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专题18 频率与概率-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册）
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这是一份专题18 频率与概率-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册），文件包含专题18频率与概率解析版docx、专题18频率与概率原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
体系搭建
1.概率的意义
概率是对未发生（或将要发生的）事件的一种推测．这是讨论概率的前提，概率越大，表示未来发生的可能性也就越大．比方说明天下雨的概率为0.9，那么明天下雨的可能性就很大了，但并不表示明天一定会下雨；如果说明天下雨的概率为0.1，那么表示明天下雨的可能性比较小，但不表示明天不下雨．这里我们可以看出概率表示的是将来某事件是否要发生的可能性的判断．
2.概率的基本性质
（1）概率的取值范围：[0，1]．
（2）必然事件的概率为1．
（3）不可能事件的概率为0．
（4）互斥事件的概率的加法公式：
如果事件A，B互斥时，P（A+B）＝P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）．
如果事件A，B对立事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）＝1．
注意事项：
①特别的，若事件B与事件A互为对立事件，则A∪B为必然事件，P（A∪B）＝1．在由加法公式得到P（A）＝1﹣P（B）
②若某事件发生当且仅当事情A发生或B发生，则称此事件为事件A与B的并事件，记作（A∪B）
③若某事件发生当且仅当事件A发生且B发生，则称此事件为事件A与B的交事件，记作（A∩B）
④若C∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件D与事件A互为对立事件，其含义是：事件F与事件E在任何一次实验中有且仅有一个发生．
例题分析
考点1 概率的含义
【例1】．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
解：抛一枚筛子，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，该游戏公平，故A错误，
同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7的概率为，即甲胜的概率与乙胜的概率不等，故B正确，
从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的概率为，是黑色的概率为，该游戏公平，故C错误，
甲、乙两人各写一个数字，同奇或同偶的概率为，不同奇或同偶的概率也为，该游戏公平，故D错误．
故选：B．
Ø变式训练
【变1-1】．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（ ）
A．本市明天将有90%的地区降雨
B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
解：本市降雨的概率是90%，
是说明天下雨发生的可能性很大，
但不一定就一定会发生．
所以只有D合题意．
故选：D．
【变1-2】（多选）．下列说法中错误的有（ ）
A．任何事件的概率总是在（0，1）之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，任何事件的概率总是在[0，1]之间，A错误；
对于B，频率与试验次数有关，B错误
对于C，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，C正确；
对于D，概率是客观的，在试验前能确定，D错误；
故选：ABD．
考点2 利用频率估计概率
【例2】．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20℃，25℃），需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
4
5
25
38
18
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x＝（ ）
A．100 B．300 C．400 D．600
解：这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃，
由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1．
故选：B．
Ø变式训练
【变2-1】．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如表格．如果另一人服用此药，估计这个人的体重减轻的概率约为（ ）
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
600
200
200
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
解：由表格可得这个人的体重减轻的概率约为 ＝0.6，
故选：D．
【变2-2】．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组
[90，100）
[100，110）
[110，120）
[120，130）
[130，140）
[140，150]
频数
1
2
3
10
3
1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的（ ）
A．30% B．70% C．60% D．50%
解：由数据分布表知，
20个苹果中，质量不小于120克的有：10+3+1＝14个，
∴这堆苹果中，
质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的．
故选：B．
考点3 用随机模拟估计概率
【例3】．袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、华，民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232ㅤ321ㅤ230ㅤ023ㅤ123ㅤ021ㅤ132ㅤ220ㅤ001
231ㅤ130ㅤ133ㅤ231ㅤ031ㅤ320ㅤ122ㅤ103ㅤ233
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 ．
解：根据题意，随机数中只有021，001，130，031，103共5种情况，
则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为，
故答案为：．
Ø变式训练
【变3-1】．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527ㅤ0293ㅤ7140ㅤ9857ㅤ0347ㅤ4373ㅤ8636ㅤ6947ㅤ1417ㅤ4698
0371ㅤ6233ㅤ2616ㅤ8045ㅤ6011ㅤ3661ㅤ9597ㅤ7424ㅤ7610ㅤ4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75
解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：
7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698
6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，
∴该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为：P＝＝0.75．
故选：D．
【变3-2】．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
解：由题意，随机数中满足两只豚鼠被感染的有192，271，932，812，393，127共6个，
故三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为．
故选：B．
1．“某彩票的中奖概率为”意味着（ ）
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
解：“某彩票的中奖概率为”，
对于A，买100张彩票不一定能中奖，故A错误；
对于B，买100张彩票有可能中一次奖，故B错误；
对于C，买100张彩票有可能中一次奖，故C错误；
对于D，购买彩票中奖的可能性为，故D正确．
故选：D．
2．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0.5 D．0.5，0.48
解：在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，
发现正面朝上出现了48次，
那么出现正面朝上的频率为：＝0.48，
概率为0.5．
故选：C．
3．在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：∵在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，
∴P（A）＝＝，P（）＝，
∴一次试验中，事件A∪发生的概率为：
P（A∪）＝P（A）+P（）＝＝．
故选：C．
4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”，且已知P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）
A．0.65 B．0.35 C．0.3 D．0.005
解：由题意知本题是一个对立事件的概率，
∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
P（A）＝0.65，
∴抽到不是一等品的概率是1﹣0.65＝0.35
故选：B．
5．考虑掷硬币实验，设A＝“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B．掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5
C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，掷2次硬币，有4个基本事件，事件“一个正面，一个反面”有2个基本事件，则该事件发生的概率为，A错误；
对于B，掷10次硬币，事件A发生的次数不一定是5，B错误；
对于C，重复掷硬币，事件A发生的频率接近事件A发生的概率，C错误；
对于D，当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近事件A发生的概率，即接近0.5，D正确，
故选：D．
6．下列正确的结论是（ ）
A．事件A的概率P（A）的值满足0＜P（A）＜1
B．如P（A）＝0.999，则A为必然事件
C．灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这时合格品的可能性为99%
D．如P（A）＝0.001，则A为不可能事件
解：由概率的基本性质，事件A的概率P（A）的值满足0≤P（A）≤1，故A错误；
必然事件概率为1，故B错误；不可能事件概率为0，故D错误．
故选：C．
7．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验最可能是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率
D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
解：根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，
对于A，抛一枚硬币，正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
对于B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；
对于C，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率为，故此选项不符合题意；
对于D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项符合题意，
故选：D．
（多选）8．下列说法正确的有（ ）
A．某市大中小型超市分别有20家、40家、140家，现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，应抽取中型超市2家
B．在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率是0.5
C．一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好
D．在抛币试验中，试验次数从1增加到10的过程中，随机事件发生的频率越来越接近其概率
解：对于A，某市大中小型超市分别有20家、40家、140家，
现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，
应抽取中型超市10×＝2家，故A正确；
对于B，在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率的取值范围是[0，1]；
对于C，由标准差的定义得：
一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好，故C正确；
对于D，在抛币试验中，试验次数相当大时，随机事件发生的频率越来越接近其概率，故D错误．
故选：AC．
（多选）9．下列说法中，正确的是（ ）
A．概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．做n次随机试验，事件发生m次，则事件发生的频率就是事件的概率
C．频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．任意事件A发生的概率P（A）总满足0＜P（A）＜1
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由概率与频率的关系，A正确；
对于B，概率是频率的稳定值，B错误，
对于C，由概率与频率的关系，C正确，
对于D，任意事件A发生的概率P（A）总满足0≤P（A）≤1，D错误；
故选：AC．
10．关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次．
A．②④ B．①④ C．①② D．②③
解：①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的频率为，错误；
②从频率角度来说，数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③概率只是预测事件发生的可能性，某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1806粒种子发芽，错误；
④将一个均匀的骰子抛掷一次，出现点数大于2的概率为，则抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次是有可能的，正确．
故选：A．
11．某生物实验室研究利用某种微生物来治理污水，每10000个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种8000个，根据概率的统计定义，现需要6000个成品菌种，大概要准备 7500 个微生物菌种．
解：现需要6000个成品菌种，设大概要准备n个微生物菌种，
∵每10000个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种8000个，
∴，
解得n＝7500．
故答案为：7500．
12．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
95%
P
70%
已知该市场智能手机的优质品率为88.5%，则乙品牌手机的优质品率P为 90% ．
解：由题意可得，50%×95%+30%×P+20%×70%＝88.5%，解得P＝90%．
故答案为：90%．
13．在五一假期当天，假设某商业中心有一个新冠病毒感染者未被发现且未佩戴口罩，当天有10万人进入过该商业中心．若其中有20%的人与感染者有近距离接触，并且其中有15%的人未佩戴口罩．则五一当天进入该商业中心被感染的人数约为 7800 ．（近距离接触时，若你和感染者都未佩戴口罩，则感染率为90%；若你戴口罩，感染者未戴口罩，则感染率为30%）
解：由题意可知，当天有100000×20%＝20000人与感染者有近距离接触，其中未戴口罩的有20000×15%＝3000人，戴口罩的有20000﹣3000＝17000人，
故估计五一当天进入该商业中心被感染的人数约为3000×90%+17000×30%＝7800．
故答案为：7800．
14．在下列三个问题中：
（1）甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
（2）掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
（3）如果气象预报1日﹣30日的下雨概率是，那么1日﹣30日中就有6天是下雨的．
其中，正确的是 （1）（2） （用序号表示）
解：（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，
样本空间Ω＝{（正正），（正反），（反正），（反反）}，
记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，
则P（A）＝P（B）＝＝，
故这个游戏是公平的，故（1）正确；
（2）由概率的定义得：掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，
当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率，故（2）正确；
（3）如果气象预报1日﹣30日的下雨概率是，
1日﹣30日中就有可能6天是下雨的，故（3）错误．
故答案为：（1）（2）．
15．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨：产生了20组随机数：
907
966
191
925
271
932
812
458
569
683
431
257
393
027
556
488
730
113
537
989
则这三天中恰有两天降雨的概率约为 ．
解：在20组随机数中，表示三天中恰有两天降雨随机数有：
191，271，932，812，393，共5个，
∴这三天中恰有两天降雨的概率约为P＝＝．
故答案为：．
16．已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．
（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率．
解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，则P（A）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1，
“甲射击一次，命中7环”为事件B，则P（B）＝0.12，
由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，
故A与B是互斥事件，
（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A+B，
由互斥事件的概率加法公式，
P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.1+0.12＝0.22．
答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．
（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，
“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D，
则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B+C+D，
∴P（B+C+D）＝P（B）+P（C）+P（D）＝0.12+0.22+0.56＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件，
∴＝1﹣0.1＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
17．连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数，记两次点数之和为3的倍数的概率为p．
（1）求p的值；
（2）如图某质点从原点O（0，0）沿网格线向上或向右移动，向上移动一个单位的概率为p，向右移动一个单位的概率为1﹣p，求该质点移动四次到达点M（3，1）的概率．
解：（1）两次点数之和为3的倍数的情有（1，2），（2，1），（2，4），（4，2），（3，3），（1，5），（5，1），（4，5），（5，4），（3，6），（6，3），（6，6），共12种，
所以两次点数之和为3的倍数的概率为p＝＝，
（2）p＝，1﹣p＝，
质点要移动4次到达（3，1），则向右移动3格，向上移动1格，
所以概率为4×（）3×（）＝．
18．某地区年降水量（单位：mm）在下列范围内的概率如下表：
年降水量
[600，800）
[800，1000）
[1000，1200）
[1200，1400）
[1400，1600）
概率
0.12
0.26
0.38
0.16
0.08
（1）如果降水量在[800，1200）中，被认为是雨水适宜，有利于农作物生长，求该地区雨水适宜的概率；（2）如果降水量不小于1200mm就可能发生洪涝灾害，这时需要采取防洪措施，求需要采取防洪措施的概率．
解：（1）降水量在[800，1200）中，P＝0.26+0.38＝0.64
（2）∵降水量不小于1200mm就可能发生洪涝灾害，
∴P′＝0.16+0.08＝0.24
体系搭建
1.概率的意义
概率是对未发生（或将要发生的）事件的一种推测．这是讨论概率的前提，概率越大，表示未来发生的可能性也就越大．比方说明天下雨的概率为0.9，那么明天下雨的可能性就很大了，但并不表示明天一定会下雨；如果说明天下雨的概率为0.1，那么表示明天下雨的可能性比较小，但不表示明天不下雨．这里我们可以看出概率表示的是将来某事件是否要发生的可能性的判断．
2.概率的基本性质
（1）概率的取值范围：[0，1]．
（2）必然事件的概率为1．
（3）不可能事件的概率为0．
（4）互斥事件的概率的加法公式：
如果事件A，B互斥时，P（A+B）＝P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）．
如果事件A，B对立事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）＝1．
注意事项：
①特别的，若事件B与事件A互为对立事件，则A∪B为必然事件，P（A∪B）＝1．在由加法公式得到P（A）＝1﹣P（B）
②若某事件发生当且仅当事情A发生或B发生，则称此事件为事件A与B的并事件，记作（A∪B）
③若某事件发生当且仅当事件A发生且B发生，则称此事件为事件A与B的交事件，记作（A∩B）
④若C∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件D与事件A互为对立事件，其含义是：事件F与事件E在任何一次实验中有且仅有一个发生．
例题分析
考点1 概率的含义
【例1】．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
解：抛一枚筛子，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，该游戏公平，故A错误，
同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7的概率为，即甲胜的概率与乙胜的概率不等，故B正确，
从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的概率为，是黑色的概率为，该游戏公平，故C错误，
甲、乙两人各写一个数字，同奇或同偶的概率为，不同奇或同偶的概率也为，该游戏公平，故D错误．
故选：B．
Ø变式训练
【变1-1】．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（ ）
A．本市明天将有90%的地区降雨
B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
解：本市降雨的概率是90%，
是说明天下雨发生的可能性很大，
但不一定就一定会发生．
所以只有D合题意．
故选：D．
【变1-2】（多选）．下列说法中错误的有（ ）
A．任何事件的概率总是在（0，1）之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，任何事件的概率总是在[0，1]之间，A错误；
对于B，频率与试验次数有关，B错误
对于C，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，C正确；
对于D，概率是客观的，在试验前能确定，D错误；
故选：ABD．
考点2 利用频率估计概率
【例2】．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20℃，25℃），需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
4
5
25
38
18
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x＝（ ）
A．100 B．300 C．400 D．600
解：这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃，
由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1．
故选：B．
Ø变式训练
【变2-1】．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如表格．如果另一人服用此药，估计这个人的体重减轻的概率约为（ ）
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
600
200
200
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
解：由表格可得这个人的体重减轻的概率约为 ＝0.6，
故选：D．
【变2-2】．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组
[90，100）
[100，110）
[110，120）
[120，130）
[130，140）
[140，150]
频数
1
2
3
10
3
1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的（ ）
A．30% B．70% C．60% D．50%
解：由数据分布表知，
20个苹果中，质量不小于120克的有：10+3+1＝14个，
∴这堆苹果中，
质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的．
故选：B．
考点3 用随机模拟估计概率
【例3】．袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、华，民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232ㅤ321ㅤ230ㅤ023ㅤ123ㅤ021ㅤ132ㅤ220ㅤ001
231ㅤ130ㅤ133ㅤ231ㅤ031ㅤ320ㅤ122ㅤ103ㅤ233
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 ．
解：根据题意，随机数中只有021，001，130，031，103共5种情况，
则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为，
故答案为：．
Ø变式训练
【变3-1】．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527ㅤ0293ㅤ7140ㅤ9857ㅤ0347ㅤ4373ㅤ8636ㅤ6947ㅤ1417ㅤ4698
0371ㅤ6233ㅤ2616ㅤ8045ㅤ6011ㅤ3661ㅤ9597ㅤ7424ㅤ7610ㅤ4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75
解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：
7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698
6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，
∴该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为：P＝＝0.75．
故选：D．
【变3-2】．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
解：由题意，随机数中满足两只豚鼠被感染的有192，271，932，812，393，127共6个，
故三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为．
故选：B．
1．“某彩票的中奖概率为”意味着（ ）
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
解：“某彩票的中奖概率为”，
对于A，买100张彩票不一定能中奖，故A错误；
对于B，买100张彩票有可能中一次奖，故B错误；
对于C，买100张彩票有可能中一次奖，故C错误；
对于D，购买彩票中奖的可能性为，故D正确．
故选：D．
2．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0.5 D．0.5，0.48
解：在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，
发现正面朝上出现了48次，
那么出现正面朝上的频率为：＝0.48，
概率为0.5．
故选：C．
3．在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：∵在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，
∴P（A）＝＝，P（）＝，
∴一次试验中，事件A∪发生的概率为：
P（A∪）＝P（A）+P（）＝＝．
故选：C．
4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”，且已知P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）
A．0.65 B．0.35 C．0.3 D．0.005
解：由题意知本题是一个对立事件的概率，
∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
P（A）＝0.65，
∴抽到不是一等品的概率是1﹣0.65＝0.35
故选：B．
5．考虑掷硬币实验，设A＝“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B．掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5
C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，掷2次硬币，有4个基本事件，事件“一个正面，一个反面”有2个基本事件，则该事件发生的概率为，A错误；
对于B，掷10次硬币，事件A发生的次数不一定是5，B错误；
对于C，重复掷硬币，事件A发生的频率接近事件A发生的概率，C错误；
对于D，当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近事件A发生的概率，即接近0.5，D正确，
故选：D．
6．下列正确的结论是（ ）
A．事件A的概率P（A）的值满足0＜P（A）＜1
B．如P（A）＝0.999，则A为必然事件
C．灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这时合格品的可能性为99%
D．如P（A）＝0.001，则A为不可能事件
解：由概率的基本性质，事件A的概率P（A）的值满足0≤P（A）≤1，故A错误；
必然事件概率为1，故B错误；不可能事件概率为0，故D错误．
故选：C．
7．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验最可能是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率
D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
解：根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，
对于A，抛一枚硬币，正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
对于B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；
对于C，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率为，故此选项不符合题意；
对于D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项符合题意，
故选：D．
（多选）8．下列说法正确的有（ ）
A．某市大中小型超市分别有20家、40家、140家，现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，应抽取中型超市2家
B．在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率是0.5
C．一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好
D．在抛币试验中，试验次数从1增加到10的过程中，随机事件发生的频率越来越接近其概率
解：对于A，某市大中小型超市分别有20家、40家、140家，
现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，
应抽取中型超市10×＝2家，故A正确；
对于B，在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率的取值范围是[0，1]；
对于C，由标准差的定义得：
一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好，故C正确；
对于D，在抛币试验中，试验次数相当大时，随机事件发生的频率越来越接近其概率，故D错误．
故选：AC．
（多选）9．下列说法中，正确的是（ ）
A．概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．做n次随机试验，事件发生m次，则事件发生的频率就是事件的概率
C．频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．任意事件A发生的概率P（A）总满足0＜P（A）＜1
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由概率与频率的关系，A正确；
对于B，概率是频率的稳定值，B错误，
对于C，由概率与频率的关系，C正确，
对于D，任意事件A发生的概率P（A）总满足0≤P（A）≤1，D错误；
故选：AC．
10．关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次．
A．②④ B．①④ C．①② D．②③
解：①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的频率为，错误；
②从频率角度来说，数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③概率只是预测事件发生的可能性，某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1806粒种子发芽，错误；
④将一个均匀的骰子抛掷一次，出现点数大于2的概率为，则抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次是有可能的，正确．
故选：A．
11．某生物实验室研究利用某种微生物来治理污水，每10000个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种8000个，根据概率的统计定义，现需要6000个成品菌种，大概要准备 7500 个微生物菌种．
解：现需要6000个成品菌种，设大概要准备n个微生物菌种，
∵每10000个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种8000个，
∴，
解得n＝7500．
故答案为：7500．
12．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
95%
P
70%
已知该市场智能手机的优质品率为88.5%，则乙品牌手机的优质品率P为 90% ．
解：由题意可得，50%×95%+30%×P+20%×70%＝88.5%，解得P＝90%．
故答案为：90%．
13．在五一假期当天，假设某商业中心有一个新冠病毒感染者未被发现且未佩戴口罩，当天有10万人进入过该商业中心．若其中有20%的人与感染者有近距离接触，并且其中有15%的人未佩戴口罩．则五一当天进入该商业中心被感染的人数约为 7800 ．（近距离接触时，若你和感染者都未佩戴口罩，则感染率为90%；若你戴口罩，感染者未戴口罩，则感染率为30%）
解：由题意可知，当天有100000×20%＝20000人与感染者有近距离接触，其中未戴口罩的有20000×15%＝3000人，戴口罩的有20000﹣3000＝17000人，
故估计五一当天进入该商业中心被感染的人数约为3000×90%+17000×30%＝7800．
故答案为：7800．
14．在下列三个问题中：
（1）甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
（2）掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
（3）如果气象预报1日﹣30日的下雨概率是，那么1日﹣30日中就有6天是下雨的．
其中，正确的是 （1）（2） （用序号表示）
解：（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，
样本空间Ω＝{（正正），（正反），（反正），（反反）}，
记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，
则P（A）＝P（B）＝＝，
故这个游戏是公平的，故（1）正确；
（2）由概率的定义得：掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，
当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率，故（2）正确；
（3）如果气象预报1日﹣30日的下雨概率是，
1日﹣30日中就有可能6天是下雨的，故（3）错误．
故答案为：（1）（2）．
15．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨：产生了20组随机数：
907
966
191
925
271
932
812
458
569
683
431
257
393
027
556
488
730
113
537
989
则这三天中恰有两天降雨的概率约为 ．
解：在20组随机数中，表示三天中恰有两天降雨随机数有：
191，271，932，812，393，共5个，
∴这三天中恰有两天降雨的概率约为P＝＝．
故答案为：．
16．已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．
（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率．
解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，则P（A）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1，
“甲射击一次，命中7环”为事件B，则P（B）＝0.12，
由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，
故A与B是互斥事件，
（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A+B，
由互斥事件的概率加法公式，
P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.1+0.12＝0.22．
答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．
（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，
“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D，
则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B+C+D，
∴P（B+C+D）＝P（B）+P（C）+P（D）＝0.12+0.22+0.56＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件，
∴＝1﹣0.1＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
17．连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数，记两次点数之和为3的倍数的概率为p．
（1）求p的值；
（2）如图某质点从原点O（0，0）沿网格线向上或向右移动，向上移动一个单位的概率为p，向右移动一个单位的概率为1﹣p，求该质点移动四次到达点M（3，1）的概率．
解：（1）两次点数之和为3的倍数的情有（1，2），（2，1），（2，4），（4，2），（3，3），（1，5），（5，1），（4，5），（5，4），（3，6），（6，3），（6，6），共12种，
所以两次点数之和为3的倍数的概率为p＝＝，
（2）p＝，1﹣p＝，
质点要移动4次到达（3，1），则向右移动3格，向上移动1格，
所以概率为4×（）3×（）＝．
18．某地区年降水量（单位：mm）在下列范围内的概率如下表：
年降水量
[600，800）
[800，1000）
[1000，1200）
[1200，1400）
[1400，1600）
概率
0.12
0.26
0.38
0.16
0.08
（1）如果降水量在[800，1200）中，被认为是雨水适宜，有利于农作物生长，求该地区雨水适宜的概率；（2）如果降水量不小于1200mm就可能发生洪涝灾害，这时需要采取防洪措施，求需要采取防洪措施的概率．
解：（1）降水量在[800，1200）中，P＝0.26+0.38＝0.64
（2）∵降水量不小于1200mm就可能发生洪涝灾害，
∴P′＝0.16+0.08＝0.24
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