2022北京人大附中朝阳学校初三一模数学（教师版）

这是一份2022北京人大附中朝阳学校初三一模数学（教师版），共44页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022北京人大附中朝阳学校初三一模
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图所示，△ABC中AB边上的高线是（　　）

A. 线段AG B. 线段BD C. 线段BE D. 线段CF
2. 图1是数学家皮亚特•海恩（Piet Hein）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图2不可能是下面哪个组件的视图（　　）

A. B. C. D.
3. 当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）
A. B. C. D. x为任意实数
4. 正五边形的内角和是（ ）
A. B. C. D.
5. 如果，那么代数式的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
6. 把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
7. 某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表：
会员卡类型
办卡费用/元
有效期
优惠方式
A类
40
1年
每杯打九折
B类
80
1年
每杯打八折
C类
130
1年
一次性购买2杯，第二杯半价

例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ）
A. 购买A类会员卡 B. 购买B类会员卡
C. 购买C类会员卡 D. 不购买会员卡
8. 在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%；八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：
①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若分式的值为0，则x的值为_______．
10. 已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的c的值是__________．
11. 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15π，则这个圆锥的底面圆半径为_____cm.
12. 下表显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果．
抛掷次数n
300
500
700
900
1100
1300
1500
1700
1900
2000
“正面向上”的次数m
137
233
335
441
544
650
749
852
946
1004
“正面向上”的频率
0.457
0.466
0.479
0.490
0.495
0.500
0.499
0.501
0.498
0.502
估计此次实验硬币“正面向上”的概率是_______．
13. 如图，四边形是平行四边形，经过点A，C，D与交于点E，连接，若，则_____________．

14. 如图1，将矩形和正方形分别沿对角线和剪开，拼成如图2所示的平行四边形，中间空白部分的四边形是正方形．如果正方形和正方形的面积分别是16和1，则矩形的面积为_______．

15. 甲、乙两个芭蕾舞团演员的身高（单位：cm）如下表：
甲
164
164
165
165
166
166
167
167
乙
163
163
165
165
166
166
168
168

两组芭蕾舞团演员身高的方差较小的是______．（填“甲”或“乙”）
16. 对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12 、宽为6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数．
甲：如图2，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n=14．
乙：如图3，思路是当为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n=14．
丙：如图4，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n=13．
甲、乙、丙的思路和结果均正确的是___________ ．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17. 计算：．
18. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
19. 已知：中，，，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法）

20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．

（1）求证：四边形BCEF矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．
22. 为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A项指标成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：

b．A项指标成绩在这一组的是：
7.2 7.3 7.5 7.67 7.7 7.71 7.75 7.82 7.86 7.9 7.92 7.93 7.97
c．两项指标成绩平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
A项指标成绩
7.37
m
82
B项指标成绩
7.21
7.3
8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值
（2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是______________（填“A”或“B”），理由是_____________；
（3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量．
23. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点

（1）求k的值；
（2）已知点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线于点B，交函数于点C．
①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
②若，结合图象，直接写出n的取值范围．
24. 某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度．为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程．借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表：

时间（秒）
0
0.02
0.04
0.06
008
0.10
相邻各点的距离（厘米）
0
0.3
0.5
0.7
09
1.0

（1）当时间为0.04秒时，滑行距离是______厘米；
（2）请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来；


（3）通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度．
26. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．


（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）设CD与OE的交点为F，若AB=10，BC=6，求OF的长．
27. 在平面直角坐标系xOy中，，为抛物线上两点，其中．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若，点M，N在抛物线上运动，当时，求a的值；
（3）记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G（包含M，N两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t的取值范围．
29. 是等边三角形，点P在的延长线上，以P为中心，将线段逆时针旋转n°（）得线段，连接，．

（1）如图，若，画出当时的图形，并写出此时n的值；
（2）M为线段的中点，连接．写出一个n的值，使得对于延长线上任意一点P，总有，并说明理由．
30. 是圆上的两个点，点在⊙C的内部．若为直角，则称为关于⊙C的内直角，特别地，当圆心在边（含顶点）上时，称为关于⊙C的最佳内直角．如图，是关于⊙C的内直角，是关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系中．
（1）如图，⊙O的半径为，是⊙O上两点．
①已知，在中，是关于⊙O的内直角的是______；
②若在直线上存在一点，使得是关于⊙O的内直角，求的取值范围．
（2）点是以圆心，为半径的圆上一个动点，⊙T与轴交于点（点在点的右边）．现有点，对于线段上每一点，都存在点，使是关于⊙T的最佳内直角，请直接写出的最大值，以及取得最大值时的取值范围．


参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图所示，△ABC中AB边上的高线是（　　）

A. 线段AG B. 线段BD C. 线段BE D. 线段CF
【1题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形高的定义进行判断即可得.
【详解】根据三角形高线的定义可知，△ABC中AB边上高线应该是过点C向AB所在直线所作的垂线段，
所以△ABC中AB边上的高线是线段CF，
故选D.
【点睛】本题考查了三角形的高线，正确理解三角形的高线的定义是解题的关键.
2. 图1是数学家皮亚特•海恩（Piet Hein）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图2不可能是下面哪个组件的视图（　　）

A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】依次分析所给几何体从正面看及从左面看得到的图形是否与所给图形一致即可．
【详解】A、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形；
B、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形；
C、主视图左往右2列正方形的个数均依次为1，1，不符合所给图形；
D、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形．
故选C．
【点睛】考查由视图判断几何体；用到的知识点为：主视图，左视图分别是从正面看及从左面看得到的图形．
3. 当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）
A. B. C. D. x为任意实数
【3题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数的增减性求解即可，画出图形，可直接看出答案．
【详解】解：对称轴是：x=1，且开口向上，如图所示，
∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小；
故选B．

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
4. 正五边形的内角和是（ ）
A. B. C. D.
【4题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】n边形的内角和是 ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】（5﹣2）×180°=540°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
5. 如果，那么代数式的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【5题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】先将代数式进行化简，然后代入求值.
【详解】解：=x2-1+x2+2x=2(x2+x)-1.
∵，
∴原式=2
故选C.
【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
6. 把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】对图上各边标上字母，由题意可证得△ADH∽△GCH，利用相似三角形对应线段成比例可知，可求得阴影部分面积的高DH，进而求得阴影部分面积.
【详解】
∵∠CHG=∠DHA，∠HCG=∠ADH
∴△ADH∽△GCH
∴
即
解得DH=
∴阴影部分面积=1××=
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求阴影部分的面积，解本题的关键是求得阴影部分的高进而即可解题.
7. 某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表：
会员卡类型
办卡费用/元
有效期
优惠方式
A类
40
1年
每杯打九折
B类
80
1年
每杯打八折
C类
130
1年
一次性购买2杯，第二杯半价

例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ）
A. 购买A类会员卡 B. 购买B类会员卡
C. 购买C类会员卡 D. 不购买会员卡
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】设一年内在该便利店买咖啡的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：列出3类会员卡用含x的关系表示消费的费用y，再确定y的范围，进行比较即可解答．
【详解】设一年内在该便利店买咖啡的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA=40+0.9x=40+18x，yB=80+0.8x=80+16x，yC=130+15=130+15x，
当75≤x≤85时,
1390≤yA≤1570；
1280≤yB≤1440；
1255≤yC≤1405；
由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，并确定函数值的范围．
8. 在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%；八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：
①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【8题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】由题意直接根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断即可得出答案．
【详解】解：①七年级男生成绩的优秀率即40%小于八年级男生成绩的优秀率即50%，故正确；
②七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在50%与70%之间，不能确定哪个年级的优秀率大，故错误；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率在40%与50%之间一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率即在50%与70%之间，故正确．
故答案为：B.
【点睛】本题考查统计学知识，熟练掌握数据的处理与应用以及判断优秀率的大小范围是解题的关键.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若分式的值为0，则x的值为_______．
【9题答案】
【答案】1
【解析】
【分析】根据分式值为零的性质可知，1 - x = 0，且x≠0，然后计算即可．
【详解】解：∵分式的值为0
∴1 - x = 0，且x≠0
∴x = 1
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了分式值为零时的性质. 熟知当分式的分子等于零，且分母不为零时，是分式值为零的条件，是解决本题的关键．
10. 已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件c的值是__________．
【10题答案】
【答案】（答案不唯一，负数即可）
【解析】
【分析】当，要使符号变号，则只需不等式两边同时乘同一个负数即可．
【详解】当，要使成立，即不等式两边同时乘一个符号会变号，则使是负数即可，则可使．
【点睛】本题考查了真命题和不等式的性质知识点，不等式符号要变号，就使不等式两边同时乘或除同一个负数即可，这一性质是解题的关键．
11. 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15π，则这个圆锥的底面圆半径为_____cm.
【11题答案】
【答案】3
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．
【详解】∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：，
∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴r==3cm，
故答案为3．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．
12. 下表显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果．
抛掷次数n
300
500
700
900
1100
1300
1500
1700
1900
2000
“正面向上”的次数m
137
233
335
441
544
650
749
852
946
1004
“正面向上”的频率
0.457
0.466
0.479
0.490
0.495
0.500
0.499
0.501
0.498
0.502
估计此次实验硬币“正面向上”的概率是_______．
【12题答案】
【答案】
【解析】
【分析】利用频率估算概率．
【详解】∵由表格可得：随着抛掷次数的增多，出现正面向上的频率越来越接近0.5，
∴“正面向上”的概率为．
故答案为：．
【点睛】考查了频率和概率的定义以及它们之间的相互关系，解题关键是理解在相同的条件下做大量重复试验，一个事件A出现的次数 和总的试验次数n之比，称为事件A在这n次试验中出现的频率．当试验次数n很大时，频率将稳定在一个常数附近．n 越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小．这个常数称为这个事件的概率．
13. 如图，四边形是平行四边形，经过点A，C，D与交于点E，连接，若，则_____________．

【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】由圆的内接四边形内对角互补性质，解得，进而由邻补角性质解得，再由平行四边形对角相等性质，解得，最后由三角形内角和180°解题即可．
【详解】四边形是的内接四边形


，

四边形是平行四边形，


故答案为：
【点睛】本题考查圆内接四边形性质、平行四边形性质、邻补角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14. 如图1，将矩形和正方形分别沿对角线和剪开，拼成如图2所示的平行四边形，中间空白部分的四边形是正方形．如果正方形和正方形的面积分别是16和1，则矩形的面积为_______．

【14题答案】
【答案】15
【解析】
【分析】根据正方形的面积公式求得正方形EFCH和正方形KRST的边长，再根据线段的和差关系可求矩形ABCD的长和宽，再根据矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵正方形EFCH和正方形KRST的面积分别是16和1，
∴正方形EFCH和正方形KRST的边长分别是4和1，
则矩形ABCD的面积为（4+1）×（4-1）=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
15. 甲、乙两个芭蕾舞团演员的身高（单位：cm）如下表：
甲
164
164
165
165
166
166
167
167
乙
163
163
165
165
166
166
168
168

两组芭蕾舞团演员身高的方差较小的是______．（填“甲”或“乙”）
【15题答案】
【答案】甲
【解析】
【分析】先算出两组数据的平均数，再计算两组数据的方差．
【详解】解：甲组演员身高的平均数为：（164×2+165×2+166×2+167×2）
=165.5，
乙组演员身高的平均数为：（163×2+165×2+166×2+168×2）
=165.5，
∵= [（164-165.5）2+（164-165.5）2+（165-165.5）2+（165-165.5）2+（166-165.5）2+（166-165.5）2+（167-165.5）2+（167-165.5）2]
=（2.25+2.25+0.25+0.25+0.25+0.25+2.25+2.25）
=1.25；
= [（163-165.5）2+（163-165.5）2+（165-165.5）2+（165-165.5）2+（166-165.5）2+（166-165.5）2+（168-165.5）2+（168-165.5）2]
=（6.25+6.25+0.25+0.25+0.25+0.25+6.25+6.25）
=3.25；
∴甲组芭蕾舞团演员身高的方差较小．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了方差的计算，掌握计算方差的公式是解决本题的关键．
16. 对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12 、宽为6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数．
甲：如图2，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n=14．
乙：如图3，思路是当为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n=14．
丙：如图4，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n=13．
甲、乙、丙的思路和结果均正确的是___________ ．

【16题答案】
【答案】甲、乙
【解析】
【分析】根据矩形长为12宽为6，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数n的值．
【详解】∵矩形长为12宽为6，
∴矩形对角线长为：，
∵矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，
∴该正方形的边长不小于，
∵，
∴该正方形边长的最小整数n为14．
故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，结果也正确；
乙的思路正确，长方形对角线就是圆的直径最长，只要圆能通过就可以，结果也正确；
丙的思路错误，长方形对角线最长，只要对角线能通过才可以，故丙的思路与结果都错误；
故答案为：甲、乙．
【点睛】本题考查了矩形的性质、圆的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17. 计算：．
【17题答案】
【答案】
【解析】
【分析】先分别根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的化简、负指数幂计算，然后根据实数混合运算法则计算即可求得结果．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的化简、负指数幂，熟练掌握相关运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【18题答案】
【答案】不等式组的解集为，所有非负整数解为0，1
【解析】
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有非负整数解即可．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得.
解不等式②，得．
原不等式组的解集为．
原不等式组的所有非负整数解为0，1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非负整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19. 已知：中，，，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法）

【19题答案】
【答案】见详解
【解析】
【分析】作∠ABC的角平分线，交AC于点D，再根据两角对应相等即可．
【详解】解：如图，直线BD即为所求．

证明：∵，，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠BCD=36°，
∴∠BCD=∠A，
∵∠C=∠A，
∴
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，以及三角形相似的判定，解题的关键是三角形相似的判定．
20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根．
【20题答案】
【答案】（1）；（2）（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）先确定a、b、c，然后运用一元二次方程跟的判别式解答即可；
（2）根据（1）确定的m的取值范围，取一个合适的m值代入，然后解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
∴


∵一元二次方程有两个实数根，
∴
．
（2）解：当时，．
则（x-1）（x+3）=0
解得（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程方程根的判别式，掌握判别式的大小与一元二次方程根的关系是解答本题的关键．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．

（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．
【21题答案】
【答案】（1）见解析；（2）EF=．
【解析】
【分析】（1）先证明四边形BCEF是平行四边形，再根据垂直，即可求证；
（2）根据勾股定理的逆定理，求得△CDF是直角三角形，等面积法求得CE，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵EF=DA，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF=90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3，
∵CF=4，DF=5，
∴CD2+CF2=DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°，
∴△CDF的面积=DF×CE=CF×CD，
∴CE=，
由（1）得：EF=BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC=90°，BF=CE=，
∴BC=，
∴EF=．
【点睛】此题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
22. 为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A项指标成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：

b．A项指标成绩在这一组的是：
7.2 7.3 7.5 7.67 7.7 7.71 7.75 7.82 7.86 7.9 7.92 7.93 7.97
c．两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
A项指标成绩
7.37
m
8.2
B项指标成绩
7.21
7.3
8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值
（2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是______________（填“A”或“B”），理由是_____________；
（3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量．
【22题答案】
【答案】（1）7.84；（2）B，见解析（3）290
【解析】
【分析】（1）根据中位数定义，先把50名企业A项指标成绩排序，而中位数就是第25，26两项数据的平均数，易得（7.82+7.86）÷ 2 =7.84，即求出m的值；
（2）结合两项指标成绩的平均数、中位数、众数综合评判：该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业A项指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名，故让该企业成绩排名更靠前的指标是B.
（3）先根据样本数据计算出样本中A项指标成绩超过7.68分的企业数量，再表示这部分在样本中的占比为，再用该地区的企业总数乘以，即可估算出该地区A项指标成绩超过7.68分的企业数量.
【详解】解：（1）根据中位数的定义，把50名企业A项指标成绩排序，
可得第25，26两项数据分别是7.82 和 7.86，
∴中位数为（7.82+7.86）÷ 2 =7.84
故m = 7.84.
（2）在此次调研评估中，该企业成绩排名更靠前的指标是B.
理由：该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业A项指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名．
（3）根据题意可知，在样本中，由（1）排序知，A项指标成绩在这一组，A项指标成绩超过7.68分的企业数量是9，A项指标成绩在这一组的数量是17，A项指标成绩在这一组的数量是3
∴9+17+3=29，
∴估计该地区A项指标成绩超过7.68分的企业数量为．
【点睛】本题主要考查了用样本数据估算总体，中位数的计算等知识，难度不大；准确掌握中位数及用样本数据估算总体的方法，是解决本题的关键.
23. 在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线交于点

（1）求k的值；
（2）已知点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线于点B，交函数于点C．
①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
②若，结合图象，直接写出n的取值范围．
【23题答案】
【答案】（1）；（2）①，；理由见解析；②或．
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式即可求出m的值，再把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值；
（2）①把x=4分别代入一次函数和反比例函数解析式求出点B和点C的坐标，即可判断出PC与PB的数量关系；
②结合图象及①中结论可得当n≥4或点B在x轴或x轴下方时PC≤PB，即可确定出对应的n的取值范围．
【详解】（1）把代入得 ，
，
又图象过点，
解得；
（2）①，
当时，，，
，，
所以；
②根据图象可得：或．

【点睛】本题主要考查了一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，根据函数图象上的点的坐标满足函数的解析式即可求出m，k的值；求出PC=PB时n的值，然后结合函数的图象是解决（2）的关键．
24. 某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度．为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程．借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表：

时间（秒）
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
相邻各点的距离（厘米）
0
0.3
0.5
0.7
0.9
1.0

（1）当时间为0.04秒时，滑行距离______厘米；
（2）请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来；


（3）通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度．
【24题答案】
【答案】（1）0.8 （2）见解析
（3）250米
【解析】
【分析】（1）根据表格即可求得答案；
（2）根据题意在网格中建立直角坐标系，然后描点、并用平滑的曲线连起来即可得到图像；
（3）根据，求出加速度，然后根据即可求解．
【小问1详解】
解：由表格可知，，，
∴当时间为0.04秒时，滑行距离是0.8厘米；
【小问2详解】
解：如图，

【小问3详解】
解：∵，
由表格可知：秒，厘米=0.002米，
∴，
解得：米/秒
∴，
当秒时，米
【点睛】本题主要考查了探究匀变速直线运动规律，解题的关键是理解和掌握计算加速的方法．
26. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．


（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）设CD与OE的交点为F，若AB=10，BC=6，求OF的长．
【26题答案】
【答案】（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD、CD、OE，通过全等三角形的性质求解即可；
（2）利用勾股定理求得线段的长，利用相似三角形的性质求得的长，再用勾股定理求解即可．
【详解】（1）DE与⊙O相切，连接OD、CD、OE


∵BC为⊙O的直径

∴∠CDA＝∠CDB＝90°
∵E是AC中点
∴ED＝EC
∵OC＝OD，OE＝OE
∴ΔOCE≌ΔODE（HL）
∴∠ODE＝∠OCE＝90°
∴OD⊥DE
∴DE与⊙O相切
（2）∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6
∴AC=8，
∵E是AC中点，为的中点
∴，
由勾股定理可得：
∵DE、CE与⊙O相切
∴DE=CE，∠CEO=∠DEO
又∵
∴垂直平分
∴
又∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
【点睛】此题考查了圆切线的判定与性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活利用有关性质进行求解．
27. 在平面直角坐标系xOy中，，为抛物线上两点，其中．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若，点M，N在抛物线上运动，当时，求a的值；
（3）记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G（包含M，N两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t的取值范围．
【27题答案】
【答案】（1）（0，0），（－1，0）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）令，解得，，即可得到答案；
（2）把，分别代入抛物线，求出、与a的关系式，然后代入，即可求得答案；
（3）①当点M、N在对称轴同侧时，当点M、N均为对称轴的右侧时，即，则，进而求解；当点M、N均在对称轴左侧时，同理可解；②当点M、N在对称轴两侧时，同理可解．
【小问1详解】
解：令，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：（0，0），（－1，0）；
【小问2详解】
解：当时，
把，分别代入抛物线，
得：，，
∴，
当时，得：，
解得：或；
【小问3详解】
解：由抛物线解析式可知，顶点坐标为，
①当点M、N在对称轴同侧时，当点M、N均为对称轴右侧时，即，
则，
∴，
解得：，
当点M、N均在对称轴左侧时，
同理可得：，
∴；
②当点M、N在对称轴两侧时，则最小值为，最大值为或，
当最大值为时，则，
即：，
解得：，
则与点M关于抛物线对称轴对称的点的横坐标为，
故点N的横坐标在和之间，
即：，
解得：，
当最大值为时，
同理可得：，
所以．
综上所述，若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，t的取值范围是：．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像和性质、解不等式等，解题的关键是掌握二次函数的图像的点的坐标特征和运用分类讨论思想、避免遗漏．
29. 是等边三角形，点P在的延长线上，以P为中心，将线段逆时针旋转n°（）得线段，连接，．

（1）如图，若，画出当时的图形，并写出此时n的值；
（2）M为线段的中点，连接．写出一个n的值，使得对于延长线上任意一点P，总有，并说明理由．
【29题答案】
【答案】（1）60°；（2）n=120°，理由见详解.
【解析】
【分析】（1）由是等边三角形，得∠BAC=∠ACB=60°，由，，得∠PBQ=∠CPA=30°，，进而得到∠BPC=60°，即可求解；
（2）以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，
设点B（a，0），点P（x，0），根据坐标系中，中点坐标公式和两点间的距离公式，分别表示出MP，AP的长度，即可.
【详解】如图1，若，当时，n=60°，理由如下：
∵是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵，
∴∠CAP=∠CPA=30°，
∵
∴∠PBQ=∠CPA=30°，
∵，
∴，
∴∠Q=90°，
∴∠BPC=180°-∠Q -∠PBQ =180°-90°-30°= 60°，
∴n=60°；
（2）当n=120°时，对于延长线上任意一点P，总有，理由如下：
以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，
设点B（a，0），点P（x，0），
∴PQ=PC=x，
∵∠CPQ=120°，
∴∠NPQ=180°-120°=60°，
过点Q作QH⊥x轴，则PH=x，QH=x,
∴点Q坐标为（，），
∵点M时BQ的中点，
∴点M的坐标为：
过点A作AE⊥x轴，则CE=CB，AE=CE，
∴点A坐标为： ，
∴AP==
MP==，
即：.

图1 图2
【点睛】本题主要考查等边三角形和含30°角的直角三角形的性质，画出图形，建立合适的平面直角坐标系，把几何问题化为代数问题，用数形结合的思想方法，是解题的关键.
30. 是圆上的两个点，点在⊙C的内部．若为直角，则称为关于⊙C的内直角，特别地，当圆心在边（含顶点）上时，称为关于⊙C的最佳内直角．如图，是关于⊙C的内直角，是关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系中．
（1）如图，⊙O的半径为，是⊙O上两点．
①已知，在中，是关于⊙O的内直角的是______；
②若在直线上存在一点，使得是关于⊙O的内直角，求的取值范围．
（2）点是以圆心，为半径的圆上一个动点，⊙T与轴交于点（点在点的右边）．现有点，对于线段上每一点，都存在点，使是关于⊙T的最佳内直角，请直接写出的最大值，以及取得最大值时的取值范围．

【30题答案】
【答案】（1）①，②；（2）2，
【解析】
【分析】（1）判断点是否在以为直径的圆弧上即可得出答案；
（2）求得直线的解析式，当直线与弧相切时为临界情况，证明，可求出此时，则答案可求出；
（3）可知线段上任意一点（不包含点）都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为，则当点在该圆的最高点时，有最大值，再分点不与点重合，点与点重合两种情况求出临界位置时的值即可得解．
【详解】解：（1）如图，点在以为直径的圆上，所以是关于的内直角。

（2）∵是关于的内直角，
∴，且点在的内部，
∴满足条件的点形成的图形为如图中的半圆（点均不能取到），

过点作轴于点，
∵，
∴，
并可求出直线的解析式为，
∴当直线与直径重合时，，
连接，作直线交半圆于点，过点作直线，交轴于点，

是半圆的切线．


直线的解析式为，
∴直线的解析式为，此时，
∴的取值范围是．
这一问难度陡然提升，而且之前的经验似乎有些浅显，需要进一步通过画图加深对题干部分的理解并在此过程中探究解题的方向，下面我们通过三步来划分思维的流程。
第一步：分析最佳内直角满足的条件，确定的轨迹
显然，最佳内直角为直角，而且直角的一条边经过圆心，因此，不难得出以为直角的圆上的点(不包括点）均满足条件。

另外，如果点在圆的水平方向的半径上，也满足条件

综上，我们得出满足条件的点的轨迹，需要注意，最佳内直角的顶点在圆的内部，因此，圆上的两个点均是空心点。

第二步，分析线段的端点的位置
既然上的每一点都可以成为最佳内直角的直角顶点，那么一定与第一步得出的点的轨迹有交点，显然，当点经过以为直径的圆的最高点时，取最大值，因此，所以，，即的最大值为.
第三步，求圆心的取值范围
这里需要再次理解题意：当，且当点“遍历”线段上的每一点时，对应的圆心的取值范围是什么？此时，问题回归到传统的动态问题分析上来，借助动态问题的分析原则分析如下：
当圆从左到右运动过程中，第一个临界值出现在点的轨迹与线段相切时。如图所示，不难求出

当圆继续向右运动，如图所示，当点点轨迹点水平部分经过点时，此时为第二个临界位置，此时，很容易得出

综合以上可得，的取值范围是．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．