2021-2022学年广东省广州外国语学校等三校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省广州外国语学校等三校高一上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】，，因此，.

故选：A.

2．已知x，y是实数，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由充要条件的定义求解即可

【详解】因为 ，

若，则，

若，则，即，

所以 ，即“”是“”的充要条件，

故选：C.

3．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（       ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料.

【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：

制作这样一面扇面需要的布料为.

故选：B.

【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题.

4．函数的部分图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数，当时，有，利用排除法分析可得答案.

【详解】解：根据题意，对于函数，

有函数，

即函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A､B ；

当时，，则恒有，排除D；

故选：C.

5．已知，，，则下列判断正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.

【详解】，即.

故选：C.

6．已知函数在R上为减函数，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据分段函数单调性,可得关于的不等式组,解不等式组即可确定的取值范围.

【详解】函数在R上为减函数

所以满足

解不等式组可得.

故选:D

【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用,根据分段函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.

7．已知函数满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知可得出，利用弦化切可得出关于的方程，结合可求得的值.

【详解】因为，且，则，

，

可得，解得.

故选：D.

8．已知函数有唯一零点，则（       ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】令，转化为有唯一零点，根据偶函数的对称性求解.

【详解】因为函数，

令，

则为偶函数，

因为函数有唯一零点，

所以有唯一零点，

根据偶函数的对称性，则，

解得，

故选：B

二、多选题

9．若，则下列不等式成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】作差比较可知A不正确；BC正确；举特值可知D不正确.

【详解】因为，所以，，

所以，所以，故A不正确；

，所以，故B正确；

，故C正确；

当，时，满足，但是，故D不正确.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：作差比较大小是解题关键.

10．下列各式中，值为的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】A中，利用两角和的正弦公式计算即可；B中，先通分，再利用三角恒等变换计算即可；C中，利用二倍角的正切值公式计算即可；D中，利用两角和的正切公式计算即可．

【详解】对于A，

；

对于B，；

对于C，；

对于D，

．

故选：ACD．

11．已知函数 的图象关于直线对称，则（       ）

A．函数为奇函数

B．函数在上单调递增

C．若，则的最小值为

D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

【答案】AC

【解析】利用的图象关于直线对称，即可求出的值，从而得出的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.

【详解】因为的图象关于直线对称，

所以 ，

得，，因为 ，所以，

所以，

对于A：，所以为奇函数成立，故选项A正确；

对于B：时，，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；

对于C：因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；

对于D：函数的图象向右平移个单位长度得到

，故选项D不正确；

故选：AC

【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题

12．若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“1阶马格丁香小花花”函数.给出下列4个函数；其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据函数的新定义依次代入函数计算得到方程，AC方程无解，得到答案.

【详解】，定义域为，则，方程无解，A错误；

，定义域为，则，解得，B正确；

，定义域为，则，化简得到，方程无解，C错误；

，定义域为，则，即，是方程的一个解，D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．计算：__________.

【答案】

【分析】直接利用二倍角公式计算得到答案.

【详解】.

故答案为：.

14．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.

【答案】

【分析】先求，再根据奇函数求

【详解】，因为为奇函数，所以

故答案为：

【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．已知，，且，则的最小值为______．

【答案】6

【分析】由可知，要使取最小值，只需最小即可，故结合，求出的最小值即可求解.

【详解】由，，得（当且仅当时，等号成立），

又因，得，即，

由，，解得，即，故.

因此当时，取最小值6.

故答案为：6.

16．已知函数，若、、、、满足，则的取值范围为______.

【答案】

【解析】设，作出函数的图象，可得，利用对称性可得，由可求得，进而可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.

【详解】作出函数的图象如下图所示：

设，

当时，，

由图象可知，当时，直线与函数的图象有五个交点，

且点、关于直线对称，可得，同理可得，

由，可求得，

所以，

.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

四、解答题

17．已知角终边上有一点，且.

(1)求的值，并求与的值；

(2)化简并求的值.

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）直接利用三角函数的定义依次计算得到答案.

（2）根据诱导公式化简得到原式等于，计算得到答案.

(1)

，，解得.

故，.

(2)

.

18．已知函数.

(1)求的值及的单调递增区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)，单调增区间为，

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）化简得到，代入计算得到函数值，解不等式得到单调区间.

（2）计算，根据三角函数图像得到最值.

(1)

，

故，

，解得，，

故单调增区间为，

(2)

当时，，在的最大值为1，最小值为，

故在区间上的最大值为，最小值为.

19．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．

（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；

（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：）．

【答案】（1）理由见解析，函数模型为；（2）六月份.

【分析】（1）由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选符合要求，根据数据时，时代入即可得解；

（2）首先求时，可得元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，解不等式即可得解.

【详解】（1）两个函数与在上都是增函数，

随着的增加，指数型函数的值增加速度越来越快，

而函数的值增加越来越慢，

由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选符合要求；

由时，由时，

可得，解得，

故该函数模型的解析式为；

（2）当时，，元放入凤眼莲的覆盖面积是，

由，得所以，

由，所以.

所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.

20．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)确定函数的解析式，判断并证明函数在上的单调性；

(2)若存在实数，使得不等式成立，求正实数的取值范围.

【答案】(1)，函数在上单调递减，证明见解析.

(2)

【分析】（1）根据，得到函数解析式，设，计算，证明函数的单调性.

（2）根据函数的奇偶性和单调性得到，设，求函数的最小值得到答案.

(1)

函数是定义在上的奇函数，则，，

解得，，故.

在上单调递减，证明如下：设，

则，

，，，故，即.

故函数在上单调递减.

(2)

，即，

，，故，即，

设，，，

，故，又，故.

21．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）

（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；

（2）证明：为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）首先根据振幅为2求出A，将点（1，-2）代入解析式即可解得；

（2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.

【详解】（1）∵振幅为2，A>0，∴A=2，，将点（1，-2）代入得：，∵，∴，

∴，∴，

易知与关于x轴对称，所以.

（2）由（1）

.

即定值为0.

22．对于函数，存在实数，使成立，则称为关于参数的不动点.

(1)当时，凾数在上存在两个关于参数的相异的不动点，试求参数的取值范围；

(2)对于任意的，总存在，使得函数有关于参数的两个相异的不动点，试求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）题目转化为，根据双勾函数的单调性得到函数值域，得到范围.

（2）根据得到，设，构造函数，根据函数的单调性得到函数的最大值，讨论端点值的大小关系解不等式得到答案.

(1)

，，即，，

即，函数在上单调递减，在上单调递增，

，，当时，，

有两个解，故.

(2)

，即，

，整理得到，

故，设，，则，

即，

设，在上单调递减，在上单调递增，故，

当，即或时，，解得或，故或；

当，即时，，解得或，故；

综上所述：或，即