2023年中考数学精选真题实战测试58 图形变换 B

2023年中考数学精选真题实战测试58 图形变换 B

一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)

1．（3分）（2022·西藏）下列图形中是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）（2022·贵港）若点与点关于y轴对称，则的值是（　　）

A．-1 B．-3 C．1 D．2

3．（3分）（2022·南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'，点B’恰好落在CA的延长线上，∠B=30°，∠C=90°，则∠BAC'为（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°

4．（3分）（2022·济宁）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）（2022·菏泽）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（　　）

A．48° B．66° C．72° D．78°

6．（3分）（2022·枣庄）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）

7．（3分）（2022·达州）如图，点E在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点A恰好落在 边上的点F处，若 ， ，则 的长为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18

8．（3分）（2022·自贡）如图，菱形 ABCD 对角线交点与坐标原点 O 重合，点 A（-2，5） ，则点C的坐标为（　　）

A． B． C． D．

9．（3分）（2022·镇江）如图，在等腰中，，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（3分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F．若，．以下结论正确的个数是（　　）

①；②AE平分；③点C的坐标为；④；⑤矩形ABCD的面积为．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)

11．（3分）（2022·镇江）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于　     　．

12．（3分）（2022·益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 　     　．

13．（3分）（2022·西宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E=　     　．

14．（3分）（2021八上·海曙期末）在平面直角坐标系中，Q是直线 上的一个动点，将Q绕点 顺时针旋转 ，得到点 连接 ，则 的最小值为　     　．

15．（3分）（2022·娄底）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接.给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值.其中正确的结论有　     　（填结论对应的序号）.

16．（3分）（2022·龙东）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是　     　．

三、解答题（共7 题，共72分）(共7题；共72分)

17．（10分）（2022·菏泽）如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE．

（1）（3分）直接写出CE与AB的位置关系；

（2）（3分）如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；

（3）（4分）如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长．

18．（10分）（2022·兰州）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， ，EP与正方形的外角 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； 

（1）（3分）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

（2）（3分）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接CP，可以求出 的大小，请你思考并解答这个问题． 

（3）（4分）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 周长的最小值．当 时，请你求出 周长的最小值． 

19．（12分）（2022·贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O.

（1）（3分）如图1，若连接，则的形状为　           　，的值为　     　；

（2）（6分）若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边.

①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；

②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接.求证：.

20．（10分）（2022·鞍山）如图，在中，，，点在直线上，连接，将BD绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．

（1）（3分）求证：；

（2）（3分）当点在线段上（点不与点，重合）时，求的值；

（3）（4分）过点作交于点，若，请直接写出的值．

21．（10分）（2022·南通）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．

（1）（3分）当点E在上时，作，垂足为M，求证；

（2）（3分）当时，求的长；

（3）（4分）连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．

22．（10分）（2022·达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，按如图1的方式摆放， ，随后保持 不动，将 绕点C按逆时针方向旋转 （ ），连接 ， ，延长 交 于点F，连接 .该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

【初步探究】

（1）（2分）如图2，当 时，则 　     　；

（2）（2分）如图3，当点E，F重合时，请直接写出 ， ， 之间的数量关系：　            　；

（3）（3分）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由.

（4）（3分）如图5，在 与 中， ，若 ， （m为常数）.保持 不动，将 绕点C按逆时针方向旋转 （ ），连接 ， ，延长 交 于点F，连接 ，如图6.试探究 ， ， 之间的数量关系，并说明理由.

23．（10分）（2022·宁夏）综合与实践

（1）（2分）知识再现
如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，　     　．

（2）（2分）问题探究

如图，中，．

 如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是　         　．

（3）（2分）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由．

（4）（2分）实践应用
如图4，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：；

（5）（2分）如图5，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】A

3．【答案】B

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】C

7．【答案】C

8．【答案】B

9．【答案】C

10．【答案】C

11．【答案】2

12．【答案】4

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】①②③

16．【答案】

17．【答案】（1）解：如图，延长CE交AB于H，

∵∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，

∵DE=CD，

∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，

∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，

∴CE⊥AB；

（2）解：在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：

如图2，延长交于H，

由旋转可得：CD=，=AD，

∵∠ADC=∠ADB=90°，

∴，

∵，

∴，

，

∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，

∴∠DA+∠AGH=90°，

∴∠AHC=90°，

；

（3）解：如图3，过点D作DH于点H，

∵△BED绕点D顺时针旋转30°，

∴，

，

，

∴AD=2DH，AH=DH=，

，

由（2）可知：，

，

∵AD⊥BC，CD=，

∴DG=1，CG=2DG=2，

∴CG=FG=2，

，

∴AG=2GF=4，

∴AD=AG+DG=4+1=5，

∴．

18．【答案】（1）解：AE＝EP，

理由如下：取AB的中点F，连接EF，

∵F、E分别为AB、BC的中点，

∴AF＝BF＝BE＝CE，

∴∠BFE＝45°，

∴∠AFE＝135°，

∵CP平分∠DCG，

∴∠DCP＝45°，

∴∠ECP＝135°，

∴∠AFE＝∠ECP，

∵AE⊥PE，

∴∠AEP＝90°，

∴∠AEB+∠PEC＝90°，

∵∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠PEC＝∠BAE，

∴△AFE≌△ECP（ASA），

∴AE＝EP；

（2）解：在AB上取AF＝EC，连接EF，

由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，

∵AF＝EC，AE＝EP，

∴△FAE≌△CEP（SAS），

∴∠ECP＝∠AFE，

∵AF＝EC，AB＝BC，

∴BF＝BE，

∴∠BEF＝∠BFE＝45°，

∴∠AFE＝135°，

∴∠ECP＝135°，

∴∠DCP＝45°；

（3）解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，

由（2）知，∠DCP＝45°，

∴∠CDG＝45°，

∴△DCG是等腰直角三角形，

∴点D与G关于CP对称，

∴AP+DP的最小值为AG的长，

∵AB＝4，

∴BG＝8，

由勾股定理得AG＝ ，

∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝ ．

19．【答案】（1）等腰三角形；

（2）解：①过点E作于点H，如图所示：

∵AC，BD均是直线l的垂线段，

∴，

∵是等边三角形，且与重合，

∴∠EAD=60°，

∴，

∴，

∴在中，，，

又∵，，

∴，

∴，

又，

∴，

又由（1）知，

∴，则，

∴在中，由勾股定理得：.

②连接，如图3所示：

∵，

∴，

∵是等腰三角形，

∴是等边三角形，

又∵是等边三角形，

∴绕点D顺时针旋转后与重合，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

又，

∴，

∴，

∴.

20．【答案】（1）证明：如图1，

作AH⊥BC于H，

∵AB＝AB，

∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC＝×120°＝60°，BC＝2BH，

∴sin60°＝，

∴BH＝AB，

∴BC＝2BH＝AB

（2）解：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝，

由（1）得，，

同理可得，

∠DBE＝30°，，

∴∠ABC＝∠DBE，，

∴∠ABC−∠DBC＝∠DBE−∠DBC，

∴∠ABD＝∠CBE，

∴△ABD∽△CBE，

∴

（3）解：的值为或

21．【答案】（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵FM⊥AC，
∴∠B＝∠AMF＝90°，
∵旋转角等于∠BAC，
∴∠BAC＝∠EAF，AE=AF
∴∠BAE＝∠MAF，
在△ABE和△AMF中，

∴△ABE≌△AMF（AAS），
∴AB＝AM；

（2）解： 解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，

AB＝4，AE＝，
∴，
∵△ABE≌△AMF，
∴AB＝AM＝4，，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴，
∴CM＝AC−AM＝5−4＝1，
∵∠CMF＝90°，
∴．
当点E在CD上时，过点F作FN⊥AC于点N，

∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠FAN，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠AED=∠FAN，
在△ADE和△ANF中，

∴△ADE≌△ANF（AAS），
∴AD=NF=3，AN=DE
在Rt△ADE中
，
∴CN=AC-AN=5-3=2
在Rt△CNF中
；
∴CF的值为或.

（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H，

∵△ABE≌△AMF，
∴AM＝AB＝4，
∵∠AMF＝90°，
∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DH的值最小，
∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，
∴△CMJ∽△CDA，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，
∴△CMJ∽△DHJ，
∴，
∴，
∴，
∴DF的最小值为；
当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K，

∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠RAF，
在△ADE和△ARF中

∴△ADE≌△ARF（SAS），
∴∠ADE＝∠ARF＝90°，
∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，
∵DQ⊥AR，DK⊥RF，
∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，
∴四边形DKRQ是矩形，
∴DK＝QR，
∴，
∵AR＝AD＝3，
∴，
∴DF的最小值为，
∵，
∴DF的最小值为.

22．【答案】（1）45°

（2）BF=AF+CF

（3）解：如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论仍然成立，理由如下，
由（2）知：△ACE≌△BCD，
∴∠CAF＝∠CBD，
如图，过点C作CG⊥CF交BF于点G，

∵∠FCG=∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBG，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
∴△GCF为等腰直角三角形，
∴GF=CF，
∴BF＝BG+GF=AF+CF.

（4）解：BF=mAF+CF，理由如下，
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠ACB=90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
又∵BC=mAC，CD=mCE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，
如图，过点C作CG⊥CF交BF于点G，

由（3）可得△BCG≌△ACF，
∴∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴BG：AF=BC：AC=CG：CF=m：1，
∴BG＝mAF，CG＝mFC，
在Rt△CGF中，由勾股定理得GF＝==CF，
∴BF=BG+GF=mAF+CF.

23．【答案】（1）64

（2）

（3）解：中，，

，

过点作交于，

在等边三角形中，，，

，

，

同理可得，，

，

；

（4）证明：设，，，

，，，

是等边三角形，是等边三角形，

，，

，

是等边三角形，四边形是平行四边形，

，，

是直角三角形，

，

，

；

（5）解：设，，，以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为，

是直角三角形，

，

，

，

，，，

，

，，

，

．