2024届高考数学-第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题（解析版）

第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题

参考答案与试题解析

一．解答题（共25小题）

1．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为．抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，，与交于，．

（1）求椭圆及抛物线的方程；

（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设椭圆的右焦点，由题意可得，可得，

再由，所以可得，

所以，

所以椭圆的方程为：；

因为抛物线的焦点，所以，

所以抛物线的方程：，

所以椭圆的方程为：，

抛物线的方程：；

（2）设直线的方程为：，并设，，，，，，，，

联立整理可得：，

，，

所以，

，

联立整理可得：，

，所以，

得，要使其为定值，则对应比成比例，

所以可得，

即时，为定值．

2．椭圆的右焦点到直线的距离为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，过作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，交抛物线于，两点，且．

（1）求椭圆及抛物线的方程；

（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，交抛物线于，两点，请问是否存在实常数，使为常数．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）设椭圆、抛物线的公共焦点，

由点到直线的距离公式得

解得，故，即，

由，

得，

，即，

又，解得

故椭圆的方程为，

抛物线的方程为．

（2）设，，，，，，，．

把直线的方程，与椭圆的方程联立，得，

整理得

，

把直线的方程，与抛物线的方程联立，得，

得

，

要使为常数，

则，解得

故存在，使得为常数．

3．已知椭圆的右焦点到直线的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）给出定点，，对于椭圆的任意一条过的弦，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）由右焦点到直线的距离为5，可得：，解得．

又，，联立解得，．

椭圆的标准方程为．

（2）当直线与轴重合时，．

当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，，，，．

联立，化为：，△，

，．

，同理可得：．

．

综上可得：．

4．已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于、两点，且，求直线的斜率的取值范围．

【解答】解：椭圆的右焦点为，

设直线的方程为，，，，．

由，

得，

直线过焦点，△，

且，，

，

同理，

故．

由，

，

解得．

所以直线的斜率的取值范围是，，．

5．已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，△的周长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得，，

△的周长为，

，，

椭圆的方程为，

将代入得，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，得，依题意可知直线的斜率不为0，

故可设直线的方程为，

消去，整理得，

设，，，，

则，，

不妨设，，

，

同理，

所以，

，

即，

所以存在实数，使得成立．

6．已知椭圆，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点、的距离之和为4，且的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．

【解答】解：（1）因为椭圆的标准方程为，记的最大值为．

由题意知解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）因为，当直线的斜率不存在时，，

则，不符合题意；

当直线的斜率存在时，直线的方程可设为．

由，消得．

设，，，，则、是方程的两个根，

所以，，

（法一），，

，

当时，取最大值为3，所以的取值范围．

又当不存在，即轴时，取值为．

所以的取值范围，

（法二）

，

当时，取最大值为3，所以的取值范围．

又当不存在，即轴时，取值为．

所以的取值范围．

7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且△的周长为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．

【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，

所以，解得，

由椭圆的定义可得△的周长为，

又因为△的周长为8，

所以，解得，

所以，

所以椭圆的方程为．

（2）证明：设直线的方程为，

联立，得，

设，，，，

所以，，

设的中点为，，

所以，，

当时，线段的垂直平分线的方程为，

令，得，

所以，

，

所以，

当时，直线的方程为，

此时，，

所以，

综上，．

8．设、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，坐标原点到直线的距离是．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）过椭圆的上顶点作斜率为的直线交椭圆于另一点，点在椭圆上，且，求证：存在，使得．

【解答】解：（Ⅰ）是椭圆上的点，且，

所以点，

又，

直线的方程为；

坐标原点到直线的距离是，

得，

，

即；

解方程得或（不合题意，舍去）；

故所求椭圆离心率为；

（Ⅱ）证明：由椭圆离心率为，①

；②

由①②得；

椭圆，

其上顶点为；

故直线的方程为，

与椭圆方程组成方程组，消去，

得，

解得，

所以，

；

又，

，

化简得；

记，

又，，

函数的零点在区间内，

存在，使得．

9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交于，两点．当时，点，，，恰在以为直径且面积为的圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求直线的方程．

【解答】解：（Ⅰ）当时，直线轴，又点，，，恰在以为直径，

面积为的圆上，所以四边形为矩形，且，

所以点的坐标为．（2分）

又，所以，，．

在△中，，由，（3分）

解得，，所以椭圆的方程为．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知点坐标为，

将与椭圆方程联立得，设，，，，

得，，（8分）

故．（9分）

又，（10分）

所以，

解得．（11分）

所以直线的方程为．（12分）

10．已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．

【解答】（1）解：方法一：由离心率，得：，

所以，

椭圆上一点，满足，

所以点为圆：与椭圆的交点，

联立方程组解得，

所以，

解得：，，所以柯圆的标准方程为：．

方法二：由椭圆定义；，

，

得到：，即，又，得，

所以椭圆的标准方程为：．

（2）证明：设直线的方程为：．

得，

，

设过点且平行于的直线方程：，．

11．平面直角坐标系中，是椭圆的左焦点，过点且方向向量为的光线，经直线反射后通过左顶点．

求椭圆的方程；

过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为的中点，直线为原点）与直线交于点，若满足，求的值．

【解答】解：（Ⅰ）由关于对称得到点，在光线所在直线方程上，

的斜率为，，，，

椭圆的方程为；

（Ⅱ）由得，直线，联立，

得，

，，，

直线与直线垂直，，则，解得．

12．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．

（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）由题可知，，

所以，

故直线斜率的取值范围是：；

（Ⅱ）由知，，

所以，，

设直线的斜率为，则，即，

则，，

联立直线、方程可知，，

故，，

又因为，

故，

所以，

令，，

则，

由于当时，当时，

故，即的最大值为．

13．已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，，且当直线垂直于轴时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，，求弦长的取值范围．

【解答】解：（1）由题意可得，，即，

，则，①

把代入，得，

则，②

联立①②得：，．

椭圆的方程为；

（2）如图，当直线的斜率存在时，设直线方程为，

联立，得．

设，，，，

则，③

由，得，

，，，则，④

把④代入③消去得：，

当，时，，．

解得：．

．

弦长的取值范围为．

14．椭圆的左，右焦点应分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆切于点，，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值；

（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围．

【解答】解：（1）由，，，解得，，，

所以椭圆的方程为；

（2）证明：，，，又，设的方程为，

由可得，

设，，，，则△，，，

由可得，

，

，即存在满足条件；

（3）由题意可知：，，

设，其中，，，，，，，，，，，

将向量坐标代入并化简得：

，因为，所以，

而，所以，．

15．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．

【解答】解：（1）原点到直线的距离为，

所以，解得，

又，得，

所以椭圆的方程为；

（2）当直线的斜率为0时，直线即轴，

，，则；

当直线的斜率不为0时，设直线，，，，，

联立方程组，得，

由△，得，

所以，，显然，同号，

，

，

故，

，，，

且，

故的取值范围是，．

16．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．

【解答】解：（1）原点到直线的距离为，

所以，解得，

又，得，

所以椭圆的方程为；

（2）当直线的斜率为0时，直线即轴，

；

当直线的斜率不为0时，设直线，，，，，

联立方程组，得，

由△，得，

所以，

，

由，得，所以．

综上可得：，

即．

17．已知抛物线的方程为，，为抛物线上两点，且，其中，过，分别作抛物线的切线，，设，交于点．

如果点的坐标为，求弦长；

（Ⅱ）为坐标原点，设抛物线的焦点为，求的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）设，，因为抛物线的方程为，

所以，则，

则过、的切线方程分别为，，

联立两条切线方程可得交点，

又由，可知，即，

所以，从而，，

因为点的坐标为，则，不妨设，则，所以，，

因此．

（Ⅱ）令，由可得，所以，

因此，

因为，所以，

所以，

令，

则，由得△，

即，解得．

即的取值范围为．

18．已知曲线；曲线．

（1）试判断曲线与的交点个数；

（2）若过点直线与曲线交于两个不同的点，，求的取值范围．

【解答】解：（1）由，得，

所以，

由，得，

所以，即，

由得，解得或，

所以曲线与的交点有两个；

（2）①当直线存在斜率时，设的方程为，，，，，

由得，

△，即恒成立，

则，，

，，，

，

又，所以；

②当直线不存在斜率时，把代入得，

此时，

综合①②得的取值范围为，．

19．如图，设抛物线的焦点为，准线为，过准线上一点且斜率为的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，直线交抛物线于，两点．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若，试写出关于的函数解析式，并求实数的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ），抛物线方程为．（4分）

（Ⅱ）设方程为，，，，，，，，，

由得，△，所以，，，

，

代入方程得：，（6分）

所以，（8分）

且直线，

由得，

则得，

代入直线方程得，

所以，（10分）

则，（12分）

令，则，

而在单调递增，在单调递减

所以（14分）

20．椭圆过点，，左焦点为，与轴交于点，且满足．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，，当且，时，求弦长的范围．

【解答】解：（Ⅰ）设，点坐标为，

，，，

，

，，，，

，，

因此，解得，，

椭圆的方程：；

（Ⅱ）由题意可知，整理得，

由直线与椭圆交于不同的两点、，设，，，，

由，得，

△，化简可得，

，，

，

，

，

，，

，

21．椭圆过点，，左焦点为，与轴交于点，且满足．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，，当且，时，求弦长的范围，并求当弦长最大时，直线的方程．

【解答】（Ⅰ）由题意椭圆过点，，设左焦点，满足．

所以、、三点在一条直线上，

，

（Ⅱ）因为直线与椭圆交于不同两点，，设，，，

则，

联立可得，①

则韦达定理有，②

△，

因为直线与圆相切，所以，③

当且，时，

，④

将②③代入④可得

，

，，；⑤

⑥

将⑥代入⑤可得

，，；

所以，

；

22．设椭圆，为坐标原点，

（1）椭圆过，，两点，求椭圆的方程；

（2）若，两个焦点为，，为椭圆上一动点，且满足，求椭圆离心率的范围．

（3）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由．

【解答】解：（1）设椭圆的方程为：，，，

由椭圆过点、得，解得，

所以椭圆的方程为：；

（2）设，，，

由，得，，①，

又在椭圆上，所以，得，

代入①式得，化简得，

则有，即，

两边平方得，即，

所以，解得，即．

所以椭圆离心率的范围为：，．

（3）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且，

设该圆的切线方程为，，，，．

由，得，

则△

则，

要使，需使，

所以，所以

结合可得，解得或，

因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，

所以圆的半径为，

所求的圆为，

而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为，或，

满足，（其实与轴垂直时的切线方程结果是一样的，因为此时圆与椭圆相切）

综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且．

，

①当时，

因为，所以（当且仅当时取” ” ．

当时，．

综上，的取值范围为，

23．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．

【解答】解：（1）设，则，，．

由，得．化简得，

即动点的轨迹的方程为．

（2）设，，，，

由题意知，，

因为，所以，易知，所以．①

设直线的方程为，联立消去，

得，则△，

，②，③

由①②③解得，

所以．

24．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，已知点，为坐标原点．若的最小值为3．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线，交抛物线于、两点，求的取值范围．

【解答】解：（1）抛物线，而，

所以在抛物线的内部，过作准线的垂线交抛物线于一点，

过点作抛物线准线的垂线，垂足为，

根据抛物线的定义有，

则，

即为 到 距离，

，，

抛物线的方程为．

（2）设，，，，，，，，

由题意 斜率必存在，设为，则，

则，则，

联立直线与抛物线得

，消去得

，

由韦达定理得

，

根据抛物线的定义有

，，

，

联立直线与抛物线得

，消去得

，

由韦达定理得

，，

根据抛物线的定义有

，，

，

，

当且仅当16 或 取等，

的取值范围为，．

25．在①离心率，②椭圆过点，③△面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．

设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_____．

（1）求椭圆的方程；

（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．

【解答】解：（1）选择①离心率，可得，，即，

解得，，即有椭圆的方程为；

选②椭圆过点，即有，又，即，解得，

即有椭圆的方程为；

选③△面积的最大值为，可得位于短轴的端点时，取得最大值，且为，

即为，又，即，，，

即有椭圆的方程为；

（2）证明：设直线的方程为，联立椭圆方程可得，

设，，，，可得，，

可得，

设的中点为，可得，，

由题意可得，解得，

可得，

可得，即为定值．