还剩14页未读，
继续阅读
2023年中考数学高频考点突破--二次函数与实际问题 （含答案）
展开
这是一份2023年中考数学高频考点突破--二次函数与实际问题 （含答案），共17页。
2023年中考数学高频考点突破--二次函数与实际问题
1．为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据市场调查，在草莓上市销售的28天中，其销售价格m（元／公斤）与第x天之间满足m=2x+16(1≤x≤14)-x+58(14
（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；
（2）求草莓上市销售第8天李大爷的销售收入；
（3）求草莓上市销售的第11天至14天这4天，每天的销售收入y与第x天之间的函数关系式；并求出这4天当中哪一天的销售额最高？为多少元？
2．我市重庆路水果市场某水果店购进甲、乙两种水果．已知1千克甲种水果的进价比1千克乙种水果的进价多4元，购进2千克甲种水果与1千克乙种水果共需20元．
（1）求甲种水果的进价为每千克多少元？
（2）经市场调查发现，甲种水果每天销售量y（千克）与售价m（元/千克）之间满足如图所示的函数关系，求y与m之间的函数关系；
（3）在（2）的条件下，当甲种水果的售价定为多少元时，才能使每天销售甲种水果的利润最大？最大利润是多少？
3．小李家用 40m 长的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，如图.
（1）写出这块菜园的面积 y(m2) 与垂直于墙的边长 x(m) 之间的函数解析式；
（2）直接写出 x 的取值范围.
4．某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件.
（1）求出销售量y件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售该品牌童装获得的利润W（元）与销售单价x元）之间的函数关系式；
（3）若装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
5．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
6．某公司投资1200万元购买了一条新生产线生产新产品．根据市场调研，生产每件产品需要成本50元，该产品进入市场后不得低于80元/件且不得超过160元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价；
（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，公司第二年重新确定产品售价，能否使前两年盈利总额达790万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，说明理由．
7．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销售量将减少20千克.
（1）设每千克涨价为x元，每天的总盈利为y元.若涨价x为整数，则总盈利y最大值为多少？
（2）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，每千克应涨价多少元？
8．某公司经市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的售价(1≤x≤100)为(x＋30)元/件，而该商品每天的销售量y(件)满足关系式：y＝220－2x，如果该商品第15天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润．
（1）求该公司生产每件商品的成本为多少元；
（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？
（3）该公司每天需要控制人工、水电和房租支出共计a元，若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在4000元至4500元之间(包含4000和4500)，且保证至少有90天的盈利，请直接写出a的取值范围．
9．某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）． 若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．
（1）若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？
（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？若不能，请说明理由．
10．某商家用50元/只的进价购回2000只阳澄湖大闸蟹，放养在池塘内，计划售价定为每只80元，经市场调查发现，此后该大闸蟹的市场价每天每只可上涨1元，但是平均每天有10只大闸蟹死去，死去的大闸蟹均于当天以5元/只的价格全部售给饲料厂做成骨粉饲料.
（1）用含x的代数式填空：
①x天后每只大闸蟹的市场价为（ ）元.
②x天后死去的大闸蟹共有（ ）只，做成骨粉饲料的大闸蟹销售总额为有（ ）元.
（2）若放养x天后一次性销售，2000只的销售总额为197500元，求x的值；
（3）该商家在第几天一次性销售2000只能获得最大利润，最大利润是多少元？
11．庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲，乙两种T恤共400件，其每件的售价与进货量m（件）之间的关系及成本如下表所示：
（1）当甲种T恤进货250件时，求两种T恤全部售完的利润是多少元.
（2）若所有的T恤都能售完，求该店获得的总利润y（元）与乙种T恤的进货量x（件）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下已知两种T恤进货量都不低于100件，且所进的T恤全部售完，该商店如何安排进货才能获得的利润最大？
12．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润等于600元，请你求出销售单价是多少？
13． 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示.
（1）直接写出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式 .
（2）设每月获得的利润为W（元），当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
（3）该网店的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：
方案A：销售单价高于进价且不超过进价20元.
方案B：每天销售量不少于220件，且每件文化衫的利润至少为35元.
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.
14．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？
15．某公司销售一种进价为 20 元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如表：
价格x（元/个）
…
30
40
50
60
…
销售量y（万个）
…
5
4
3
2
…
同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计 40 万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用学过的一次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式;
（2）求得该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
16．某大型商场出售一种时令鞋，每双进价100元，售价300元，则每天能售出400双．经市场调查发现：每双售价每降价1元，则每天可多售出5双．
（1）如果每双降价40元 ，每天总获利润多少元？
（2）每双时令鞋售价应定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？
17．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ 16 x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为 172 m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
18．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；
（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当1≤x≤10，设直线AB的解析式为n=kx+b，
将A（1，12）、B（10，30）代入可得：
k+b=1210k+b=30，解得：k=2b=10，
即此时解析式为：n=2x+10，
当10＜x≤28时，同理可得：n=-32x+45，
则销售量n与第x天之间的函数关系式为：
n=2x+101≤x≤10-32x+4510＜x≤28（x为整数）
（2）解：令x=8，分别代入价格函数和销量函数，
得：m=2×8+16=32n=2×8+10=26，
则第8天的销售收入为mn=32×26=832（元）；
（3）解：在11天至14天这4天里，
m=2x+16，n=-32x+45，
则每天的销售收入y=mn=(2x+16)(-32x+45)，
化简，配成顶点式得y=-3(x-11)2+1083，（11≤x≤14，且为整数）
可知当x=11时，即第11天时，销售收入最高，且最高收入为1083元．
2．【答案】（1）解：设甲种水果的进价为x元/千克，则乙种水果的进价为（x﹣4）元/千克，
根据题意，得 2x+（x﹣4）=20
解得 x=8，
答：甲种水果进价每千克8元
（2）解：如图，设直线AB的解析式为y=km+b，
将A（10，20），B（15，10）代入y=km+b中 10k+b=2015k+b=10 ，解得 k=-2b=40 ，
∴y=﹣2m+40；
（3）解：设每天销售甲种水果的利润为w元．由题意可得
w=（m﹣8）（﹣2m+40），
=﹣2m2+56m﹣320，
=﹣2（m﹣14）2+72，
∵a=﹣2＜0，
∴当m=14时，w最大值=72．
答：当售价为每千克14元时，最大利润为72元．
3．【答案】解：∵垂直于墙的边长为 x ， ∴平行于墙的边长为 40-2x ， ∴y=x(40-2x) ， 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y=-2x2+40x (2) 直接写出 x 的取值范围. 解：由题意，得 x>040-2x>0 ， 解得 0
∴平行于墙的边长为 40-2x ，
∴y=x(40-2x) ，
即 y 与 x 之间的函数关系式为 y=-2x2+40x
（2）解：由题意，得 x>040-2x>0 ，
解得 0
∴销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为: y＝﹣20x+1400，
（2）设该品牌童装获得的利润为W（元）
根据题意得，W＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣20x+1400）
＝﹣20x2+2200x﹣56000，
∴销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价x元之间的函数关系式为：W＝﹣20x2+2200x﹣56000；
（3）根据题意得56≤x≤60，
W＝﹣20x2+2200x﹣56000
＝﹣20（x﹣55）2+4500
∵a＝﹣20＜0，
∴抛物线开口向下，当56≤x≤60时，W随x的増大而减小，
∴当x＝56时，W有最大值，Wmax＝﹣20（56﹣55）2+4500＝4480（元），
∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元.
5．【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.把(22，36)与(24，32)代入，得 22k+b=3624k+b=32 解得 k=-2b=80
∴y＝－2x＋80.
（2）解：设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得
(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元
（3）解：由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.∵售价不低于20元且不高于28元，
当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元
6．【答案】（1）解：设y=kx+b．由图象可得： 80k+b=17160k+b=9 ，
解得： k=-110b=25 ．
所以y=﹣ 110 x+25，
故x的取值范围是80≤x≤160
（2）解：设该公司第一年获利S万元，则
S=（x﹣50）×y﹣1200=（x﹣50）（﹣ 110 x+25）﹣1200
=﹣ 110 x2+30x﹣2450
=﹣ 110 （x﹣150）2﹣200≤﹣200，
所以第一年公司是亏损，且当亏损最小时的产品售价为150元/件
（3）解：由题意可列方程（x﹣50）（﹣ 110 x+25）+（﹣200）=790，
解得：x1=140，x2=160．
两个x的值都在80≤x≤160内，
所以第二年售价是140元/件或160/件
7．【答案】（1）解： y=(10+x)(500-20x)
=-20x2+300x+5000=-20x-7.52+6120
∵a=-20，
∴抛物线的开口向下，
∴当x=7或8时，y的最大值为6120.
答：总盈利y的最大值为6120元
（2）解：设每千克应涨价x元，根据题意得
（10+x）（500-20x）=6000
解之：x1=5，x2=10
答：若商场只要求保证每天的盈利为6000元，每千克应涨价5元或10元
8．【答案】（1）解：设该公司生产每件商品的成本为a元，根据题意，得：0.8×（15+30）﹣a=0.2a，解得：a=30，
故该公司生产每件商品的成本为30元
（2）解：设第x天的销售利润为W，
则：W=（x+30﹣30）（220﹣2x）
=﹣2x2+220x
=﹣2（x﹣55）2+6050，
∴当x=55时，W取得最大值，最大值为6050元，
故销售该商品第55天时，每天的利润最大，最大利润是6050元
（3）解：记公司每天控制人工、水电和房租支出共计a元后利润为P，则P=﹣2（x﹣55）2+6050﹣a，
根据题意：4000≤6050﹣a≤4500，
解得：1550≤a≤2050，
又∵至少有90天的盈利，
∴﹣2x2+220x﹣a=0的两根x1、x2间距离x1﹣x2≥90，
∴（x1﹣x2）2≥902，即（x1+x2）2﹣4x1x2≥902，∵x1+x2=110，x1x2= a2 ，
∴1102﹣4× a2 ≥902，
解得：a≤2000，
∴综上，a的取值范围为：1550≤a≤2000
9．【答案】（1）解：①y=400（x﹣5）﹣600．（5＜x≤10），
②依题意得：400（x﹣5）﹣600≥800， 解得：x≥8.5，
∵5＜x≤10，且每份套餐的售价x（元）取整数， ∴每份套餐的售价应不低于9元．
（2）解：依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，y=（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，当y=1560时， （x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600=1560，解得：x1=11，x2=14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1=11，即x2=14不符合题意．
故该套餐售价应定为11元．
10．【答案】（1）80+x；10x；50x
（2）解：由题意得：
(80+x)(2000-10x)+50x=197500 ，
整理得： x2-125x+3750=0 ，
解得： x1=50 ， x2=75 ；
（3）解：设该商家在第 x 天一次性销售，可获得的利润为 w ，由题意得：
w=(80+x)(2000-10x)+50x-50×2000
=-10x2+1250x+60000 ，
∵ 二次项系数为负，抛物线开口向下，
∴ 当 x=-12502×(-10)=62.5 ，
又 ∵x 为整数，
∴ 当 x=62 或 x=63 时，2000只能获得最大利润，最大利润是：
w=-10×622+1250×62+60000
=99060 .
∴ 该商家在第62或63天一次性销售，2000只能获得最大利润，最大利润是99060元.
11．【答案】（1）解: 当甲种 T 恤进货250件时，乙种T恤进货150件，
根据题意知两种 T 恤全部售完的利润是：
(-0.1×250+100-50)×250+(-0.2×150+120-60)×150=10750 （元）；
（2）解: 当 0
当 200≤x≤400 时，
y=(6000x+50-60)x+[-0.1(400-x)+100-50]×(400-x)=-0.1x2+20x+10000 ；
（3）解: 由题意得： 100≤x ， 100≤400-x ，
解得： 100≤x≤300 ，
若 100≤x<200 ，则 y=-0.3x2+90x+4000=-0.3(x-150)2+10750 ，
当 x=150 时， y 的最大值为10750；
若 200≤x≤300 时， y=-0.1x2+20x+10000=-0.1(x-100)2+11000 ，
∵x>100 时，y随x的增大而减小，
∴当 x=200 时，y取得最大值，最大值为10000元；
综上，当购进甲种T恤250件、乙种 T 恤150件时，才能使获得的利润最大
12．【答案】（1）解：设y=kx+b，根据题意得解得：
55k+b=6560k+b=60 ，
解得： k=-1b=120 ，
所求一次函数的表达式为y=-x+120.
（2）解：利润Q与销售单价x之间的函数关系式为：
Q=（x-50）（-x+120）=-x2+170x-6000=-（x-85）2+1225；
（3）解：当600=-x2+170x-6000，
解得：x1=60，x2=90，
∵获利不得高于40%，
∴最高价格为50（1+40%）=70，
故x=60元.
所以销售单价应定为为60元.
13．【答案】（1）y＝－10x＋1000
（2）解：由题意得：W＝（x－40）y
＝（x－40）（－10x＋1000）
＝－10x2＋1400x－40000，
=-10(x2-140x)-40000
=-10(x2-140x+702-702)-40000
=-10(x-70)2+49000-40000
=-10(x-70)2+9000
∵a＝－10＜0，
∴当x＝70时，W有最大值，W最大值＝9000（元）.
（3）解：方案A：由题意，40＜x≤60，
方案B：由y≥220，可得x≤78，
∴75≤x≤78，
∵a＝－10＜0，且对称轴为直线x＝70，75－70＜70－60，
当x＝75时，最大利润最高，选择方案B.
14．【答案】（1）解：设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0）；
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y2=ax2，
由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），
∴2=a•22，a= 12 ，
故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y= 12 x2（x≥0）
（2）解：设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8-x）万元，他获得的利润是z元，根据题意，
得z=2（8-x）+ 12 x2= 12 x2-2x+16= 12 （x-2）2+14，
当x=2时，z的最小值是14，∵0≤x≤8，∴-2≤x-2≤6，∴（x-2）2≤36，∴12 （x-2）2≤18，∴12 （x-2）2+14≤18+14=32，即z≤32，此时x=8，答：当x=8时，z的最大值是32
15．【答案】（1）解：根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为： y=ax+b ，
则 30a+b=5，40a+b=4，
解得： a=-110，b=8．
故函数解析式为： y=-110x+8 ；
（2）解：根据题意得出：
z=(x-20)y-40
=(x-20)(-110x+8)-40
=-110x2+10x-200
=-110(x2-100x)-200
=-110[(x-50)2-2500]-200
=-110(x-50)2+50 ，
故销售价格定为 50 元/个时净得利润最大，最大值是 50 万元；
（3）解：当公司要求净得利润为 40 万元时，即 -110(x-50)2+50=40 ，解得： x1=40 ， x2=60 ．
如上图，通过观察函数 y=-110(x-50)2+50 的图象，
可知按照公司要求使净得利润不低于 40 万元，则销售价格的取值范围为： 40≤x≤60 ．
而销售量y与x的函数关系式为： y=-110x+8 ，y随x的增大而减少，
因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为 40 元/个．
16．【答案】（1）解：(400+5×40)×(300－40－100)
=600×160
=96000(元)
答：如果降价40元，每天总获利96000元．
（2）解：解法1设每双售价x元
根据题意，得y=(x－100) [400+5(300-x)]
化为顶点式：y=－5(x—240)2+98000
a =－5，开口向下，y有最大值，∴当x=240时，即当售价为240元时，y有最大值 =98000元
答：每双售价为240元时，每天的总获利最大，最大获利是98000元．
解法2设每双降价x元
y= (300－x－100) (400+5x)
=－5x2+600x+80000
=－5(x—60)2+98000
∵a =－5，开口向下，y有最大值，∴当x=60时，即当售价为300—60=240元时，
y有最大值 =98000元
答：每双售价为240元时，每天的总获利最大，最大获利是98000元．
17．【答案】（1）解：根据题意得B（0，4），C（3， 172 ），
把B（0，4），C（3， 172 ）代入y=﹣ 16 x2+bx+c得 c=4-16×32+3b+c=172 ，
解得 b=2c=4 ．
所以抛物线解析式为y=﹣ 16 x2+2x+4，
则y=﹣ 16 （x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m
（2）解：由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x=2或x=10时，y= 223 ＞6，
所以这辆货车能安全通过
（3）解：令y=8，则﹣ 16 （x﹣6）2+10=8，解得x1=6+2 3 ，x2=6﹣2 3 ，
则x1﹣x2=4 3 ，
所以两排灯的水平距离最小是4 3 m
18．【答案】（1）解：政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）
（2）解：设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：
y=kx+800，z=k1x+3000，
分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，
50k+800=1200，100k1+3000=2700，
解得：k=8，k1=﹣3，
种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800
每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000（x＞0）
（3）解：由题意：
w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）
=﹣24x2+21600x+2400000
=﹣24（x﹣450）2+7260000，
∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元
2023年中考数学高频考点突破--二次函数与实际问题
1．为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据市场调查，在草莓上市销售的28天中，其销售价格m（元／公斤）与第x天之间满足m=2x+16(1≤x≤14)-x+58(14
（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；
（2）求草莓上市销售第8天李大爷的销售收入；
（3）求草莓上市销售的第11天至14天这4天，每天的销售收入y与第x天之间的函数关系式；并求出这4天当中哪一天的销售额最高？为多少元？
2．我市重庆路水果市场某水果店购进甲、乙两种水果．已知1千克甲种水果的进价比1千克乙种水果的进价多4元，购进2千克甲种水果与1千克乙种水果共需20元．
（1）求甲种水果的进价为每千克多少元？
（2）经市场调查发现，甲种水果每天销售量y（千克）与售价m（元/千克）之间满足如图所示的函数关系，求y与m之间的函数关系；
（3）在（2）的条件下，当甲种水果的售价定为多少元时，才能使每天销售甲种水果的利润最大？最大利润是多少？
3．小李家用 40m 长的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，如图.
（1）写出这块菜园的面积 y(m2) 与垂直于墙的边长 x(m) 之间的函数解析式；
（2）直接写出 x 的取值范围.
4．某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件.
（1）求出销售量y件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售该品牌童装获得的利润W（元）与销售单价x元）之间的函数关系式；
（3）若装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
5．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
6．某公司投资1200万元购买了一条新生产线生产新产品．根据市场调研，生产每件产品需要成本50元，该产品进入市场后不得低于80元/件且不得超过160元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价；
（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，公司第二年重新确定产品售价，能否使前两年盈利总额达790万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，说明理由．
7．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销售量将减少20千克.
（1）设每千克涨价为x元，每天的总盈利为y元.若涨价x为整数，则总盈利y最大值为多少？
（2）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，每千克应涨价多少元？
8．某公司经市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的售价(1≤x≤100)为(x＋30)元/件，而该商品每天的销售量y(件)满足关系式：y＝220－2x，如果该商品第15天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润．
（1）求该公司生产每件商品的成本为多少元；
（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？
（3）该公司每天需要控制人工、水电和房租支出共计a元，若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在4000元至4500元之间(包含4000和4500)，且保证至少有90天的盈利，请直接写出a的取值范围．
9．某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）． 若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．
（1）若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？
（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？若不能，请说明理由．
10．某商家用50元/只的进价购回2000只阳澄湖大闸蟹，放养在池塘内，计划售价定为每只80元，经市场调查发现，此后该大闸蟹的市场价每天每只可上涨1元，但是平均每天有10只大闸蟹死去，死去的大闸蟹均于当天以5元/只的价格全部售给饲料厂做成骨粉饲料.
（1）用含x的代数式填空：
①x天后每只大闸蟹的市场价为（ ）元.
②x天后死去的大闸蟹共有（ ）只，做成骨粉饲料的大闸蟹销售总额为有（ ）元.
（2）若放养x天后一次性销售，2000只的销售总额为197500元，求x的值；
（3）该商家在第几天一次性销售2000只能获得最大利润，最大利润是多少元？
11．庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲，乙两种T恤共400件，其每件的售价与进货量m（件）之间的关系及成本如下表所示：
（1）当甲种T恤进货250件时，求两种T恤全部售完的利润是多少元.
（2）若所有的T恤都能售完，求该店获得的总利润y（元）与乙种T恤的进货量x（件）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下已知两种T恤进货量都不低于100件，且所进的T恤全部售完，该商店如何安排进货才能获得的利润最大？
12．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.
（1）试确定y与x之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润等于600元，请你求出销售单价是多少？
13． 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示.
（1）直接写出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式 .
（2）设每月获得的利润为W（元），当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
（3）该网店的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：
方案A：销售单价高于进价且不超过进价20元.
方案B：每天销售量不少于220件，且每件文化衫的利润至少为35元.
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.
14．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？
15．某公司销售一种进价为 20 元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如表：
价格x（元/个）
…
30
40
50
60
…
销售量y（万个）
…
5
4
3
2
…
同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计 40 万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用学过的一次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式;
（2）求得该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
16．某大型商场出售一种时令鞋，每双进价100元，售价300元，则每天能售出400双．经市场调查发现：每双售价每降价1元，则每天可多售出5双．
（1）如果每双降价40元 ，每天总获利润多少元？
（2）每双时令鞋售价应定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？
17．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ 16 x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为 172 m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
18．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；
（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当1≤x≤10，设直线AB的解析式为n=kx+b，
将A（1，12）、B（10，30）代入可得：
k+b=1210k+b=30，解得：k=2b=10，
即此时解析式为：n=2x+10，
当10＜x≤28时，同理可得：n=-32x+45，
则销售量n与第x天之间的函数关系式为：
n=2x+101≤x≤10-32x+4510＜x≤28（x为整数）
（2）解：令x=8，分别代入价格函数和销量函数，
得：m=2×8+16=32n=2×8+10=26，
则第8天的销售收入为mn=32×26=832（元）；
（3）解：在11天至14天这4天里，
m=2x+16，n=-32x+45，
则每天的销售收入y=mn=(2x+16)(-32x+45)，
化简，配成顶点式得y=-3(x-11)2+1083，（11≤x≤14，且为整数）
可知当x=11时，即第11天时，销售收入最高，且最高收入为1083元．
2．【答案】（1）解：设甲种水果的进价为x元/千克，则乙种水果的进价为（x﹣4）元/千克，
根据题意，得 2x+（x﹣4）=20
解得 x=8，
答：甲种水果进价每千克8元
（2）解：如图，设直线AB的解析式为y=km+b，
将A（10，20），B（15，10）代入y=km+b中 10k+b=2015k+b=10 ，解得 k=-2b=40 ，
∴y=﹣2m+40；
（3）解：设每天销售甲种水果的利润为w元．由题意可得
w=（m﹣8）（﹣2m+40），
=﹣2m2+56m﹣320，
=﹣2（m﹣14）2+72，
∵a=﹣2＜0，
∴当m=14时，w最大值=72．
答：当售价为每千克14元时，最大利润为72元．
3．【答案】解：∵垂直于墙的边长为 x ， ∴平行于墙的边长为 40-2x ， ∴y=x(40-2x) ， 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y=-2x2+40x (2) 直接写出 x 的取值范围. 解：由题意，得 x>040-2x>0 ， 解得 0
∴平行于墙的边长为 40-2x ，
∴y=x(40-2x) ，
即 y 与 x 之间的函数关系式为 y=-2x2+40x
（2）解：由题意，得 x>040-2x>0 ，
解得 0
∴销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为: y＝﹣20x+1400，
（2）设该品牌童装获得的利润为W（元）
根据题意得，W＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣20x+1400）
＝﹣20x2+2200x﹣56000，
∴销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价x元之间的函数关系式为：W＝﹣20x2+2200x﹣56000；
（3）根据题意得56≤x≤60，
W＝﹣20x2+2200x﹣56000
＝﹣20（x﹣55）2+4500
∵a＝﹣20＜0，
∴抛物线开口向下，当56≤x≤60时，W随x的増大而减小，
∴当x＝56时，W有最大值，Wmax＝﹣20（56﹣55）2+4500＝4480（元），
∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元.
5．【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.把(22，36)与(24，32)代入，得 22k+b=3624k+b=32 解得 k=-2b=80
∴y＝－2x＋80.
（2）解：设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得
(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元
（3）解：由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.∵售价不低于20元且不高于28元，
当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元
6．【答案】（1）解：设y=kx+b．由图象可得： 80k+b=17160k+b=9 ，
解得： k=-110b=25 ．
所以y=﹣ 110 x+25，
故x的取值范围是80≤x≤160
（2）解：设该公司第一年获利S万元，则
S=（x﹣50）×y﹣1200=（x﹣50）（﹣ 110 x+25）﹣1200
=﹣ 110 x2+30x﹣2450
=﹣ 110 （x﹣150）2﹣200≤﹣200，
所以第一年公司是亏损，且当亏损最小时的产品售价为150元/件
（3）解：由题意可列方程（x﹣50）（﹣ 110 x+25）+（﹣200）=790，
解得：x1=140，x2=160．
两个x的值都在80≤x≤160内，
所以第二年售价是140元/件或160/件
7．【答案】（1）解： y=(10+x)(500-20x)
=-20x2+300x+5000=-20x-7.52+6120
∵a=-20，
∴抛物线的开口向下，
∴当x=7或8时，y的最大值为6120.
答：总盈利y的最大值为6120元
（2）解：设每千克应涨价x元，根据题意得
（10+x）（500-20x）=6000
解之：x1=5，x2=10
答：若商场只要求保证每天的盈利为6000元，每千克应涨价5元或10元
8．【答案】（1）解：设该公司生产每件商品的成本为a元，根据题意，得：0.8×（15+30）﹣a=0.2a，解得：a=30，
故该公司生产每件商品的成本为30元
（2）解：设第x天的销售利润为W，
则：W=（x+30﹣30）（220﹣2x）
=﹣2x2+220x
=﹣2（x﹣55）2+6050，
∴当x=55时，W取得最大值，最大值为6050元，
故销售该商品第55天时，每天的利润最大，最大利润是6050元
（3）解：记公司每天控制人工、水电和房租支出共计a元后利润为P，则P=﹣2（x﹣55）2+6050﹣a，
根据题意：4000≤6050﹣a≤4500，
解得：1550≤a≤2050，
又∵至少有90天的盈利，
∴﹣2x2+220x﹣a=0的两根x1、x2间距离x1﹣x2≥90，
∴（x1﹣x2）2≥902，即（x1+x2）2﹣4x1x2≥902，∵x1+x2=110，x1x2= a2 ，
∴1102﹣4× a2 ≥902，
解得：a≤2000，
∴综上，a的取值范围为：1550≤a≤2000
9．【答案】（1）解：①y=400（x﹣5）﹣600．（5＜x≤10），
②依题意得：400（x﹣5）﹣600≥800， 解得：x≥8.5，
∵5＜x≤10，且每份套餐的售价x（元）取整数， ∴每份套餐的售价应不低于9元．
（2）解：依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，y=（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，当y=1560时， （x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600=1560，解得：x1=11，x2=14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1=11，即x2=14不符合题意．
故该套餐售价应定为11元．
10．【答案】（1）80+x；10x；50x
（2）解：由题意得：
(80+x)(2000-10x)+50x=197500 ，
整理得： x2-125x+3750=0 ，
解得： x1=50 ， x2=75 ；
（3）解：设该商家在第 x 天一次性销售，可获得的利润为 w ，由题意得：
w=(80+x)(2000-10x)+50x-50×2000
=-10x2+1250x+60000 ，
∵ 二次项系数为负，抛物线开口向下，
∴ 当 x=-12502×(-10)=62.5 ，
又 ∵x 为整数，
∴ 当 x=62 或 x=63 时，2000只能获得最大利润，最大利润是：
w=-10×622+1250×62+60000
=99060 .
∴ 该商家在第62或63天一次性销售，2000只能获得最大利润，最大利润是99060元.
11．【答案】（1）解: 当甲种 T 恤进货250件时，乙种T恤进货150件，
根据题意知两种 T 恤全部售完的利润是：
(-0.1×250+100-50)×250+(-0.2×150+120-60)×150=10750 （元）；
（2）解: 当 0
当 200≤x≤400 时，
y=(6000x+50-60)x+[-0.1(400-x)+100-50]×(400-x)=-0.1x2+20x+10000 ；
（3）解: 由题意得： 100≤x ， 100≤400-x ，
解得： 100≤x≤300 ，
若 100≤x<200 ，则 y=-0.3x2+90x+4000=-0.3(x-150)2+10750 ，
当 x=150 时， y 的最大值为10750；
若 200≤x≤300 时， y=-0.1x2+20x+10000=-0.1(x-100)2+11000 ，
∵x>100 时，y随x的增大而减小，
∴当 x=200 时，y取得最大值，最大值为10000元；
综上，当购进甲种T恤250件、乙种 T 恤150件时，才能使获得的利润最大
12．【答案】（1）解：设y=kx+b，根据题意得解得：
55k+b=6560k+b=60 ，
解得： k=-1b=120 ，
所求一次函数的表达式为y=-x+120.
（2）解：利润Q与销售单价x之间的函数关系式为：
Q=（x-50）（-x+120）=-x2+170x-6000=-（x-85）2+1225；
（3）解：当600=-x2+170x-6000，
解得：x1=60，x2=90，
∵获利不得高于40%，
∴最高价格为50（1+40%）=70，
故x=60元.
所以销售单价应定为为60元.
13．【答案】（1）y＝－10x＋1000
（2）解：由题意得：W＝（x－40）y
＝（x－40）（－10x＋1000）
＝－10x2＋1400x－40000，
=-10(x2-140x)-40000
=-10(x2-140x+702-702)-40000
=-10(x-70)2+49000-40000
=-10(x-70)2+9000
∵a＝－10＜0，
∴当x＝70时，W有最大值，W最大值＝9000（元）.
（3）解：方案A：由题意，40＜x≤60，
方案B：由y≥220，可得x≤78，
∴75≤x≤78，
∵a＝－10＜0，且对称轴为直线x＝70，75－70＜70－60，
当x＝75时，最大利润最高，选择方案B.
14．【答案】（1）解：设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0）；
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y2=ax2，
由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），
∴2=a•22，a= 12 ，
故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y= 12 x2（x≥0）
（2）解：设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8-x）万元，他获得的利润是z元，根据题意，
得z=2（8-x）+ 12 x2= 12 x2-2x+16= 12 （x-2）2+14，
当x=2时，z的最小值是14，∵0≤x≤8，∴-2≤x-2≤6，∴（x-2）2≤36，∴12 （x-2）2≤18，∴12 （x-2）2+14≤18+14=32，即z≤32，此时x=8，答：当x=8时，z的最大值是32
15．【答案】（1）解：根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为： y=ax+b ，
则 30a+b=5，40a+b=4，
解得： a=-110，b=8．
故函数解析式为： y=-110x+8 ；
（2）解：根据题意得出：
z=(x-20)y-40
=(x-20)(-110x+8)-40
=-110x2+10x-200
=-110(x2-100x)-200
=-110[(x-50)2-2500]-200
=-110(x-50)2+50 ，
故销售价格定为 50 元/个时净得利润最大，最大值是 50 万元；
（3）解：当公司要求净得利润为 40 万元时，即 -110(x-50)2+50=40 ，解得： x1=40 ， x2=60 ．
如上图，通过观察函数 y=-110(x-50)2+50 的图象，
可知按照公司要求使净得利润不低于 40 万元，则销售价格的取值范围为： 40≤x≤60 ．
而销售量y与x的函数关系式为： y=-110x+8 ，y随x的增大而减少，
因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为 40 元/个．
16．【答案】（1）解：(400+5×40)×(300－40－100)
=600×160
=96000(元)
答：如果降价40元，每天总获利96000元．
（2）解：解法1设每双售价x元
根据题意，得y=(x－100) [400+5(300-x)]
化为顶点式：y=－5(x—240)2+98000
a =－5，开口向下，y有最大值，∴当x=240时，即当售价为240元时，y有最大值 =98000元
答：每双售价为240元时，每天的总获利最大，最大获利是98000元．
解法2设每双降价x元
y= (300－x－100) (400+5x)
=－5x2+600x+80000
=－5(x—60)2+98000
∵a =－5，开口向下，y有最大值，∴当x=60时，即当售价为300—60=240元时，
y有最大值 =98000元
答：每双售价为240元时，每天的总获利最大，最大获利是98000元．
17．【答案】（1）解：根据题意得B（0，4），C（3， 172 ），
把B（0，4），C（3， 172 ）代入y=﹣ 16 x2+bx+c得 c=4-16×32+3b+c=172 ，
解得 b=2c=4 ．
所以抛物线解析式为y=﹣ 16 x2+2x+4，
则y=﹣ 16 （x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m
（2）解：由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x=2或x=10时，y= 223 ＞6，
所以这辆货车能安全通过
（3）解：令y=8，则﹣ 16 （x﹣6）2+10=8，解得x1=6+2 3 ，x2=6﹣2 3 ，
则x1﹣x2=4 3 ，
所以两排灯的水平距离最小是4 3 m
18．【答案】（1）解：政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）
（2）解：设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：
y=kx+800，z=k1x+3000，
分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，
50k+800=1200，100k1+3000=2700，
解得：k=8，k1=﹣3，
种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800
每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000（x＞0）
（3）解：由题意：
w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）
=﹣24x2+21600x+2400000
=﹣24（x﹣450）2+7260000，
∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元
相关试卷
2023年中考数学高频考点突破——二次函数与角度 （含答案）： 这是一份2023年中考数学高频考点突破——二次函数与角度 （含答案），共43页。试卷主要包含了我们规定，已知，如图，抛物线经过，两点，把B，C代入中，得等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频考点突破——圆的综合(含答案)： 这是一份2023年中考数学高频考点突破——圆的综合(含答案)，共29页。试卷主要包含了如图等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频考点突破——二次函数与角度(含答案)： 这是一份2023年中考数学高频考点突破——二次函数与角度(含答案)，共48页。试卷主要包含了如图，抛物线y=-0，如图1，点A为抛物线C1等内容，欢迎下载使用。
