数学高二下期末复习-计数原理（含解析）

计数原理

知识体系：

2022-2023年度七校联考范围：

知识清单：

一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1.分类加法计数原理

完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。

2.分步乘法计数原理

完成一件事，有个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。

3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题，在大多数排列组合问题中都会用到，如排数字、排队、染色等。

②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；

而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成。

【小结】：未完成为分步，用乘法；已完成为分类，用加法。

4.重要模型

（1）信箱问题：

信：每一封信都要被寄出去，只能选一个去寄；

信箱：接收信的数量不受限制，也可以为0。

（2）染色问题

染色问题既有分步，又有分类；

先选中其中一个区域染色，然后依次分步染色，在特殊区域染色时，还会涉及分类；所以染色问题要先分步，再分类。

（3）数字问题

数字问题中对于特殊位置要优先考虑，如：

首位数字不为0

组成偶数——最后一位数字为偶数

组成奇数——最后一位数字为奇数

组成被3整除的数——各位数字之和为3的倍数

组成被5整除的数——最后一位数字为0或5

以下列例题进行说明：

在生物学研究过程中，常用高倍显微镜观察生物体细胞．已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细胞图片，如图所示，为了方便研究，现在利用甲、乙、丙、丁等四种不同的试剂对、、、、、这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞不能用同种试剂染色，则共有()种不同的染色方法（用数字作答）．

解：①若，，用不同的颜色，则有种，只有一种可能，

若与颜色相同，则有2种可能；若与颜色不同，则有1种可能，

所以共有种可能；

②若，，中与用同种颜色，则有种，有两种可能，

有两种可能（无论选哪种颜色，都只有一种可能），

则有种．

综上所述，共有种．

二、排列与组合

1.排列：

(1)从个不同元素中不重复地取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列，所有这样的排列的个数叫做排列数，记为，特别地，当时，叫做个不同元素的全排列。

排列需考虑元素之间的顺序！

(2)阶乘：正整数从到的连乘积，用表示，即。

排列数公式：，其中，并约定。特别地，当时，全排列数公式。

2.组合

(1)从个不同元素中不重复地取出个元素并成一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合，所有这样的组合的个数叫做组合数，记为。

组合不需考虑元素之间的顺序！

(2)组合数公式：，

其中，规定。

(3)组合数的两个性质：

①；

②。

3.重要的排列组合模型

(1)捆绑法

要求某几个元素必须排在一起的问题，采用捆绑法，将需要相邻的元素捆绑成一个元素，再与其他元素一起作排列，同时注意合并元素内部也必须排列。

注：捆绑优先级最高

(2)插空法

某几个元素不相邻的问题，采用插空法，先把没有位置要求的元素进行排列再把不相邻元素插入中间和两边。

注：插空时先放其他元素，再插空不相邻的元素

(3)圆排列

从个不同元素中不重复地取出个元素，按照一定的顺序排在一个圆周上，叫做个元素的一个圆排列，如果一个圆排列旋转可以得到另一个圆排列，则认为这两个圆排列相同，个不同元素的圆排列数为。

(4)错位排列

设个不同元素的一个排列为，称（是的一个排列，且）为这个元素的一个错位排列，个元素的错位排列数。

例：三个元素的错位排列有2种；

四个元素的错位排列有9种；

五个元素的错位排列有44种。

(5)分组

将个不同的元素分成个不同的组，其中第组有个元素（）则不同的分组方法的种数是。

(6)隔板法

将个相同的元素分成个不同的组，其中第组有个元素（），则不同的分组方法的种数为。

（7）多面手

多面手为两个工作都会做，可以采用帮一边的方法来进行分类。

以下列例题进行说明：

“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）种．

解：按所选的6人中所含会划左右桨的人数分类：

①6人中有0人会划左右桨，则只有种方法；

②6人中有1人会划左右桨，则有种方法；

③6人中有2人会划左右桨，则有种方法；

故共有种方法．

故答案为：37．

三、二项式定理

1.二项式定理

二项式定理：

其中右边的多项式叫做的二项展开式，系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，记作，即通项为展开式的第项，。

2.二项式系数的性质

(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项二项式系数相等

(2)单调性与最大值：

①当，随增大而增大；当，随增大而减小；

②为偶数时，中间项是第项，它的二项式系数最大；

③为奇数时，中间项为第和第项，它们的二项式系数最大。

(3)二项式系数和

①，即二项式系数和为

②，即奇数项和偶数项的二项式系数和相等。

期末押题：

一．选择题（共3小题）

1．霍庆市海军青少年航空学校招生，某服务站点需要连续五天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有5名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有　　

A．48种 B．60种 C．76种 D．96种

2．的展开式中的系数为　　

A． B． C． D．30

3．2020年，某地区的3个贫困村全部脱贫．为进一步做好脱贫村的经济振兴工作，当地政府决定派5名干部驻村指导，要求每名干部只驻一个村，而且每个村的驻村干部至少1名至多2名，则不同的派驻方案有　　

A．60种 B．90种 C．120种 D．180种

二．多选题（共3小题）

4．若，，则　　

A． 

B． 

C． 

D．

5．某校计划安排五位老师（包含甲、乙）担任周一至周四的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是　　

A．若周一必须安排两位老师，则不同的安排方法共有60种 

B．若甲、乙均值班且必须排在同一天值班，则不同的安排方法共有48种 

C．若五位老师都值班一天，则不同的安排方法共有240种 

D．若每天恰有一位老师值班，且如果甲乙均值班，则甲必须在乙之前值班的不同的安排方法共有84种

6．小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道处，小兵在如图的街道处，科技博物馆位于如图的处，则下列说法正确的是　　

A．小明到科技博物馆选择的最短路径条数为126条 

B．小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为4条 

C．小明到科技博物馆在选择的最短路径中，与到处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为             

D．小明与小兵到科技博物馆在选择的最短路径中，两人约定在科技博物馆门口汇合，事件：小明经过；事件：从到科技博物馆两人的路径没有重叠部分（路口除外），则

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．【解答】解：当乙丙两人之间恰好安排的是甲时，先排甲乙丙之外的两人有种排法，将乙甲丙三人看作一个人，但乙丙可以交换位置，插到其余两人的空位中此时共有种安排方案，

当乙丙之间安排的不恰好是甲时，先排甲乙丙之外的两人有种排法，再将乙丙插入到先排的两人之间的空位中，有种排法，由于甲不安排第一天，故将甲插入到排完的四人形成的后面四个空位中此时共有种安排方案．

故不同的安排方案共有种安排方案，

故选：．

2．【解答】解：，

展开式中的系数为，

故选：．

3．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①将5名干部分为1、2、2的三组，有种分组方法，

②将分好的三组分配到三个村，有种方法，

则有种派驻方案；

故选：．

二．多选题（共3小题）

4．【解答】解：，，

，故正确；

，即的各项的和，

令，可得的各项的和为，故正确；

，故在中，

令，可得，故，故错误；

在中，

令，可得，

故，故正确，

故选：．

5．【解答】解：对于，周一必须安排两位老师，从5位老师中取两位周一值班，余下3位全排列，不同的安排方法有种，故正确；

对于，甲、乙均值班且在同一天，与余下3位一起的4个元素全排列，不同的安排方法共有种，故错误；

对于，五位老师都值班一天，则有两位老师在同一天值班，不同的安排方法有种，故正确；

对于，显然甲乙至少有一位值班，如果甲乙都值班，除甲乙外还有两位老师各值班一天，

甲必须在乙之前值班的不同安排方法有种，

甲乙之一值班，不同的安排方法有，所以不同的安排方法共有种，故正确．

故选：．

6．【解答】解：由图可知，要使小明与小兵两位同学到科技博物馆的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，

对于，小明到科技博物馆需要向上4格，向右5格，即小明走9步，其中4步向上，所以最短路径的条数为条，所以正确，

对于，小兵到科技博物馆需要向上1格，向右2格，即小兵走3步，其中1步向上，最短路径的条数为条，所以错误；

对于，小明到的最短路径走法有条，再从处与小兵会合一起到科技博物馆的路径最短有3条，

而小明到科技博物馆共有126条，所以到处与小兵会合一起到科技博物馆的概率为，所以正确，

对于，由选项可知，（A），事件，所以，所以正确．

故答案为：．

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