2023年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学二模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学二模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，，这五个数中无理数的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的几何体是由个完全相同的小正方体组成，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  从，，，这四个数中任选两个数，其和为奇数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是
C. 当时，随的增大而减小 D. 该函数图象与轴的交点坐标是

7.  将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  反比例函数图象位于一、三象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，绕点逆时针旋转得到点与点是对应点，点与点是对应点，连接，若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，和上分别有一点和点，过点和点分别作和的平行线交于点，交于点，交于点，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  将数字用科学记数法表示为______ ．

12.  在函数中，自变量的取值范围是______ ．

13.  把因式分解的结果是______ ．

14.  计算的结果是______ ．

15.  不等式组的解集为______ ．

16.  分式方程的解是______ ．

17.  一个扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为______．

18.  在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为______ ．

19.  在中，，点在直线上，连接，，，则的长为______ ．

20.  如图，四边形中，，，，表示的面积，表示的面积，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

22.  本小题分
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形．
画出以线段为一边的平行四边形，点和点在方格纸上的格点上，平行四边形的面积为；
在的条件下，画一个面积为的直角三角形点在直线的右侧，点在方格纸上的格点上，连接，直接写出线段的长度．

23.  本小题分
某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了个活动小组每位学生只能参加一个活动小组：音乐；体育；美术；阅读；人工智能为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据所给的信息解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
请通过计算补全条形统计图，直接写出扇形统计图中圆心角 ______ 度
该学校共有名学生，估计该校参加组阅读的学生人数为多少．

24.  本小题分
已知：四边形中，，点是中点，连接并延长交的延长线于点，，．

如图，求证：四边形是矩形；
如图，连接和，交于点，若，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图中所有等腰三角形．

25.  本小题分
某中学为了丰富学生大课间活动，准备购买篮球、足球两种体育用品已知购买个篮球和个足球的费用为元，购买个篮球和个足球的费用为元．
求每个篮球和每个足球各多少元；
该学校若购买篮球和足球共个，且支出不超过元，那么篮球最多能买多少个？

26.  本小题分
已知：为的直径，以为边作矩形，点和点是上两点，连接、和，．

如图，求证：；
如图，过点作，垂足为点，连接，求证：；
如图，在的条件下，连接和，若，，，求的长．

27.  本小题分
已知：在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，连接和，过点作，垂足为点，若，直线的解析式为．
如图，求证：是等边三角形；
如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点，点是中点，连接和，与相交于点，请直接写出是______ 三角形；
如图，在的条件下，在的延长线上取一点，连接，点是上一点，连接和，使，点是的中点，连接并延长交于点，在上取一点，使，连接，若，，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
所以在，，，，这五个数中无理数有，，共个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了算术平方根、立方根以及无理数，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像两个之间依次多一个等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项；根据幂的乘方判断选项；根据同底数幂的除法判断选项．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、本选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、本选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、本选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形、中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知，该几何体的主视图是：
．
故选：．
根据主视图的定义和画法进行判断即可．
本题考查简单组合体的主视图，解题的关键是明确主视图就是从正面看物体所得到的图形．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，，，，
和为奇数的概率为，
故选：．
先列举出任两个数之和的所有情况，求出和为奇数的情况数占总情况数的比例即可．
本题考查了列举法求概率，掌握概率的求法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：二次函数中，
图象的图象开口向上，
对称轴是直线，顶点坐标是，
函数有最低点，当时，随的增大而增大．
令中的解得：，
、、选项错误，不符合题意；
选项说法正确，符合题意．
故选：．
已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断．
本题考查了二次函数的性质，从抛物线的顶点式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高最低点坐标，增减性等．
 

7.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即，
故选：．
根据函数图象平移规律，可得答案．
主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

8.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象位于一、三象限，
，
解得：．
故选：．
根据反比例函数的图象和性质，即可求解．
本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

将绕点逆时针旋转得到，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
又，
≌，
，
，，
，
解得：．
故选：．
根据旋转的性质和全等三角形的判定与性质以及周角的定义即可得到结论．
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、周角的定义，正确的识别图形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，所以选项不符合题意；
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，所以选项不符合题意；
，
，
，
，
只有当时，，所以选项符合题意；
，，
，，
∽，
，所以选项不符合题意．
故选：．
先证明∽，根据相似三角形的性质得到，则可对选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理，由得到，再证明四边形为平行四边形得到，则可对选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，所以只有当时，成立，则可对选项进行判断；然后证明∽，根据相似三角形的性质可对选项进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行线分线段成比例定理．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：．
根据题意可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为是解题的关键．
 

13.【答案】． 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先根据二次根式的性质进行计算，再合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减和二次根式的性质与化简，能正确根据二次根式的减法法则进行计算是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集为：．
故答案为：．
利用解一元一次不等式的方法对各个不等式进行求解，再确定不等式组的解集即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
方程的两边同乘，
得，，
解得，．
检验：把代入．
原方程的解为：
故答案为：．
观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，
解分式方程一定注意要验根．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据弧长的公式，
得到：，
故答案是：
根据弧长的公式进行计算即可．
本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：设旗杆高度为，
由题意得：：，
解得：．
故答案为：．
根据同时同地物高与影长成正比计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，当点在线段上时，
过点作于，
中，，
，，
设，则，
，
，
，
，
，
，
．
如图，当点在的延长线上时，
 过点作交的延长线于，
由得，，，
，
，
设，
，
，
，
，
，
综上得，的长为或，
故答案为：或．
当点在线段上时，过点作于，先求出，设，根据得到，，求出，利用勾股定理求出，此时当点在的延长线上时，过点作交的延长线于，同样方法求出，此时．
本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，根据题意正确画出图形，并进行分类讨论是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，作关于的对称，交于点，

，，，
，
，
，
，
，为等腰直角三角形，
，，
，
即，
又，，
，
，
即，
又，
，
，，
，
，
故答案为：．
作关于的对称，交于点，说明，为等腰直角三角形，则，，可知，再利用，可得，，即可解决问题．
本题主要考查了勾股定理，翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质，利用翻折变换得出等腰直角三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式



，
，
． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，平行四边形即为所求；
如图，即为所求．
 

【解析】利用数形结合的思想画出图形即可；
利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】 

【解析】解：调查人数：名，
故答案为：；
组的人数：名，
扇形统计图中圆心角，
故答案为：；
人，
答：参加组阅读的学生人数为人．
由组的人数除以所占百分比即可；
求出组的人数，补全条形统计图即可；由乘以组所占的比例即可；
由该校共有学生人数乘以参加组阅读的学生人数所占的比例即可．
本题考查条形统计图，掌握条形统计图有关的计算，读懂图是解题的关键．
 

24.【答案】证明：点是中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
解：，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
图中所有等腰三角形为，，，． 

【解析】证得≌得到，根据一组对边平行且相等的四边形证得四边形是平行四边形，再由可得四边形是矩形；
由正切三角函数得到进而证得，，由线段垂直平分线的性质得到，可得等腰三角形为，，，．
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握相关的性质是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：设每个篮球和每个足球各、元．
根据题意，得，
解得；
答：每个篮球和每个足球各元、元；
设购买篮球个，
，
解得，
取正整数，
，
答：篮球最多能买个． 

【解析】设每个篮球和每个足球各、元，根据题意列出二元一次方程组求出解即可；
根据题意列出一元一次不等式，求出解集即可．
本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，掌握列不等式和二元一次方程组的关系式是解题关键．
 

26.【答案】证明：连接，连接并延长交于点，如图，

，
．
，．
．
四边形为矩形，
，
．
为的直径，
．
，
．
，
．
．
．
即：；
证明：延长交于点，连接，如图，

为的直径，，
，
．
为的垂直平分线，
．
由知：，
．
在等腰中，
，
．
由知：，
．
在和中，
，
≌，
，
；
解：过点作，交的延长线于点，设的延长线交于点，过点作于点，如图，

设，则．
，
．
．
为的直径，
，
，
．
，
，
．
四边形为矩形，
，，
．
，
．
在和中，
，
≌，
，，
．
在和中，
，
≌，
．
设，则．
，，
∽，
，
．
在中，
，
，
解得：或不合题意，舍去，
，，
，
，
，
．
．
，
，
，
． 

【解析】连接，连接并延长交于点，利用垂径定理及其推论得到，利用矩形的性质，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可得出结论；
延长交于点，连接，利用垂径定理得到，利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可得出结论；
过点作，交的延长线于点，设的延长线交于点，过点作于点，设，则，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定与性质得到，利用等腰三角形的判定与性质和矩形的性质得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，，则；通过证明≌，得到；设，则，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得值，利用勾股定理求得，的长度，进而求得的长度，最后利用三角形的面积公式列出关于的方程，则．
本题主要考查了矩形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，同圆的半径相等，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
 

27.【答案】等边 

【解析】如图，令则，即，
令则，即，
则，
，
，
，
设，则，，
，
，
是等边三角形；

如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点，
四边形为平行四边形，
为等边三角形，
四边形为菱形，
也为等边三角形，
，
，，
，，
，
为等边三角形，
故答案为：等边；

如图，过点作交于点，连接并延长和的延长线交于点，连接，
是等边三角形，
，，
，
即是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
即，
是等边三角形，
，
，，
以为边向外作等边三角形，连接，
，
，
，，
≌，
，
在中解得，
在中解得，，
在中解得，，
在中得，
，，
过点作，垂足为点，
由问可知则，
解得，，
；

利用三角函数值求出，再利用已知和三角形的内角和求出，进而即可得出答案；
先证出四边形为平行菱形，再利用等边三角形的性质证出，，即可得出答案；
过点作交于点，连接并延长和的延长线交于点，连接，证出≌得出，进而可证出≌和≌，然后以为边向外作等边三角形，连接，证出≌得出，最后即可得出点的坐标．
本题主要考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，三角函数的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．