【市级联考】重庆市（区县）2019届高三11月调研测试卷数学（文）试题（解析版）

重庆市（区县）2019年普通高等学校招生全国统一考试

11月调研测试卷数学（文）试题

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先解不等式再求,按交集的定义求.

【详解】,

,故选C.

【点睛】本题考查集合的运算,把握交、并、补集的含义是关键.

2.已知为虚数单位，则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

注意的灵活运用.

【详解】,故选B

【点睛】本题考查复数的计算, 注意的灵活运用.

3.若，则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先用诱导公式化简，得。进而用余弦二倍角公式求得的值。

【详解】因为，所以.

所以。

故选A。

【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、余弦二倍角公式等知识，考查学生的运算能力、转化能力。三角函数求值问题，应找角之间的关系，进而选择公式。

4.已知，则“”是“”的（   ）

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件    C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

判断命题“若”和命题“,则”的真假,即可

【详解】一方面,当不能推出;

另一方面,由得,从而由可以推出

因此, “”是“”的必要不充分条件,故选B.

【点睛】本题考查“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”，需要准确把握其内涵及其判断方法.

5.已知非零向量满足，则与的夹角为（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知可得:,.

【详解】

因此,与的夹角为,故选C.

【点睛】本题考查向量数量积的概念，模的求法和向量夹角的求法.

6.执行如图所示的程序框图，当输出的值为1时，则输入的值是（   ）

A.     B. 或    C. 或    D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】

根据程序框图可知，输出的值为1，应有两种情况，或 ，解不等式组可得结果。

【详解】因为输出的值为1，根据程序框图中的条件“”，应有两种情况：或 ，

解得或。

故选C。

【点睛】本题考查程序框图的有关知识，主要考查学生的读图能力及转化能力、运算能力。对于程序框图中的条件结构，应注意条件的运用。

7.已知实数满足，则的最大值为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先画出不等式组表示的平面区域，再作直线 ，平移直线，从图上观察，当直线经过哪个点取最大值，联立直线方程，求点的坐标，将坐标带入目标函数，即可求得最大值。

【详解】不等式组表示的平面区域为边界及其内部，如图，

由 ，得 ，所以。

作直线，平移直线。当直线 经过点时， 取最大值。所以  。

故选C。

【点睛】本题考查线性规划等知识，考查学生的画图、运算、转化等能力。线性规划问题的解决方法：先画出不等式组表示的平面区域，求的最大、小值，应先作直线，然后平移直线，从图形上观察何时取最值。

8.已知是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，且，则为（   ）

A. 公差为的等差数列    B. 公差为的等差数列    C. 公比为的等比数列    D. 公比为的等比数列

【答案】B

【解析】

【分析】

先设从而得到

由等差数列的定义,知是公差为的等差数列.

【详解】由题意,设,

因此,是公差为的等差数列,故选B.

【点睛】本题考查等差数列的判断方法.准确理解的含义是关键.

9.设，则的大小关系为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

不难发现从而可得

【详解】,故选B.

【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．

10.已知函数（为自然对数的底数），则的图像大致为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

令,可得函数的图像与轴的交点以及在不同区间的符号,从而得出选项．.

【详解】因为，

所以的图像与x轴有两个交点,

且当时,,当时,,

故选A.

【点睛】比较A、B、C、D四个选项的异同,将函数解析式变形整理,分析函数的零点以及符号特征,是解决本题的关键,也是解决函数图像题常用的方法;同时,分析函数的定义域、奇偶性、单调性、周期性,也是常见的方法.

11.已知命题，命题，若为真命题，则实数的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先判断命题p是假命题,由于为真命题,所以为真,

即对恒成立,也即,

令,求,进一步求得的最大值.

【详解】显然，命题是假命题，:对恒成立;

为真命题,

令,

当时,,当时,当

取得极大值也是最大值,

又,故选B.

【点睛】本题考查命题的真假判断;在由非命题为真推出的范围的过程中,构造函数, 考查了恒成立问题,体现了转化与化归的思想.

12.已知，且，则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

将的左边分子中的1看成，可将左边利用两角和的正切公式化成， 进而可得，根据角的范围和正切函数的性质可得，化简可得结果。

【详解】因为，所以 ，

因为，所以，

所以 ，所以。

故选C。

【点睛】本题考查两角和正切公式的逆用、正切函数的性质等知识。三角函数关系式化简时，注意1的运用，如：。 两个角的同名三角函数值相等，可利用两角的范围及三角函数的单调性判断两角的关系。

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设向量，若，则实数______________．

【答案】

【解析】

【分析】

由共线向量的条件，列方程求解．

【详解】．

【点睛】本题考查共线向量的条件．

14.已知数列的前项和为，，则_______________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用数列的通项与前项和的关系：求解

【详解】由①知，当时,②

①－②，得：

.

【点睛】考查数列的通项与前项和之间的关系，求通项，是求数列通项的一种重要方法．

15.已知函数的最大值为，则的值为________________．

【答案】

【解析】

【分析】

配方，

分析对称轴与区间的关系，求最大值，列方程求解．

【详解】

,取得最大值，

．

【点睛】本题考查二次函数在指定区间上的最值问题，常常讨论对称轴与区间的关系．

16.函数，若在区间内存在极值点，则实数的取值范围是______________．

【答案】

【解析】

【分析】

由函数在区间内存在极值点，故先求导函数，结合二次函数的图像，可得方程在区间上应有两个不等的根。先求两个根都不在区间上时，实数的取值范围。进而再求所求实数的取值范围。

【详解】因为函数，

所以，

令，得或 。

 因为函数在区间内存在极值点，所以方程在区间上有根。

①若函数在区间上有极值点，应满足，解得。

②  若函数在区间上不存在极值点，则或，

解得或。

综上所述，函数在区间上存在极值点，应满足且。

所以，实数的取值范围是。

【点睛】本题考查函数的极值等知识。由函数在区间上存在极值，求参数的取值范围，应由方程在区间上有根，且在根的两侧导函数值异号。若导函数为二次函数，应结合二次函数的图像解决问题。

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知向量，，函数，

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在区间上的值域．

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先计算求出函数的解析式,

，

故的最小正周期为 ；

（Ⅱ），，利用三角函数线得,，

,

【详解】解：（Ⅰ）

，故的最小正周期为 ；

（Ⅱ），，，

因此, 函数在区间上的值域是.

【点睛】本题结合平面向量考查了三角函数的性质，通过“降次”，运用“辅助角公式”等步骤，把化成的形式．

18.已知数列为等差数列，，前项和为，数列为等比数列，，公比为2，且，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设数列前项和为，求证：．

【答案】(1)(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）由已知，,列方程组,求得,代入等差数列和等比数列的通项公式即可. （2）数列也是等比数列,所以

【详解】解：（Ⅰ）由题知：，解得：，

（Ⅱ）.

【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的基本量的计算，通项公式，等比数列的前n项和公式．

19.在中，分别是内角所对的边，，

（1）求

（2）若，求的面积.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

（1）设,由余弦定理,求出,再利用正弦定理求出.

（2）因为,所以可求出的值,又,代入即得.

【详解】解：（Ⅰ）设，则，故由正弦定理得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，.

【点睛】本题考查解三角形问题，灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系互相转化，应用有关公式进行恒等变换，达到解题目的．

20.已知函数．

（1）当时，求的最值；

（2）若函数有三个零点，求的取值范围.

【答案】（1）最大值，最小值为1；（2）

【解析】

【分析】

（1）要求函数的最值，应先求导函数，根据导函数大于0、小于0，求得函数在区间上的单调性，进而可求最值；（2）由（1）可得，函数在定义域上的单调性，进而可求极大值、极小值，解极大值大于0和极小值小于0组成的不等式组，即可求得的取值范围.

【详解】（1），由知：在内单增，在内单减，在内单增，又，，，故在上的最大值为，最小值为；

（2）由（1）知， 有三个零点，只要且，显然成立，

，即，解得：.

【点睛】本题考查三次函数的最值、由零点的个数求参数的取值范围等知识。求三次函数的最值，应先求导函数，由可求得增区间，由可求得减区间。三次函数的零点问题，应根据单调性求得极大值、极小值，当极大值大于0、极小值小于0时，函数有三个零点。

21.已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若存在两个极值点，证明：.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）先求导函数，得，因为分子是关于x的含a的二次三项式，所以解与，应结合二次函数的图像，分与两种情况讨论。（2）若存在两个极值点，由（1）知然后由函数解析式写出，并将带入化简，即可求得结论。

【详解】（1），其中，故当时，在上单调递增，当时，在上单增，在上单减，在上单增；

（2）由（1）知

.

【点睛】本题考查求函数的单调区间、和极值有关的问题等知识。考查学生的转化能力、运算能力。求函数的单调区间，应先求导函数，然后结合函数的定义域解不等式与，可得函数的单调区间。解含参数的一元二次不等式时，结合二次函数图像，分、 、讨论。

22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线（其中）与圆 交于两点．

（1）若，求直线和圆的直角坐标方程；

（2）若，求.

【答案】(1) ， (2)

【解析】

【分析】

（Ⅰ） ，，

，；

（Ⅱ）圆心到直线的距离为，即：，

【详解】解：（Ⅰ） ，，

，；

（Ⅱ）圆心到直线的距离为，即：，

【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，要熟练掌握极坐标方程与直角坐标方程间的互化，同时考查了直线和圆相交的位置关系中，弦长、弦心距、半径三者之间的关系.

23.已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式无解，求实数的取值范围．

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先去绝对值，将不等式化为两个不等式组求解；

（Ⅱ）因为关于的不等式无解，即无解，

所以，又

，即.

【详解】（Ⅰ），

即，不等式的解集为；

（Ⅱ）因为关于的不等式无解，

即无解，所以，

又

，即.

【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用．