河北省衡水中学2017届高三9月摸底联考（全国卷）理数试题解析

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 若集合，且，则集合可能是（   ）

 A.          B.            C.          D.

【答案】A.

【解析】

试题分析：∵，∴，故只有A符合题意，故选A.

考点：集合的关系及其运算.

2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点在（    ）

  A.第一象限           B.第二象限          C.第三象限          D.第四象限[来源om]

【答案】D.

考点：复数的概念及其运算.

3.已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的余弦值为（  ）

  A.              B.            C.                D.   

【答案】C.

【解析】

试题分析：由题意得，，故选C.

考点：平面向量数量积.

4.执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，则输出的的值为（  ）

  A.1               B.2            C.3                   D.4

【答案】B.

考点：程序框图.

5.已知数列中，，，为其前项和，则的值为（  ）

 A.57                B.61            C.62                  D.63

【答案】A.

【解析】

试题分析：∵，∴是首项为，公比为的等比数列，

∴，∴，∴，故选A.

考点：数列的通项公式.

6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（   ）

  A.           B.         C.            D.

【答案】D.

【解析】

试题分析：由题意得，该几何体为底面是一扇形的锥体，∴，故选D.

考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.

7.为了得到，只需要将作如下变换（   ）

 A.向右平移个单位                    B.向右平移个单位

 C.向左平移个单位                   D.向右平移个单位 

【答案】C.

【解析】

考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换

8.若A为不等式组表示的平面区域，则当从-2连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为（  ）

  A.1                 B.1.5              C.0.75               D.1.75

【答案】D.

【解析】

试题分析：如下图所示，作出不等式组所表示的区域，从而可知，扫过的面积为

，故选D.

考点：线性规划.

9.焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（  ）

  A.             B.            C.              D.

【答案】C.

【解析】

考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换

10.在四面体中，，，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（   ）

 A.              B.              C.               D.

【答案】B.

【解析】

考点：1.二面角；2.空间几何体的外接球.

【方法点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.

11.已知函数，则关于的方程实根个数不可能为（  ）

 A.2               B.3             C.4               D.5

【答案】D.

【解析】

考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.

【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．

12.函数的部分图象如图所示，且，对不同的，，若，有，则（   ）

A.在上是减函数           B.在上是增函数

C.在上是减函数             D.在上是增函数

【答案】B.

【解析】

考点：三角函数的图象和性质.

【名师点睛】根据，的图象求解析式的步骤：1.首先确定振幅和周期，从而得到与；2.求的值时最好选用最值点求：峰点：，谷点：，

也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与轴的交点)：；降零点(图象下降时与轴的交点)：(以上)．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13.的展开式中项的系数为_______.

【答案】.

【解析】

试题分析：由二项式定理可知中，，令，可知的系数为，令，可知的系数为，故的展开式中的系数为，故填：.

考点：二项式定理.

14.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数_______.

【答案】.

【解析】

试题分析：由题意得，，又∵，∴，

渐近线方程为，∴，故填：.学科网

考点：二项式定理.

15.如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶C为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，点测得，已知山高m，则山高_______m.

【答案】.

考点：正余弦定理解三角形.

【名师点睛】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．

16.设函数，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是________.

【答案】.

【解析】

考点：1.导数的运用；2.转化的数学思想.

【名师点睛】高考中一些不等式的证明或求解需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%．

（1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）；

 （2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1-0.01)10≈0.9）

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）分析题意将问题转化为等差数列等比数列的通项公式即可求解；（2）根据题意求得的值，即可得出结论.

试题解析：（1）当时，数列是首项为，公差为的等差数列，[来源:学科网ZXXK]

[来源:学|科|网Z|X|X|K]

∴新政策实施到年年人口均值为万，由，故到年不需要调整政策．

考点：等差数列与等比数列的通项公式及其前项和．

18. （本小题满分12分）

   如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，平面平面，且，，，且．

 （1）设点为棱中点，在面内是否存在点，使得平面？若存在，

请证明；若不存在，请说明理由；[来源:Zxxk.Com]

  （2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接，交于点，连接，证明平面，从而即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.

试题解析：（1）连接，交于点，连接，则平面，

 ∵为中点，为中点，∴为的中位线，∴，

又∵平面平面，平面平面，平面，，

考点：1.线面垂直的判定与性质；2.面面垂直的性质；3.二面角的求解．

19.（本小题满分12分）

   某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数依次为1，2，…，8，其中为标准A，为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准

 （1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：

  且的数字期望，求，的值；

 （2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3   5   3   3   8   5   5   6   3   4

6   3   4   7   5   3   4   8   5   3

8   3   4   3   4   4   7   5   6   7

   用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望．

  （3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．[来源:学科网ZXXK]

注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；

②“性价比”大的产品更具可购买性．

【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（2）由已知得，样本的频率分布表如下：

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：

∴，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于；（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为，∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为，据此，乙厂的产品更具可购买性.

考点：离散型随机变量的概率分布及其期望．

20.（本小题满分12分）已知椭圆C：短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.

 （1）求椭圆C的方程；

 （2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线，分别交椭圆C于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标；

 （3）在（2）的条件下求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意列出，满足的方程组，从而求解；（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程

同理∴，

i) 时，， 过定点，

ii) 时，过点，

综上所述，∴过定点；

（3）由（2）知

，令时取等号，

∴时，当取等号，即.

考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆的最值问题．

【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

21.（本小题满分12分）已知函数(常数且).

（1）证明：当时，函数有且只有一个极值点；[

（2）若函数存在两个极值点，，证明：且.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

不存在极值点；②当时，由，故在上单调递增，

∵，，∴在有且只有一个零点，

 又∵的零点左侧，，在的零点右侧，，[来源:学科网]

∴函数在有且只有一个极值点，综上所述，当时，函数在内有且只有一个极值点；（2）∵为函数存在两个极值点，（不妨设），

∴，是的两个零点，且由（1）知，必有，

令得；令得；

令得，∴在单调递增，在单调递减，

又∵，∴必有，令，解得，

又∵，∴，

当时，∵，，，∴，

则在单调递减，∵，∴，

综上可知，且．     

考点：1.导数的综合运用；2.分类讨论的数学思想．

【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．

 请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

 如图、、、四点在同一个圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上．

 （1）若，，求的值；

 （2）若，证明：．

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

考点：1.圆的性质；2.相似三角形的判定与性质.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

   已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线

的参数方程为：（为参数），曲线C的极坐标方程为：．

  （1）写出C的直角坐标方程和直线的普通方程；

  （2）设直线与曲线C相交于，两点，求值．

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用，，即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线方程与圆方程联立，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.

试题解析：（1）∵，∴，由，，得，

∴曲线的直角坐标方程为，又由，消去解得，

∴直线的普通方程为；（2）把代入，整理得，设其两根分别为，，，，∴.        

考点：1.极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系．

24.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲

已知函数,.

（1）解不等式；

（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

考点：1.绝对值不等式；2.转化的数学思想．