专题10 二项式定理常见考题——2022-2023学年高二数学下学期期末专题复习学案+期末模拟卷（人教A版2019）

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专题10 二项式定理常见考题
【考点预测】
1、定义
一般地，对于任意正整数，都有：
（），
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数
2、二项式（a+b）n的展开式的特点：
（1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；
3、二项展开式的通项：
（）
公式特点：
①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；
②字母b的次数和组合数的上标相同；
4、二项式系数及其性质
（1）的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大．
③各二项式系数之和为，即；
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
即．
考点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
（2）展开式中的系数求法（的整数且）

考点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．
5、二项式定理的应用
（1）求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）．
（2）利用赋值法进行求有关系数和．
（3）利用二项式定理证明整除问题及余数的求法．
（4）证明有关的不等式问题．
（5）进行近似计算．
【典型例题】
例1．（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）的个位数字为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】因为
，
而个位数均为0，
所以的个位数字与相同，
而
因为个位数均为0，
所以的个位数字与相同，
故的个位数字为7.
故选：B
例2．（2023·上海·高二专题练习）被9除所得的余数为（    ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【解析】由题意可得：，
可知的展开式为，
当时，均可被9整除；
当时，被9除所得的余数为7；
综上所述：被9除所得的余数为7.
故选：D.
例3．（2023·江苏·高二专题练习）设，化简（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
故，
故选：B.
例4．（2023·全国·高二专题练习）设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】的展开式的通项，
令得，因为，所以当时，有最小值3，
故选：B
例5．（2023·江苏·高二专题练习）的展开式中含的项的系数为（    ）
A． B．60 C． D．30
【答案】A
【解析】的展开式中含的项为，
的展开式中含的项为，
的展开式中含的项的系数为.
故选：A.
例6．（2023·全国·高二专题练习）的展开式中，共有多少项？（    ）
A．45 B．36 C．28 D．21
【答案】A
【解析】当展开式的项只含有1个字母时，有3项，
当展开式的项只含有2个字母时，有项,
当展开式的项含有3个字母时，有项,
所以的展开式共有45项；
故选：A.
例7．（2023春·高二课时练习）的展开式中，含项的系数为（    ）
A．10 B．－10 C．2 D．－2
【答案】C
【解析】的展开式中，含项的系数是由两个因式相乘而得到的，
即“第一个因式的常数项乘第二个因式的一次项”+“第一个因式的一次项乘第二个因式的常数项”，
为，
其系数为.
故选：C.
例8．（2023春·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）的展开式中二项式系数和为（    ）
A． B．24 C． D．16
【答案】D
【解析】的展开式中二项式系数和为.
故选：D
例9．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）若，则（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】令，由
可得
即
故选：C
例10．（2023春·山西太原·高二山西实验中学校考阶段练习）设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若，则展开式中有理项共有（    ）
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
【答案】C
【解析】二项式系数和为，
在中，令，得，
由，
二项式的通项公式为，
令，则，所以展开式中有理项共有3项，
故选：C
例11．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）设，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，
对于A选项，，A错；
对于B选项，，
B错；
对于CD选项，，
所以，，
，C对D错.
故选：C.
例12．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）在的展开式中，含的项的系数是___________.
【答案】
【解析】由题意可知从题中的6个因式中，
其中5个选x，余下的一个选常数相乘，即可得到项，
比如都选x，此时系数为，
都选x，此时系数为，
依此类推，
直到都选x，此时系数为，
共6种情况，将这6项合并，即可得，
故含的项的系数是，
故答案为：
例13．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知展开式的二项式系数和为512，．则=_______．
【答案】
【解析】展开式的二项式系数和为，则
所以，则
所以
故答案为：
例14．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）（1）已知，其中，求的值；
（2）设，求
【解析】（1）由题意，
在中，
设，
的展开式通项为：，
∴，
即，
∴，解得，
∴，
.
（2）由题意及（1）得，
在中，
两边求导得：，
令，
有，
∵二项展开式中，
∴.
例15．（2023春·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）已知展开式中各项系数之和等于16.
(1)求展开式的第二项；
(2)若的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求的值.
【解析】（1）展开式的各项系数之和等于，
由题意得，∴，
∴展开式的第二项为；
（2）由（1）可得，由二项式系数的性质知，展开式中二项式系数最大的项是第三项，
∴，
∴.
例16．（2023春·河北邯郸·高二校考阶段练习）在的展开式中，前三项系数成等差数列，求：
(1)展开式中所有项的系数之和；
(2)展开式中的有理项；
(3)展开式中系数最大的项．
【解析】（1）展开式通项为，
则前三项的系数分别为1，，，
又展开项的前三项系数成等差数列，
则有，即，解得或者（舍去）；
故展开式的通项公式为，
令，得展开式中所有项的系数之和为．
（2）结合（1）有，
当为整数时，为有理项，则，4，8，
所以当时，；当时，；当时，，
所以展开式中的有理项为，，．
（3）设第项的系数最大，则，解得，
因为，所以或，所以展开式中系数最大的项为，．
例17．（2023春·江苏南通·高二海安高级中学校考阶段练习）设，其中．
(1)当时，求的值；
(2)当时，化简：．
【解析】（1）当时，则，
令，则①，
令，则②，
得：，
故.
（2）
所以，
即成立；
当时，则，
故展开式的通项公式为，可得，
故.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考阶段练习）已知二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为，可得，
则，
其展开式的通项公式为，
令，解得，则其该展开式中的系数是.
故选：A.
2．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）若的展开式中的常数项为，则（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】二项式的展开式的第项为，
令可得，
所以二项式的展开式的第项为常数项，常数项为，
所以，
所以，
故选：C.
3．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）展开式中的常数项为（    ）
A．70 B． C．16 D．64
【答案】A
【解析】，该二项式的通项公式为：，
二项式的通项公式为，
令，
当时，，当时，，当时，，
所以常数项为，
故选：A
4．（2023·高二课时练习）被7除的余数为（    ）
A．1 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【解析】，
因为21是7的倍数，只有最后一项1不能被7整除，故余数为1，
故选：A．
二、多选题
5．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】令，
对于A，，A正确；
对于B，展开式的第项为，
因此，B错误；
对于C，显然展开式的所有奇数项系数均为负数，所有偶数项系数均为正数，
因此，C正确；
对于D，因为，则，D正确.
故选：ACD
6．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）设，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第5项 D．
【答案】BD
【解析】对于A，令得，故A不正确；
对于B，令得，
而由A知：，因此，故B正确；
对于C，因为的展开式中二项式系数最大的项是第6项，故C不正确；
对于D，因为的展开式中，，
所以，，
因此，，所以，故D正确．
故选：BD.
7．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知，下列命题中，正确的有（    ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有项的系数和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为 D．
【答案】ABC
【解析】对于A，二项式展开式中所有项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B，令，，故B正确；
对于C，令，则，
两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为，故C正确；
对于D，令，则，
令，则，
所以，故D错误．
故选：ABC．
8．（2023春·湖北黄冈·高二浠水县第一中学校考期中）已知，下列结论正确的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为，
令，则，令，则，
所以，故B错误；
令，则，故C错误：
令，则，所以，
通项为，所以，故A正确；
令，
则，
令，得，故D正确.
故选：AD
9．（2023春·山西太原·高二山西实验中学校考阶段练习）若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意，
所以，
所以，故A正确．
令，则，
即为，
令，得，故B正确；
对于，
令，得，
令，得：，
两式相加再除以2可得，故C错误.
对于，
令，得，
令 ，得，
故， 故D正确，
故选：ABD
三、填空题
10．（2023·全国·高二专题练习）的展开式中的系数是__________.
【答案】14
【解析】的展开式的通项为，
令，则，
令，则，
故的系数是.
故答案为：14.
11．（2023春·高二课时练习）的展开式中的系数是________.
【答案】
【解析】的展开式中含的项由以下两部分相加得到：
①中的二次项乘以中的一次项，即；
②中的三次项乘以中的常数项－1，
即.
所以的展开式中的系数是，
故答案为：.
12．（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）的展开式中含项的系数为______.
【答案】
【解析】的展开式通项，
令，得；令，得，
故的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
13．（2023·全国·高二专题练习）若在的展开式中，第4项是常数项，则______________．
【答案】12
【解析】设展开式中第项为，则，
又展开式中第4项是常数项，
∴时，，
∴
故答案为：12
14．（2023春·吉林·高二东北师大附中校考阶段练习）在的展开式中，项的系数是______．
【答案】
【解析】展开式的通项公式为，
令，得，所以含项的系数为，
故答案为：．
15．（2023春·江西·高二校联考开学考试）的二项式展开式中的系数为20，则其中系数最大的项是__________.
【答案】当时，；当时,
【解析】由通项可得，令，解得，
则，；
当时，,其中系数最大的项为；
当时，，其中系数最大的项为.
故答案为：当时，；当时,
16．（2023春·山东烟台·高二统考阶段练习）的展开式中含项的系数为__________.
【答案】
【解析】展开式的通项为.
令，则，展开式的通项为，令，
则的展开式中含项的系数为.
故答案为：
17．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）的展开式中，含的项的系数是______．
【答案】
【解析】
因为展开式的通项公式为，
又因为展开式的通项公式为，
则 ，
令，则，，，
所以当，对应的项为，
当，对应的项为，
当，对应的项为，
当，对应的项为，
所以的展开式中含的项的系数是.
故答案为：
18．（2023春·河北邯郸·高二校考期中）的展开式中含项的系数为______．
【答案】
【解析】，
的展开式的通项为．
令，则，．
令，则，，
故的展开式中含项的系数为．
故答案为：
四、解答题
19．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）若，其中为实数.
(1)求；
(2)求的值.
【解析】（1）由题意可得，
那么其展开式通项为，令r=3代入，
故.
（2）令,则，
又令，则,
两式相减，则，
所以.
20．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）对于二项式：
(1)若展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；
(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.
【解析】（1）因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，
所以，解得，
则展开式通项为
，
令，解得，代入通项有：
，所以的系数为；
（2）二项式通项为：
，
所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，
第三项的系数为：，由于前三项的系数成等差数列，
所以，解得，或，
因为至少有前三项，所以（舍），故，
所以展开式有9项，中间一项为.
21．（2023春·河南三门峡·高二灵宝市第一高级中学校考阶段练习）已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.
(1)求展开式中所有二项式系数的和；
(2)求展开式中的常数项.
【解析】（1）前三项的二项式系数和为，
解得或-11（舍去），
中，展开式中所有二项式系数的和为；
（2）的展开式通项公式为，
令得，故.
22．（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）已知（n为正整数）的二项展开式．
(1)若，求展开式中所有项的系数之和；
(2)若，求展开式中的无理项的个数；
(3)若，求展开式中系数最大的项．
【解析】（1）由可得，
令可得，
所以展开式中所有项的系数之和为729；
（2）若，则，解得，或舍去，
设的通项为，
且，
所以当时可得展开式中的无理项，所以共有15个无理项；
（3）设的通项为，
且，
则，解得，
，，
所以展开式中系数最大的项为和．
23．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）若，且．
(1)求实数的值；
(2)求的值．
【解析】（1）令，有
所在的项为，
得，即，解得.
（2）由（1）可知，

对照系数知，.
令，得，令，得
故.
24．（2023春·高二课时练习）在的展开式中.
(1)求第三项的系数；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
【解析】（1）的展开式的通项为，
则，
所以第三项的系数为；
（2）设第项系数的绝对值最大，
则，即，解得
所以或，
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项；
（3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正，
故系数最大的项为，
系数最小的项为.
25．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为．
(1)求n的值及展开式中的常数项是第几项；
(2)展开式中系数最大的项是第几项？
【解析】（1）二项式展开式的通项公式为．
因为第3项和第4项的系数比为，所以，
化简得，解得，所以．
令，得，所以常数项为第17项．
（2）设展开式中系数最大的项是第项，则，
解得．
因为，所以或，所以展开式中系数最大的项是第7项和第8项．
26．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）已知，且.
(1)求的值
(2)求展开式中的奇次项系数之和
(3)求的值
【解析】（1）令得，
令得：，因为中项为，所以，
所以，解得；
（2）取得，
取得
两式相减得，所以；
（3）令，
，
令得
27．（2023·高二课时练习）求证：
(1)能被7整除；
(2)能被64整除．
【解析】（1）,
易知除以外各项都能被7整除．
又显然能被7整除，
所以能被7整除．
（2）是64的倍数，
故原式可被64整除．
28．（2023·高二课时练习）利用二项式定理证明()能被25整除.
【解析】因为
，
所以，
当时，能被25整除；
当时，能被25整除；
所以，当时能被25整除.
29．（2023·高二课时练习）求下列各数的近似值（精确到0.001）：
(1)；
(2)．
【解析】（1）由二项式定理展开式得

由于精确到0.001，所以
（2）由二项式定理展开式得 ，
由于精确到0.001，所以