解析版：【名校】重庆市西南大学附中高2018级第四次月考理数试卷

西南大学附属中学校高2018级第四次月考

数学试题（理）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】分析：解一元二次不等式得集合A，再确定出集合B中的元素后，可根据交集定义求解．

详解：由题意，，∴．

故选B．

点睛：本题考查集合的交集运算，而解决集合的问题关键是确定集合的元素，对列举法表示的集合，集合元素可以一一列举，对描述法表示的集合一定要注意代表元形式，由代表元可确定集合上函数的定义域，还是函数的值域，或者是不等式的解集等.

2. 下列说法正确的是（    ）

A. “”是“函数是奇函数”的充要条件

B. 样本的相关系数，越接近于，线性相关程度越小

C. 若为假命题，则，均为假命题

D. “若，则”的否命题是“若，则”

【答案】D

【解析】分析：依次判断各个命题的真假，可得出正确结论．

详解：A．是奇函数，但不存在，是偶函数，也满足，因此应为既不充分也不必要条件，A错；

B．样本的相关系数，越接近于，线性相关程度越大，B错；

C．只要中有一个是假命题，则为假命题，C错；

D．由否命题的定义知D正确．

故选D．

点睛：本题考查命题的真假判断，一般需要对每个命题进行判断，这就要求学生必须掌握相应的概念、性质，属于难题．

3. 等比数列中，，，则（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】分析：由等比数列的性质求解较方便．

详解：∵是等比数列，∴也是等比数列，

∴．

故选A．

点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算，当然应用性质求解更应提倡．本题所用性质为：数列是等比数列，则（为常数）仍是等比数列．

4. 已知，，，则（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】分析：由列出方程组求解.

详解：由题意，即，∵，∴.

故选C.

点睛：本题考查平面向量的数量积，考查数量积的性质，特别是性质：，利用此性质可把向量的垂直转化为向量的数量积运算.

5. 已知定义在上的函数，记，，，则、、的大小关系是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】分析：判断函数的单调性与奇偶性，利用单调性可比较大小.

详解：易知是偶函数，在上是减函数，

又，而，

∴，即.

故选D.

点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，比较大小问题，一般要利用函数的单调性，这里必须让函数的自变量在同一单调区间上，本题利用偶函数的性质易于转换.是比较大小的常见类型，应掌握其方法.

6. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是，则（    ）

........................

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】分析：模拟程序运行，观察变量的变化规律，找到程序的本质后可得结论.

详解：模拟程序运行，本程序实质是计算，即，而，因此上面和式中计算到，当时应结束循环，所以 .

故选B.

点睛：本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察其中变量的变化规律，寻找程序的数学本质，由数学知识推导出判断条件.

7. 设曲线及直线所围成的封闭图形为区域，不等式组所确定的区域为，在区域内随机取一点，则该点恰好在区域内的概率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】分析：求出两个区域的面积，由几何概型概率公式计算可得.

详解：由题意，，

∴，

故选C.

点睛：以面积为测度的几何概型问题是几何概型的主要问题，而积分的重要作用正是计算曲边梯形的面积，这类问题巧妙且自然地将新课标新增内容——几何概型与定积分结合在一起，是近几年各地高考及模拟中的热点题型．预计对此类问题的考查会加大力度．

8. 已知，的最大值为，则（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】分析：利用导数求得的最大值，再进行变形

详解：由已知，∴，又，联立可解得或.

当时，，当时，，显然是最大值，∴.

故选C.

点睛：对处处可导的连续函数，为极值点时，，因此象本题用导数知识求解比较方便，当然本题也可用三角函数的辅助角公式变形求解.

9. 某个班级组织元旦晚会，一共准备了、、、、、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排或，最后一个节目不能排，且、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（    ）种

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】分析：先排第一个节目，同时把C、D捆绑在一起作为一个元素，按第一个节目排A还是排B分类，如果第一个是B，则第二步排最后一个节目，如果第一个是A，则后面全排列即可．

详解：由题意不同节目顺序有．

故选B．

点睛：本题考查了排列、组合题两种基本方法

(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．

(2)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．

10. 若函数有一个极值点为，且，则关于的方程的不同实数根个数不可能为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】分析：

详解：由已知，

由题意有两个不等实根，不妨设为，

因此方程有两个不等实根，即或，由于是的一个极值，因此有两个根，而有1或2或3个根（无论是极大值点还是极小值点都一样，不清楚的可以画出的草图进行观察），所以方程的根的个数是3或4或5，不可能是2．

故选A．

点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及方程根的个数等基础知识，考查了数形结合的思想方法、揄能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．

11. 已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】分析：不妨设在第二象限，由外接圆面积得其半径，设，利用正弦定理求出，从而可得，然后求得点坐标，把点坐标代入双曲线方程可得关系式，化简后可求得离心率．

详解：不妨设在第二象限，则在等腰中，，

设，则，为锐角．

外接圆面积为，则其半径为，∴，

∴，，

∴，，

设点坐标为，则，，

即点坐标为，

由点在双曲线上，得，整理得，

∴．

故选C．

点睛：本题将解三角形和双曲线的几何性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得出点的坐标，是解题的突破点，在得到点坐标后，根据点在双曲线上得出间的关系，最后根据可求得离心率．

12. 已知函数，，若成立，则的最小值是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．

详解：设，则，，，

∴，令，

则，，∴是上的增函数，

又，∴当时，，当时，，

即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，

，∴的最小值是．

故选A．

点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 设，其中，是实数，则__________．

【答案】

【解析】分析：由复数相等求出实数，再由复数的模的定义求得模．

详解：由得，即，

∴．

故答案为．

点睛：本题考查复数相等的概念和复数模的概念，两个复数相等的充要条件是实部和实部相等，虚部和虚部相等，由此可求得实数，再根据模的定义求得模，属于基础题．

14. 设变量，满足：，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】分析：作出可行域，作直线，求得的最大值和最小值后可得结论．

详解：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过时，取得最小值－8，当过时，取得最大值4，∴的最大值为8．

故答案为8．

点睛：本题考查简单的线性规划问题，求绝对值的最大值问题，根据绝对值的定义，要同时求得的最大值和最小值，然后比较这两个数的绝对值的大小得出结论．

15. 已知的部分图象如图所示，则__________．

【答案】

【解析】分析：根据已知条件求出函数的解析式后，再求值．

详解：由题意，，

（），∵，∴，

，，∴，

∴．

故答案为．

点睛：由图象确定函数的解析式问题，一般可与“五点法”联系，结合“五点法”中五点：易求得结论．

16. 已知，是抛物线上一动点，若以为圆心，为半径的圆上存在点，满足，则点横坐标的取值范围是__________．

【答案】

【解析】分析：由圆P与圆C有公共点可得相应不等式，从而求得的范围．

详解：设（），由题意圆与圆有公共点，∴，即，即，解得．

故答案为．

点睛：本题实质考查两圆的位置关系，题意说明圆与圆有公共点，因此圆心距满足，从而可求得的范围，两圆的位置关系一般都是通过比较圆心距与两半径之和或差的关系来确定．掌握两圆位置关系的判定是解题关键．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列的前项和满足：.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；

（2）根据（1）的结论，数列的前项和可用裂项相消法求得．

详解：（1）∵    ①

当时，，∴

当时，    ②

由①-②得：

∴

∴是以为首项，公比为的等比数列

∴

（2）∵

∴

点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．

18. 某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）.无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2．

表1

表2

回答以下问题．

（1）由表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；

（2）根据最小二乘法，由表2的数据计算关于的回归方程；

（3）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”大于（1）中无酒状态下的停车距离平均数的倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（2）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（精确到个位）

（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，）

【答案】（1）27.1（2）（3）大于毫克时为“醉驾”

【解析】分析：（1）每个区间的中点作为估计值进行计算可得平均数；

（2）根据所给公式计算回归方程中的系数即可；

（3）由（2）解不等式可得．

详解：（1）

（2）  

∴

∴回归方程为

（3）由题意知：，∴

∴预测当每毫升血液酒精含量大于毫克时为“醉驾”

点睛：本题考查线性回归直线方程，解题时根据所给公式计算即可，属于基础题．

19. 已知函数.

（1）求的对称轴所在直线方程及其对称中心；

（2）在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，求周长的取值范围．

【答案】（1）对称轴方程为，，对称中心为，（2）

【解析】分析：（1）用两角和的正弦公式展开变形，用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数的形式，再根据正弦函数的性质可得结论；

（2）由，求得，再由余弦定理得的等量关系，利用基本不等式和三角形中两边之和大于第三边可得的取值范围，从而得周长范围．

详解：（1）

由，∴∴的对称轴方程为，

由，∴，∴的对称中心为，

（2）∵，∴，∴，

∴，得：，，∴

又，∴，∴

点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：

解：∵，∴，∵，∴

∴，∴

由正弦定理得：

∴，

∴

∵，∴

∴的周长范围为

20. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设、、是椭圆上三动点，且，线段的中点为，，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．说明，再由直角三角形得，从而可得值，得标准方程；

（2）关键是把表示为一个变量的函数，当直线斜率不存在时，可直接求出的长，当直线斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立方程组，变形后由判别式写出一个不等关系，并设，由韦达定理得出，由表示出点坐标代入椭圆方程得，代入刚才的得的关系式：，它满足判别式＞0，计算中点的坐标，再计算线段长，最终表示为的函数，从而中求得取值范围．

详解：（1）由题意，，，∴，

∴椭圆

（2）设，，，

由

∴，得：

当的斜率不存在时，，

由,，得，∴，

当的斜率存在时，设

得：，

，

由点在椭圆上得得：，此时总成立

又，

∴，

∴且，∴且

综上：

点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系问题，考查“设而不求”的思想方法，考查范围问题，解析几何中范围问题一般要把目标表示出一个参数的函数，这里关键是参数的选择要恰当．第（2）题中可用下列方法建立函数：

设中点，则，

∴

∴

设，

则

∴

21. 函数，.

（1）求函数的单调区间及极值；

（2）若，是函数的两个不同零点，求证：①；②.

【答案】（1）在递减，递增，，无极大值（2）见解析

【解析】分析：（1）求出，解不等式得增区间，解不等式得减区间，从而也可得到极值；

（2）①先确定函数的变化趋势，由函数式，知或时，都有，从而要有两个零点，则必有，从而得．因此两个零点，不妨设，通过构造函数，由的单调性可证，即，最后由的单调性，得证，②证明：令，然后证明＝，由，得，计算

，由由得，再由在上的单调性可证结论．

详解：（1）定义域： 

令，则，令，则

∴在递减，递增

∴，无极大值

（2）由（1）知时，；时，

要使有两个不同零点，则即

不妨设，

①证明：令，则

在递增而，∴

∴即

∵，∴

∵且在递减

∴，即

②证明：令，下面先证明，

∵，，∴在递增

∴，∴在递增，∴

即在总成立，∵，∴

又

∵由知，

又，且及在递减

∴，即

点睛：本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查转化与化归等数学思想，属于难题．解题的关键是构造新函数，通过新函数的单调性过渡到原函数的单调性，转化与化归思想在这里有着充分的体现．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），与轴交于，以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于、两点．

（1）求曲线的直角坐标方程和点的一个极坐标；

（2）若，求实数的值．

【答案】（1），（2）

【解析】分析：（1）由可把极坐标方程与直角坐标方程互化；

（2）把直线的参数方程直接代入曲线C的直角坐标方程，利用韦达定理得，由得，与韦达定理所得式子联立可解得．

详解：（1）由得，∴，点坐标为，其极坐标为．

（2）将代入得

∵，∴

∴，∴

点睛：过，倾斜角为的直线的标准参数方程为（为参数），直线上点对应的参数为，则表示有向线段的数量，即，．

23. 选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）对，都有恒成立，求的取值范围；

（2）设不等式的解集为，若，求证：.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】分析：（1）设，可由绝对值的定义去掉绝对值符号，得分段函数，从而可得的最小值，从而得的取值范围；

（2）解不等式得，计算并因式分解后可证得其小于0，最后可证题中不等式．

详解：（1）∵，∴

∴在上递减，在上递增，当时为常数

∴，∴

（2）∵，∴

∵

∵,∴,,∴,

∴，∴，∴

点睛：解含绝对值的不等式，一般是用绝对值的定义去掉绝对值符号，化含绝对值的不等式为不含绝对值的不等式，分类求解．有时也可利用绝对值的性质求解．求含绝对值的函数的最值也是根据绝对值定义去绝对值符号后，再利用单调性等函数的性质得出．