新教材适用2024版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第6讲解三角形课件
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知识点一 正弦定理和余弦定理
b2＋c2－2bccs A
c2＋a2－2accs B
a2＋b2－2abcs C
sin A：sin B：sin C
知识点二 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下
知识点三 三角形常用面积公式
知识点四 实际问题中的常用术语
知识点五 实际测量中的常见问题
在△ABC中，常有以下结论1．∠A＋∠B＋∠C＝π.2．在三角形中，大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5．tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C．6．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A
题组二 走进教材2．(必修2P44T1改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
7．(2019·全国卷Ⅱ，5分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acs B＝0，则B＝______.
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(3)(2023·河南南阳期中)在△ABC中，a＝8，b＝10，A＝45°，则此三角形解的情况是( )A．一解 B．两解C．一解或两解 D．无解(4)(2022·南阳四校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形的外接圆的半径R＝______.
(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”．(4)已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理．
若选①△ABC为等边三角形．由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab.
若选②△ABC为等腰直角三角形，
判断三角形形状的2种途径
〔变式训练1〕(1)(2022·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcs C－2ccs B＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形(2)(2023·开封调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
(2)解法一：已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cs Asin B＝2b2cs Bsin A.由正弦定理知上式可化为sin2Acs Asin B＝sin2Bcs Bsin A，∴sin 2A＝sin 2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，
解法二：同解法一可得2a2cs Asin B＝2b2sin Acs B．
(2022·上海卷)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30 m，AD＝15 m，为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心，AD为半径的四分之一圆的地块为古树保护区．若架空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与古树保护区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．
(1)若∠ADE＝20°，求EF的长．(结果精确到0.1 m)(2)当入线口E在AB上什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？(结果精确到0.01 m2)
[解析] (1)作DH⊥EF，垂足为H，如图．∵DH＝DA＝15，DA⊥AE，DH⊥HE，∴Rt△DHE≌Rt△DAE，∴∠HDE＝∠ADE＝20°，∠HDF＝90°－20°－20°＝50°，∴EF＝EH＋HF＝15tan 20°＋15tan 50°≈23.3(m)．
解三角形的实际应用问题的类型及解题策略
〔变式训练3〕(2021·全国乙，9)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝( )
[分析] 根据题意作辅助线，选择合适的参数，将所求的量与已知的“表高”“表距”“表目距的差”联系起来，从而求得海岛的高度．
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角度1 测量距离问题 (2023·武汉模拟)如图，一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔时，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔时，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
三角形中的实际测量问题
[解析] 过点C向正南方向作一条射线CD，如图所示，由题意可知，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，所以∠ACB＝110°－65°＝45°.AB＝24×0.5＝12(海里)．
距离问题的常见类型及解法(1)类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸．(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．若图中涉及多个三角形，则先解可解三角形，借助公共边、公共角再解其他三角形从而求解．
求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来．而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．
角度3 角度问题 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12海里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
[解析] 如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcs 120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.
角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角．
〔变式训练4〕(1)(角度1)如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为____________________m.
(2)(角度2)(2023·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了600 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________________.
(3)(角度3)(2023·宜昌模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )A．30° B．45° C．60° D．75°
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