学高三上学期10月月考数学试题

2021届上海市交通大学附属中学高三上学期10月月考数学试题

一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）

1、若样本数据依小到大为1，2，3，x，6，6，它们的中位数是4，则______.

2、若线性方程组的增广矩阵为，解为，则______.

3、若复数z满足，则z的虚部是______.

4、方程的解为______.

5、在的二项展开式中，常数项为______.

6、记函数的反函数为，如果函数的图像过点（1，-4），那么函数的图像一定过点______.

7、空间中一条线段在三视图中的长度分别为5，，，则该线段的长度为______.

8、设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，则该双曲线的渐近线方程为______.

9、函数的部分图像如图所示，则______.

10、函数和的图像拼成如图所示的“Z”字形折线段，不含，，，，五个点，若函数的图像关于原点对称的图形即为的图像，则其中一个函数的解析式可以为______.

11、已知等差数列（公差不为零）和等差数列，如果关于x的方程：

有实数解，那么以下2021个方

程，，，…，中，无实数解的方程最多有______个.

12、函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于2020，则满足条件的所有整数k的值是______.

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

13、已知，，若，则（    ）

A.有最小值  B.有最小值

C.有最大值  D.有最大值

14、已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为（    ）

A.3   B.   C.   D.4

15、设集合，，，，

其中.下列说法正确的是（    ）

A.对任意a，是的子集：对任意b，不是的子集

B.对任意a，是的子集：存在b，使得是的子集

C.存在a，使得不是的子集；对任意b，不是的子集

D.存在a，使得不是的子集；存在b，使得是的子集

16、对于定义在上的函数和，有下面几个命题：

①若，当n为奇数时，函数是奇函数；

②若,当n为偶数时，函数是偶函数：

③存在正奇数n和奇函数，满足对任意的x，都有；

④存在正偶数n和偶函数，满足对任意的x，都有；

⑤存在正整数n，使得与均为单调函数，其中，.

其中真命题的个数是（    ）

A.2个  B.3个   C.4个   D.5个

三、解答题（本大题共5题，满分76分，14′+14′+14′+16′+18′=76）

17、本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，，.

（1）求直线与平面所成角的大小；

（2）求绕棱旋转一圈形成几何体的体积.

18、本小题满分14分（第1小题满分7分，第2小题满分7分）

如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.

（1）求渔船甲的速度；

（2）求的值.

19、本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在数列中，，.

（1）求证：是等比数列，并求通项；

（2）设，从数列中依次取出第项，第项，…第项，按原来的顺序组成新的数列，其中，其中.试问是否存在正整数m，使？若存在，求出m的值：不存在，说明理由。

20.（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）

已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点，倾斜角为45°，与椭圆交于A、B两点.

（1）若，求椭圆方程；

（2）对（1）中椭圆，求的面积；

（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关系.

21.（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知：函数是上的增函数：若对一切满足定义的x成立，则函数关于点中心对称.

对于函数，试回答下面几个问题：

（1）求函数的对称中心：

（2）当时，求方程：的所有解；

（3）对于等差数列，记前n项和，的前n项和，试判断：“”是“”成立的什么条件，并证明.

参考答案

1.答案：5.

2.答案：2.

3.答案：，故虚部是.

4.答案：2.

5.答案：84.

6.答案：（-2，1）

7.答案：.

8.答案：.

9.答案：2.

10.答案：符合题意。

类似，也符合题意（还有其它答案，但多数写这两个）.

11.答案：1010个.

12.答案：1006或1007.

13.答案：A

14.答案：D

15.答案：B

16.答案：C

17.答案：（1）直线与平面所成角的大小为.

（或）

（2）

18.[解]（1）14海里/小时.

（2）.

19.解：（1）.

（2）.

20.解（1）.

（2）.

（3）

21.解：（1）.

（2）当时该方程有唯一解；当时方程无解.

（3）充要条件